1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.抛物线 y= x2的焦点关于直线 x-y-1=0 的对称点的坐标是 ( )A.(2,-1) B.(1,-1)C. D.【解析】选 A.y= x2x 2=4y,焦点为(0,1),其关于 x-y-1=0 的对称点为(2,-1).2.(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是
2、C 的准线与 E 的两个交点,则=( )A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得 解得 a=4,由 b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为 +=1,因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2,将 x=-2 代入到 + =1,解得 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.3.已知抛物线 C:x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 ( )A.(-,-1)(1,+)B. C.(-,-2 )(2 ,+)D.(-,- )( ,+)【解
3、析】选 D.显然 t0,直线 AB 的方程为 y= x-1,代入抛物线方程得2tx2-4x+t=0.由题意 =16-8t 2 .【补偿训练】设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是 ( )A. B.-2,2C.-1,1 D.-4,4【解析】选 C.准线 x=-2,Q(-2,0),设 y=k(x+2),由 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当 k=0 时,x=0,即交点为(0,0),当 k0 时,0,-1k0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n,则 ( )A.n=0 B.n=1C.n=2 D.n3【解题
4、指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.【解析】选 C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为 30和 150,如图,所以正三角形的个数 n=2.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.沿直线 y=-2 发出的光线经抛物线 y2=ax 反射后,与 x 轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为 (抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).【解析】由直线 y=-2 平行于抛物线的对称轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2.答案:x=-27.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中
5、点坐标是 .【解析】设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0),由题意得消去 y,整理得(x-1) 2=4x,即 x2-6x+1=0.所以 x0= =3,y0=x0-1=2.所以 P(3,2).答案:(3,2)【一题多解】 =4x2, =4x1, - =4x2-4x1, =4.所以 y1+y2=4,即 y0=2,因此 x0=y0+1=3.故中点为 P(3,2).答案:(3,2)8.(2015吉林高二检测)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于点 A,与抛物线的一个交点为 B
6、,若 = ,则p= .【解析】由题知准线 l 为 x=- (p0),过点 M 且斜率为 的直线为 y= (x-1),则 A ,设 B(x,0),由 = 可知M 为 AB 的中点,又 M(1,0),所以即代入 y2=2px 可知,p2+4p-12=0,即 p=2 或 p=-6(舍去).答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.(1)求实数 b 的值.(2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.【解题指南】利用直线 l 与抛物线 C 相切,联立方程,由 =0 求实数 b的值;由直线与圆相切求圆的方
7、程.【解析】(1)由 得 x2-4x-4b=0.(*)因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 =(-4) 2-4(-4b)=0.解得 b=-1.(2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x2-4x+4=0.解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2) 2+(y-1)2=4.10.(2015济南高二检测)如图,已知点 P(-3,0),点 Q 在 x 轴上,点 A在 y 轴上,且 =0, =2 .当点 A
8、 在 y 轴上移动时,求动点 M的轨迹方程.【解题指南】设出点 M 的坐标,利用 =0, =2 ,求动点 M 的轨迹方程.【解析】设动点 M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为 P(-3,0),所以 =(3,b), =(a,-b), =(x-a,y),因为 =0,所以(3,b)(a,-b)=0,即 3a-b2=0.因为 =2 ,所以(x-a,y)=2(a,-b),即 x=3a,y=-2b.由得 y2=4x.所以动点 M 的轨迹方程为 y2=4x.【补偿训练】若动点 P 在 y=2x2+1 上移动,求点 P 与 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程.【解析】设 PQ 中点为 M(x,y),P
9、(x0,y0),则 所以又因为 y0=2 +1,所以 2y+1=8x2+1.即 y=4x2为所求的轨迹方程.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2014辽宁高考)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为 ( )A. B. C. D.【解题指南】由直线与 C 相切求 B 点的坐标,由斜率公式求直线 BF 的斜率.【解析】选 D.因为抛物线 C:y2=2px 的准线为 x=- ,且点 A(-2,3)在准线上,所以 p=4.设直线 AB 的方程为 x+2
10、=m(y-3),与抛物线方程 y2=8x联立得到 y2-8my+24m+16=0,由题易知 =0,解得 m=- (舍)或 m=2,这时B 点的坐标为(8,8),而焦点 F 的坐标为(2,0),故直线 BF 的斜率 kBF= .2.(2014四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ( )A.2 B.3 C. D.【解析】选 B.由题意可知,F .设 A( ,y1),B( ,y2),所以 =y1y2+ =2,解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于
11、x 轴两侧,所以 y1y23,故最小值为 3.【误区警示】本题在求解时常因忽略条件“点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧”导致解题错误.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.平面上有三个点 A(-2,y),B ,C(x,y),若 ABBC,则动点 C 的轨迹方程为 .【解析】 = -(-2,y)= , =(x,y)- = .因为ABBC,所以 =0,所以 =0,即 y2=8x.所以动点 C的轨迹方程为 y2=8x.答案:y 2=8x4.(2015漳州高二检测)已知过抛物线 y2=4x 焦点的一条弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 所在直线与 y 轴的交点坐标为(
12、0,2),则 + = .【解析】弦 AB 是过焦点 F(1,0)的弦,又过点(0,2),所以其方程为 x+ =1,2x+y-2=0 与 y2=4x 联立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+ = = = .答案:【补偿训练】线段 AB 是抛物线 y2=x 的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB 的中点 C 到直线 x+ =0 的距离是 .【解析】线段 AB 的中点 C 到准线 x=- 的距离为|AB|长的一半,则中点C 到直线 x+ =0 的距离为 .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线
13、 AB,AC,交抛物线于 B,C 两点,求证:直线 BC 的斜率是定值.【证明】设 kAB=k(k0),因为直线 AB,AC 的倾斜角互补,所以 kAC=-k(k0),AB 的方程是 y=k(x-4)+2.由方程组消去 y 后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为 A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,所以 4xB= ,即 xB= .以-k 代换 xB中的 k,得 xC= ,所以 kBC= = = =- .所以直线 BC 的斜率是定值.【补偿训练】如图,已知AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点O,A,B 两点都在抛物线上,且AOB=90.(1)证明直线 AB 必过一定点.(2)求AOB 面积的最小值.【解析】(1)设 OA 所在直线的方程为 y=kx(k0),则直线 OB 的方程为
