1、数列求和 2016.10.10 _班 姓名_ 类型一：分组求和 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. 公式： 2 2 2 21 2 3 1 2 16n n nn . 【例1】（2015福建文）等差数列 na 中， 2 4a ， 4 7 15a a . （）求数列 na 的通项公式； （）设 22 nanb n ，求 1 2 3 10bb b b . 变式训练 1（1）若数列 na 的的通项公式为 2 2 1nna n ，则数列 na 的前n项和为_. （2）数列 na 的的通项公式为 2 12n na n ，则它的前n项和
2、 nS _. 类型二：裂项相消 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 公式： 1 1 11 1n n n n ， 1 1 1 1n n k k n n k ， 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n ，1 11 n nn n ， 1 1 n k nkn k n . 【例2】（2015全国理17） nS 为数列 na 的前n项和. 已知 0na ， 2 2 4 3n n na a S . （）求 na 的通项公式； （）设11nn nb a a ，求数列 nb 的前n项和. 变式训练2（1）（2012大纲理）已知等差数列 na 的前n
3、项和为 nS ， 5 5a ， 5 15S ，则数列11n na a 的前100项和为（ ） （A）100101 （B） 99101 （C） 99100 （D）101100 （2）数列 na 的通项公式是 1 1na n n ，前n项和为9，则n_. （3）（2011课标17）已知等比数列 na 的各项均为正数，且 1 22 3 1a a ， 23 2 69a a a . （）求 na 的通项公式； （）设 3 33 1 2log log log nn a ab a ，求数列 1nb 的前n项和. （4）（2015安徽）已知数列 na 是递增的等比数列，且 1 4 9a a ， 2 3 8a
4、a . （）求数列 na 的通项公式； （）设 nS 为数列 na 的前n项和， 11nnn nabS S ，求数列 nb 的前n项和 nT . 类型三：错位减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 【例 3】（2015 天津文 18）已知 na 是各项均为正数的等比数列， nb 是等差数列，且1 1 1a b ， 2 3 32b b a ， 5 23 7a b . （）求 na 和 nb 的通项公式；（）设 n n nc a b ， *n N ，求数列 nc 的前n项和. 变式训练3（2012天津理18）已知 na 是等
5、差数列，其前n项和为 nS ， nb 是等比数列，且 1 1 2a b ， 4 4 27a b ， 4 4 10S b . （）求数列 na 与 nb 的通项公式； （）记 1 1 2 1n n n nabT a b a b ， *n N ，证明 12 2 10n n nT a b （ *n N ）. 类型四：倒序相加 如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法. 【例4】设 44 2xxf x ，则1011 211 11 1f f f 等于（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）10 变式训练4（1）（2003上
6、海春招）设 12 2xf x ，利用课标中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 4 65 0 5ff f ff 的值为_. （2）（2002 天津理 16）已知函数 221xf xx ，那么 11 2 32f f f f 1 143 4f f f _. 类型五：并项求和 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 【例5】（2016天津文18）已知 na 是等比数列，前n项和为 nS ，且1 2 31 1 2a a a ， 6 63S .（）求数列 na 的通项公式； （）若对任意的 *n N ， nb 是 2log na
7、和 2 1log na 的等差中项，求数列 21 n nb 的前2n项和. 变式训练5若 11 2 3 4 5 6 1 nnS n ，则 50S _. 参考答案 【例1】（） 2na n ；（） 11 02 2101bb b . 变式训练1（1） 1 22 2n n （2） 2 11 2nn 【例2】（） 2 1na n ；（）1 16 4 6 6 9nn n . 变式训练2（1）A （2）99 （3）（） 13n na ；（）11 21nk knb n . （4）（） 12nna ；（） 111 2 1n nT . 【例3】（） 12nna ， 2 1nb n ；（） 12 3 2 3nniic n . 变式训练3（） 3 1na n ， 2nnb ；（）略. 【例4】B 变式训练4 （1）3 2 （2）72 【例5】（） 12nna ；（） 22 211 2n iiib n . 变式训练5 -25
