1、2数 列 第 4 讲 递 推 公 式【 知 识 点 归 纳 】1. 一 般 数 列 的 通 项 na 与 前 n 项 和 nS 的 关 系 ： )2()1( 11 nSS nSa nnn2. 等 差 数 列 的 通 项 na 与 前 n 项 和 nS 的 关 系 ： 12 12 nSa nn3. 常 见 的 数 列 的 递 推 关 系 有 ：(1)形 如 qpaa nn 1 (p、 q为 常 数 ， n N*)(待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 )；(2)形 如 )(1 nfaa nn ， (n N*)（ 累 加 法 ） ；(3)形 如 )(1 ngaa nn ， (n N*)（ 累
2、 乘 法 ） ；【 例 题 讲 解 】1、 求 下 列 数 列 的 通 项 公 式(1)数 列 na 中 ， 41 a ， )(65 *1 Nnaa nn ， 求 na 。(2)数 列 na 中 ， 31 a ， ),1)(1(2 *1 Nnnnaa nn ， 求 na 。(3)数 列 na 中 ， 1 2a ， 1( 1) n nn a na ， 求 na 。(4)数 列 na 中 ， 11 a ， )(22 *1 Nna aa n nn ， 求 na 。(5)数 列 na 中 ， 21 a ， ),1(32 *1 Nnnaa nnn ， 求 na 。(6)数 列 na 中 ， 11 a ,
3、 52 a ， ),2(45 *21 Nnnaaa nnn ， 求 na 。32、 (1)数 列 na 中 ， 1 2a ， *12 ( 2, )n na a n n N ， 求 数 列 na 的 通 项 。(2)数 列 na 中 ， 1 2a ， *112 ( 2, )n na n n Na ， 求 数 列 na 的 通 项 。43、 已 知 数 列 na 中 ， a1=1， 1 1 22( )n nna a a a (1)求 数 列 na 的 通 项 公 式 ； (2)求 数 列 12 2 2nn naa a 的 前 n 项 和 Sn.4、 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 na
4、 的 前 n项 和 满 足 1nS ， 且 6 ( 1)( 2)n n nS a a ，*n N ， 求 na 的 通 项 公 式 。5、 设 数 列 na ， a1 65 ， 若 以 a1， a2， ， an为 系 数 的 二 次 方 程 ： an 1x2 anx 1 0（ n *且 n 2） 都 有 根 、 满 足 3 3 1.（ 1） 求 证 : na 21 为 等 比 数 列 ；（ 2） 求 na ；（ 3） 求 na 的 前 n项 和 Sn.56、 数 列 na 中 ， 2,8 41 aa 且 满 足 nnn aaa 12 2 *Nn 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ； 设 |
5、 21 nn aaaS ， 求 nS ； 设 nb = )12( 1 nan )(),( *21* NnbbbTNn nn ， 是 否 存 在 最 大 的 整 数 m ，使 得 对 任 意 *Nn ， 均 有 nT 32m 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 m的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由6【 考 题 赏 析 】1、 数 列 na 的 首 项 为 3， nb 为 等 差 数 列 且 1n n nb a a ， ( )n N 若 3 2b ，10 12b ， 则 8a =A 0 B 3 C 8 D 112、 已 知 数 列 na 的 前 n项 和 nS 满 足 ： m n
6、m nS S S ， 且 1a =1 那 么 10a =A 1 B 9 C 10 D 553、 2014新 课 标 全 国 卷 已 知 数 列 an满 足 a1 1， an 1 3an 1.(1)证 明 an 12 是 等 比 数 列 ， 并 求 an的 通 项 公 式 ；(2)证 明 1a1 1a2 1an 32.7【 巩 固 练 习 】 班 级 _姓 名 _1、 数 列 na 满 足 1 111, 1( 2)2n na a a n ， 则 na = ；2、 数 列 na 的 前 n项 和 nS 满 足 2log ( 1) 1nS n ， 则 na = ；3、 设 na 是 首 项 为 1
7、的 正 项 数 列 ， 且 （ n+1） 1na 2 n na 2+ 1na na =0（ n N*） ， 则 它 的 通项 公 式 na =_.4、 已 知 nnn aanaa 11 ,1 ， 则 数 列 na 的 通 项 公 式 na 等 于 _.5、 在 数 列 na 中 ， 1 2a ， 前 n项 之 和 为 nS ， 且 12 3n nS bS * 1( 2, , 0, )2n n N b b ， 求 数 列 na 的 通 项 公 式 。6、 在 数 列 na 中 ， 1 1 1 11, (1 ) 2n n nna a an （ 1） 设 nn ab n ， 求 数 列 nb 的 通
8、 项 公 式 ；（ 2） 求 数 列 na 的 前 n项 和 nS 。7、 数 列 na 的 前 n 项 和 为 Sn， 数 列 bn中 ， b1=a1， bn= na 1na （ n 2） ， 若 na +Sn=n.（ 1） 设 cn= na 1， 求 证 ： 数 列 cn是 等 比 数 列 ；（ 2） 求 数 列 bn的 通 项 公 式 .88、 已 知 数 列 na 中 ， 1a = 65 且 对 任 意 非 零 自 然 数 n 都 有 11 1 13 2 nn na a .数 列 nb 对 任 意 非 零 自 然 数 n都 有 1 1 12n n nb a a .（ 1） 求 证 :数 列 nb 是 等 比 数 列 ； （ 2） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 .
