1、导数与零点 1.设函数 ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是（ D ） 2lnxfxeafxaA. B. C. D. 10,e210,e21,e21,e2.已知函数 与函数 的图像有两个不同交点，则实数 的取值范围为（ D ） 2xmf21gx mA. B. C. D. 0,12180,e280,e2180,e3.若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，且 ，其中 ，xxme123,x123xxmR则 的值为（ D ） 3121xxxeA. B. C. D. 14. 已知方程 有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ln 2+ 32= 0 4 ( )A. B. C. D. (0,
2、e22) (0,e22 (0,e23) (0,e23【解析】由 得 ， ln 2+ 32= 0 2= ln + 32因为 ，所以方程等价为 ，设 ，则函数 是偶函数， 0 =ln+322 () =ln+322 ()当 时， ，则 0 () =ln+322() =1 2(ln+32) 24= 2ln34= 2(1+ln)4 ,由 得 ，得 ，即 ，得 ，此时函数单调递增， () 0 2(1 + ln) 0 1 + ln 0 ln 1 1e即当 时， 时，函数 取得极大值 ， 0 = 1e () (1e) =ln1e+32(1e)2= ( 1 + 32)e2= 12e2作出函数 的图象如图： ()
3、要使 ，有 个不同的交点，则满足 =ln+322 4 0 0,(0) = 2+ 0,() = 22 0,0 0 ( )A. B. C. D. ( 1+ln22 , 1+ln33 ) (1+ln33 ,1+ln22 ) ( 1+ln22 , 1+ln33 ( 1, 1+ln33 【解析】因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， () = 1(1+ln)2 = ln2 () (0,1) (1, + )当 时， 或 ，此时不等式 有无数个整数解， 0 2() + () 0() 0 2() + () 0不符合题意； 当 时， ，此时不等式 有无数个整数解，不符合题意； = 0 2() + ()
4、0() 0 2() + () 0当 时， 或 ，要使不等式 恰有两个整数解， 0() 2() + () 0必须满足 ，得 (3) 0 = 3，令 ， ， 2 () = 3 2 () = 32 2所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，又 ，所以当 时，函数 () (0,23) ( ,0) (23, + ) (1) = 0 = 23 取得极小值 ， 取得极大值 所以 的图象如图所示，() (23) = 427 () 427 () = 43 = (), 0, (), 0 = e换得 图象（如图）， () = e令 ，则关于 方程 两根分别在 ，() = () = 2 + 1 = 0 (0,1e)
5、时（如图）， (1e, + )满足 的 有 个，由 解得 () = 1 4 (1e) = 1e2 1e + 1 e2+1e9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ， 则对任意的 ，函数 () 0 () = e () =e e2 =e(1)2当 时， ，当 时， ，则当 时，函数取得极小值 ， 1 () 0 0 0函数，作出函数 的图象如图： ()设 ，则 时， 有 个根，当 时， 有 个根， = () e = () 3 = e = () 2当 时， 有 个根， 0 0 () = log2 1ln2 (1,2)则方程 ，即 的根在 上 log2 1ln2 = 0 () () = 2 (1
6、,2)12. 若存在正实数 ，使得关于 的方程 有两个不同的根，其中 + (2 + 2 4e)ln( + ) ln = 0为自然对数的底数，则实数 的取值范围是 e ( )A. B. C. D. ( ,0) (0, 12e) ( ,0) ( 12e, + ) ( 12e, + )【解析】当 时，方程只有一个解，不满足题意，所以 ， = 0 0所以原方程有两个不同的根等价于方程 有两个不同的根 1= 2(2e + )ln+令 ，则 设 ， = + 1 1= 2(2e )ln () = 2(2e )ln则 ，当 时， ，当 时， ， () = 2(2e ln 1) e () 0所以 在 上单调递减
7、，在 上单调递增， () (e, + ) (1,e)所以 ，且当 时， ，当 时， ， () (e) = 2e 1 0 + () 所以要使 存在两个不同的根，则需 ，即 ， 1= 2(2e )ln 0 12e所以 的取值范围为 ( 12e, + )13. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 ，则 () = 3+ 2 2( 0) 12,x( )A. 当 时， ， B. 当 时， ， 0 0 12 0 1+ 2 0 0 1+ 2 0 12 0当 时，函数的图象如图所示， 0此时 和 是函数的两个零点，显然 ， 关于原点的对 23 1 231 0 23+ 1 0以 23+ 2 014. 定义在 上的偶
8、函数 满足 ，且当 时， ，若函数 () (2 ) = () 1,2 () = ln + 1 ()有 个零点，则实数 的取值范围为 = () + 7 ( )A. B. (1ln28 ,1ln26 ) (ln216 ,ln218 ) (ln216 ,ln218 )C. D. (1ln28 ,1ln26 ) (1ln28 ,ln216 )【解析】因为函数 可得图象关于直线 对称，且函数为偶函数则其周期为 ， (2 ) = () = 1 = 2又因为 ，当 时有 ，则函数在 为减函数，作出其函数图象如() = 1 1 = 1 1,2 () 0 1,2图所示： 其中 ， ，当 时 要使符合题意则 ， = ln216 = ln218 0 (1ln28 ,1ln26 )综上所述，实数 的取值范围为 (1ln28 ,1ln26 ) (ln216 ,ln218 )15. 已知函数 ，若方程 有五个不同的根，则实数 的取值范围为 () = e, 0, 01, = 0e , 0 e= , 当 时， 显然，若 为方程 的解，则 为方程 的解， 0) = ( 0)设 与 相切，切点为 ，则 解得 ， = = e (0,0) e0= ,0= e0, 0= 1 = e因为 与 在 上有两个交点，所以 ，即 = e = (0, + ) e e
