1、浙 江 大 学 一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、求极限(1limlnnnnnn+ ) 二、在 xy平面上求一点，使它到三条直线 0,0 = yx 及 0162 =+ yx 的距离的平方和最小 三、计算二重积分 ，其中 由曲线 所围城的区域 Dxydxdy D yxyx +=+22四、设 在 时连续， )(xf 0x 3)1( =f ，并且111() () ()xy y xf tdt x ftdt y ftdt=+， )0,0( yx ，试求函数 )(xf五、设函数 连续，若有数列),()( batf 在 ),(,(, bayxayaxnnnn 使 lim (
2、 )nnf xA= 及浙江大学 10 年数学分析试题 第 1 页，共 11 页 lim ( )nnf y= B，则对 ,A B之间的任意数 ，可找到数列 ，使得nza lim ( )nnfx = 六、设 ，令01,1,2kak ),(,0, 记上连续，且 ，试证明： 121lim exp ln ( ) bnnn nanf ff fxdba=“ x并利用上述等式证明下式： rdxrxr ln2)cos21ln(21202=+)1( r 八、从调和级数 “ +n131211 中去掉所有在分母的十进表示中含数码 9 的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的 浙 江 大 学 二年攻读硕士学位研究生入学
3、考试试题 考试科目： 数学分析 一、 （10 分） （1）求极限10(1 )limxxexx+ （2）设2101, ,2,3,lim2nnnxxx ax bx n x= =“ 求 二、 （10 分） （1）设 KabafbfKfba=+)()(lim,)0(00试证明 （ 2） 设 ()f x 在 上连续，,ab ()f x 在 内存在，试证明存在(,)ab (,)ab ，使得)(4)()2(2)()(bf2fabbafaf =+ 三、 （15 分） （1）求数项级数=12nnn的和 S（2）试证明=11)(nxnxs 在 (1, )+ 上的连续函数 四、 （15 分） （1）设方程组 ，确定
4、了可微函数 ，试求=+=+0sinsin0vyuxvuyx=),(),(yxvvyxuuyvxvdu, （2）设2cos( )() dyyxyFy xx=，求 )1(F 五、 （30 分） （1）计算定积分20sin1cosxxIdxx=+ （ 2） 求以曲面 为顶，以平面22yxez= 0=z 为底，以柱面 为侧面的曲顶柱体的体积 V 122=+ yx（3）设 表示半球面+)1(12222+= yxyxz 的上侧，求第二类曲面积分 +=+dxdyyzxdzdxzyxdydzzyxJ222)2()2()( 六、 （20 分） （1）将函数 xxf =)( )( x 展开成 级数 Fourier
5、（2）求级数=121nn的和 （3）计算广义积分10ln(1 )xdxx 浙江大学 10 年数学分析试题 第 2 页，共 11 页 浙 江 大 学 二一年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、 （30 分） （1）用“ 语言”证明2211lim323nnnnn+3=+ （2）求极限tan21lim(2 )xxx （3）设10 1(ln )1xfxxx，且 (0) 0f = ，求 ()f x 二、 （10 分）设 是可微函数，求 ，其中()yyx= (0)y 2sin 7xyy ye e x x=+ 三、 （10 分）在极坐标变换 cos , sinxr yr =之下，变换方
6、程2222(, )zzf xyxy+= 四、 （20 分） （1）求由半径为 a的球面与顶点在球心，顶角为 2 的圆锥面所围成区域的体积 （2）求曲面积分22() () ()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy= + +，其中 是曲面 S222(1zxyz= 2)的上侧 五、 （15 分）设二元函数 (, )f xy在正方形区域 0,1 0,1 上连续记 0,1J =（1）试比较 inf sup ( , )yJ xJf xy与 supinf ( , )xJ yJf xy的大小并证明之； （2）给出一个使等式 inf sup ( , ) supinf ( , )yJ xJ
7、xJ yJf xy fxy = 成立的充分条件并证明之 六、 （15 分）设 ()f x 是在 1 上可积且在,1 0x= 处连续的函数，记 (1 ) 0 1()10nnnxxxxex =，证明：11lim ( ) ( ) (0)2nnnf xxdxf= 浙江大学 10 年数学分析试题 第 3 页，共 11 页 浙 江 大 学 二二年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、 （30 分） （1）用“ 语言”证明 03)1)(2(lim1=xxxx （2）给出一个一元函数 ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之 f（3） 设 为二元函数，在 附近有定义，试讨论“ 在 处可
8、微”与“ 在 附近关于),( yxf ),(00yx ),( yxf ),(00yx),( yxf ),(00yx x、 y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例 二、 （30 分） （1）设12)(+=xxxf ，数列 由如下递推公式定义： nx10=x ， ，)(1 nnxfx =+(0,1,2,n )= “ ，求证： 2lim =nnx （2）求21coslimxxx （3）求 ， (0 ，)0()(nf ,1,2,n = “ ) 0)0( =f ，21)(xexf= （当 0x 时） （4）求不定积分 dxx+21 （5）证明：=11)(nxnx 在 ),1( 上连续可微 三
9、、 （20 分） （1）求第一型曲面积分=+=2222222)(RzyxhzyxdSI ，其中 Rh （2）设 为三个实数，证明：方程 的根不超过三个 ,abc cbxaxex+=2四、 （20 分）设 ，求证： xxxxfnncoscoscos)(2+= “（1）对任意自然数 n，方程 1)( =xfn在 0, )3内有且仅有一个正根 （2）设 nx 0, )3是 的根，则 1)( =xfnlim3nnx= 浙江大学 10 年数学分析试题 第 4 页，共 11 页 浙 江 大 学 二三年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、 （15 分）叙述数列的柯西（Cauchy ）收
10、敛原理，并证明之 二、 （15 分） 设 ()f x 在 , 上一致连续，a + ()x 在 , a + 上连续，且 lim () () 0xfx x=证明： ()x 在 , 上一致连续 a +三、 （15 分）设 ()f x 在 , 上有二阶连续导数，且 ，当a + () 0, () 0fa f a 时 ( ) 0fx 证明：在 , 内，方程a + () 0fx= 有且只有一个实根 四、 （20 分） 设 ()f x 连续，10() ( )dx fxtt =，且0()limxfxAx= （常数） ，求 ( )x ，并讨论 ( )x 在 处的连续性 0x=五、 （10 分）定义 为 ()nPx
11、21d( 1)()2! dnnnnnxPxnx= ， 1, 2,n = “ 0() 1Px= 证明：110() ()d221mkmkPxPxxmkm=+ 六、 （10 分） 给出 Riemann 积分 ()dbaf xx的定义，并确定实数 的范围使下列极限收敛 s101lim ( )nsniinn= 七、 （20 分）证明： （1） 函数项级数121(1)nnnx=+在 上一致收敛，但是对任意(, ) )(,x 非绝对收敛；（2） 函数项级数221(1 )nnxx=+对任意 (,x ) 都绝对收敛，但在 (,)上非一致收敛八、 （45 分）计算 （1） （15 分）1001max ln dss
12、tt； （2） （15 分）2D3dd3x xyyxy+，其中 为平面曲线D221, 3, , 3xyxyyxyx= =所围成的有界闭区域 （3） （15 分）1(, ,)dxyzf xyz S+=，其中22222222211(, ,)01xyzxyzfxyzxyz +=+ 浙江大学 10 年数学分析试题 第 5 页，共 11 页 浙 江 大 学 二四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、 （15 分） 设函数 ()f x 在区间 X 上有定义试证明： ()f x 在 X 上一致连续的充要条件是对区间 X 上任意的两数列 nx 与 mx ，当 lim( ) 0nmnxx
13、= 时，有 lim( ( ) ( ) 0nmnfx fx = 二 、 （ 15 分 ） 设函数 ()f x 在区间 (1,1) 内具有直到三阶的连续导数，且 (0) 0f = ，0( )lim 0xfxx= 试证明：21()nnfn=绝对收敛 三、 （15 分） 设函数 ()f x 在区间 , 上可微，且ab ()f x 在 a点的左导数 ，在点的右导数 ，( ) 0fa+，使得 0 中任何两点,1 , x x 满足 xx 九、 （15 分）利用公式2012dxyexxx =( )0计算积分 2001sinsin( )d d2xxx+ +=的值（并说明计算过程中每一步的合理性） 十、 （20
14、分）（1） 设 为3R 中光滑区域， 为其边界，函数 在 上有连续二阶导数证明：,uv +( )ddd ( )dvuuv vu xyz u v Snn = 其中n为沿边界 外法线方向的导数， 为边界上的面积元， dS222222x yz = + + （2） 的坐标为 (,3PR , ) ，函数 22(, ,) ( ) ( ) ( )rxyz x y z2 =+ 证明：10r=在3 R P 上成立 （ 3） 设 (,)BP 是以 为中心 P 为半径的球， (,)BP 为其边界若在 (,)BP 上 满足，则u0u=2(,)1() d4BPuP uS= 浙江大学 10 年数学分析试题 第 6 页，共
15、 11 页 浙 江 大 学 二五年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、计算定积分： 20sinxexdx二、假设 ()f x 在 0 上黎曼可积，,1103()2fxdx=，求11lim 4ln1 ( )nniifnn=+ 三、设 是实数， 且 试确定 ，使得,abc 1b 0c ,abc30sinlimln(1 )x xbax xctdtt=+ 四、 ()f x 在 , 上连续，ab ,x ab 都可找到 ,yab ，使得1|()| |()2|f yf x 求证： ,ab 使得 () 0f = 五、 （1）设 ()f x 在 , 上连续，且)a + ()af xdx+收
16、敛 证明：存在数列 ，使得, )nxa+nx 满足 limnnx=+且 li m ( ) 0nnfx=（2）设 ()f x 在 , 上连续， ，且)a + () 0fx ()af xdx+收敛 试问：是否必有 ，为什么？ lim ( ) 0nnfx=六、设 ()f x 在 0 上具有二阶连续导数，且已知, )+0(0, )sup | ( ) |xM fx+= 和 2(0, )sup | “( ) |xM fx+= 都是有限数，求证： （1）022( )2M tf xMt+对任何的 ,(0,tx ) + 都成立 （2）若1(0, )sup | ( ) |xM fx+= 也是有限数，则1022M
17、MM 七、设 ()f x 在任何有限区间上黎曼可积，且 |()|f xdx+收敛 证明： li m ( )sin 0nf x nxdx+=八、 （1）将 arctan x 展开为幂级数，并求其收敛半径 （2）利用（1）证明：44 (1)4435 2 1nn=+ + +“ （3）利用（2）的公式近似计算 的值，需要用多少项求和，其误差不会超过 10m？ 九、设 是 上 径向函数，即存在一个一元函数(, )uxy2/0,0R2C f ，使得 (, ) ()uxy fr= ,其中2rxy=+2，若 满足如下方程：(, )uxy22220uuxy+=，试求函数 f 满足的方程及 的表达式 (, )ux
18、y十、 （1）设 f 是1R 上的周期为 L 的函数 ，且(0L ) f 连续可微， 0() 0Lfxdx=浙江大学 10 年数学分析试题 第 7 页，共 11 页 利用 f 的 Fo 级数展开式证明：urior2222004|()| |()|LLf xdx fxdLx 等号成立当且仅当存在常数 ，使得11,aa2211()ttiiLLf tae ae=+ （2）设 是2R 上满足条件的光滑连通区域， 是 S 的面积，则有： 2S divrdxdy rvds= K KK 其中 12(, ) (, ) (, ), ,rxy rxyi rxyj i j v=+ KKKK其中 是单位向量， 是 的单
19、位法向量（3） 定义同上，记 l为 的边界长度，利用 （1）（2） 证明： 24lS ，当且仅当 为圆盘时等号成立 附1999年前部分试题： 一、求极限22lim sin ( )nnn+ 二、计算不定积分332xdxx x+ 三、证明：2211 1(),ln ln (ln )knonkknn nn+=+ + 四、设 (), ()f xgx在 , 上连续， 在 内可微，且ab ()gx (,)ab () 0ga= ，若有实数 0 ，使得 () () () ()gxfx g x gx+， (,)x ab 成立，试证： () 0gx 五 、设 为(, )zzxy= ,x y 的二次可微函数，作自变量
20、和因变量的变换，取 为新的自变量， 为新的因变量，使得,uvw ,xwxzyu vxy= =，请将方程2222zzyyy+=x变换成关于新变量 的方程 ,wuv六、求证： （1）000sin sin(1)nnxxdx dx+=+n； （2）00sin sinx xdx dxx x+000lim ( ) ( )xyya f xdx f xdx+ += 六、 （15 分）计算2222223/21()xyzxdydz ydzdx zdxdyax by cz+=+，其中 0, 0, 0abc七、 （20 分）计算 在单位球上的积分： 222:Vx y z+=1cos( )VI ax by cz dxd
21、ydz=+ 八、 （20 分）设函数21()12fxx x=,证明级数()0!(0)nnnf=收敛 九、 （15 分）设 ()f x 可微， (0) 0f = ，对于任意的 x有 ( ) ( )f xAfx ，证明： 在 0 上有 , )+ () 0fx浙江大学 10 年数学分析试题 第 9 页，共 11 页 浙 江 大 学 二七年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 编号： 427 一、 （30 分）证明： （1） 3sin (1 ) ( ),( 0)xexxxOxx+= （2） 2cos sin 1 , (0, )xxxxx+（3）设 是 1 上的可积函数，则有： f ,1
22、2221211() ()(1 )xyzf z dxdydz f u u du+= 二、 （30 分） （1）叙述数集的上确界及下确界的定义 （2）设 是一个有上界的数集，用 表示 的一个平移，即SaS S |aSxaxS= + 其中 是一个实数,试证明： a aSSa+= supsup （3） 确定数集2231( 1) | 1,2,3, 2nnnn=“ 的上确界和下确界( 必须用定义加以验证) 三、 （20 分）狄利克雷函数 ，试分别用以下两种方式证明： =为无理数为有理数xxxD,0,1)(当 时， 的极限不存在 1x )(xD（1）极限定义； （2）柯西收敛准则 四、 （20 分） （1）
23、设函数列 与 在区间 )( xfn)( xgnI 上分别一致收敛于 与 ，且假定 与 都在)(xf )(xg)(xf )(xg I 上有界试证明： () ()nnf xg x 在区间 I 上一致收敛于 ()()f xgx （ 2） 如果只给出条件 : 与 分别一致收敛于 与 ，能否保证必有 ()( xfn)( xgn)(xf )(xg) ()nnf xg x 一致收敛于 ()()f xgx? 请说明理由 五、 （15 分）设 在 , 上可积,并且在)(xf ab bx = 处连续证明： ()11lim ( ) ( ) ( )bnnannx afxdxfbba+= 六、 （15 分）设1130,
24、 1 , 1, 2,3,4nnnaaa na+=+ =+“ 证明：数列 有极限，并求其值 na七、 （20 分）设=+=12)1ln(1)(nnxnnxf ，证明： （1） 在 1 上连续； )(xf ,1（2） 在 处可导； )(xf 1x=（3） ； 1lim ( )xfx=+（4） 在)(xf 1x= 处不可导 浙江大学 10 年数学分析试题 第 10 页，共 11 页 浙 江 大 学 二八年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 浙江大学 10 年数学分析试题 第 11 页，共 11 页 编号： 847 一、 （20 分）证明： 2sinlim cos cos cos22
25、 2nntt tt=“t（1） （2）利用（1）证明 2 11111 11122222 222=+ +“ 二、 （15 分）已知 ()f x 在 处连续可导，且 0x= (0) 0f = (0) 5f =， ，试求如下极限： 1001lim ( )xf xt dtx 三、 （15 分）讨论下面级数的收敛性： 111sin(1 )2nnxnn+=+“ 0 四、 （15 分） 试证函数 I()f x ,x y在区间 上一致连续的充要条件是： ，存在 及正数 ，使得() ()|fx fyMxyx y0M ,x yI 且 |() ()|fx fy 七、 （20 分）设二元函数 1222(),(, )0x yxyQfxy+=其它情况其中 1 （1）函数 (, )f xy在原点是否连续，是否可微？并证明你的结论 （2）讨论函数 (, )f xy在除原点以外的其它点的连续点和可微性 八、 （15 分）设 f 是 1 上的可积函数,试证： ,12221211() ()(xyz)f ax by cz dxdydz u f ku du+ = 22k abc=+2其中 九、 （15 分）函数 ()f x ， 在整个数轴上连续，且()gx (1) (gx gx)+ = ，试证： 111000lim ()( ) ( () )( () )nf x g nx dx f x dx g x dx=
