1、北京大学1997年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 一、（10分）将函数22( ) arctan1xfxx=在0x =点展开为幂级数，并指出收敛区间。 二、（10分）判别广义积分的收敛性：0ln(1 )dpxxx+。 三、（15分）设()fx在( ), +上有任意阶导数()()nfx，且对任意有限闭区间 ,ab，()()nfx在 ,ab上一致收敛于( )( )xn +，求证：()xx ce =，c为常数。 四、（15分）设0( 1, 2 )nxn = 及limnnxa+=，用N 语言证明：limnnxa+=。 五、（15分）求第二型曲面积分( d d cos d d d d )Sxyz
2、yzx xy+，其中S为2 221xyz+=的外侧。 六、（20分）设(,)x f uv=，(,)y guv=，(, )w wxy=有二阶连续偏导数，满足fguv=，fgvu=，22220wwxy+=，证明： （1）2222() ()0fg fguv+=， （2）(,) ( (,), (,)wuv w f uv guv=满足22220wwuv+=。 七、（15分）计算三重积分2 225/22 22:2( ) dddxyz zx y z xyz+。 北京大学1998年研究生入学考试题 考试科目：数学分析 一、（26分）选一个最确切的答案，填入括号中： 1.设()fx定义在,ab上，若对任意的(
3、, )g R ab，有( , )f g R ab，则 （ ） A. ( , )f R ab， B. ( , )g C ab， C. f可微， D. f可导。 2.设( , )f C ab，若存在lim ( ) 1xafx+=，lim ( ) 2xbfx=，则 （ ） A. ()fx在,ab一致连续， B. ()fx在,ab连续， C. ()fx在(,)ab一致连续， D. ()fx在(,)ab可微。 3.若反常（广义）积分10( )dfx x，10( )dgx x都存在，则反常积分10()()df xgx x（ ） A.收敛， B.发散， C.不一定收敛， D.一定不收敛。 4.若lim 1n
4、nna=，则1nna=（ ） A.发散， B.收敛， C.不一定收敛， D.绝对收敛。 5.设(, )f xy在区域22 ( , ) : 1xy x y+ 2.201 cotlim( )xxxx 3.011lim2nxxnn+=三、（10分）求下列积分值： 1.32 2dd dd ddSx yz xyzxxzxy+，222: 0, ,S z z bx y a= = +=。 2.11ddCxyyx+，: 1, 4,Cy x y x= = =逆时针一周。 四、（16分）解答下列问题： 1.求幂级数1( 1)!nnnnnxne=的收敛半径。 2.求级数02 ( 1)!nnnn=+的和。 五、（24分
5、）试证明下列命题： 1.反常积分20sind1pxxx+( 0)p 是收敛的。 2.设(, )f xy在22 ( , ) : 1G xy x y= +，则必存在(,)ab，使得() 0f =。 （ ） 3.设()fx在,ab上有界，若对任意的0 ，()fx在 ,ab+上可积，则()fx在,ab上可积。 （ ） 4.设()fx，()gx在0,1上的暇积分均存在，则乘积() ()f x gx在0,1上的暇积分必存在。 （ ） 5.设级数1nnb=收敛，若有nnab，( 1, 2, )n = ，则级数1nna=必收敛。 （ ） 二、（40分）求下列极限值（写出计算过程）： 1.20tan (1 co
6、s )limlog(1 ) (1 )xxa xb xxe+ ，22( 0)a + 2.2sin sinsinlim( )1112nnnnnnn+ +3.120lim (1 ) dnnxx4. lim 1n nna+，( 0)a 三、（45分）求解下列命题： 1.求级数023nnnn=之和。 2.设(0,1)fC，且在(0,1)上可微，若有7818 ( )d (0)fx x f=，证明：存在(0,1)，使得() 0f =。 3.证明：级数1arctan( 1)nnnn=收敛。 4.证明：积分0dxyxe y+在(0, )+上不一致收敛。 5.设(, ,)u f xyz=，2( , ,) 0ygx
7、 e z=，sinyx=，且已知f与g都有一阶连续偏导数，0gz，求ddux。 6.设()fx在 1,1上二次连续可微，且有0()lim 0xfxx=，证明：级数11()nfn=绝对收敛。 北京大学2000年研究生入学考试题 考试科目：数学分析 一、计算（8分5=40分） 1.求极限20()limxxxax ax+，0a 。 2.求22xxe到含5x项的Taylor（台劳）展开式。 3.求积分10dlnbaxxxx，其中0ab。 4.求积分2 22( )d d dVx y z xyz+，V是实心球2 22 2,0xyzR+ 。 5.求积分3 33dd dd ddSx yz y xz z xy+
8、，S是2 22 2xyza+=的外表面。 二、叙述定义（5分+5分=10分） 1. lim ( )xfx=+。 2.当0xa时，()fx不以A为极限。 三、（13分）函数()fx在,ab上一致连续，又在,bc上一致连续，abc割下的部分。 六、（10分）求极限2 2 222 22401lim ( ) d d dtxyztf x y z xyzt+，其中f在0,1上连续， (0) 0, (0) 1ff= =。 七、（10分）求常数，使得曲线积分22d d0Lxxrx ryyy=22()r xy= +对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。 八、（10分）证明函数11()xnfxn=在(1, )上无穷次
9、可微。 九、（10分）求广义积分220arctan( ) arctan( )dbx axxx，0ba。 十、（10分）设()fx是以2为周期的周期函数，且() ,fx x x=的外侧。 八、（10分）判断级数11ln cosnn=的收敛性并给出证明。 九、（10分）证明：（1）函数项级数1nxnnxe=在区间(0, )上不一致收敛；（2）函数项级数1nxnnxe=在区间(0, )上可逐项求导。 十、（10分）设()fx连续，0( ) ( )dxg x yf x y y= ，求()gx。 北京大学2005年研究生入学考试题 考试科目：数学分析 一、设22sin 1( ) sinsinxxfx x
10、xx=，试求lim sup ( )xfx+和lim inf ( )xfx+。 二、证明下列各题： （1）设()fx在开区间(,)ab可微，且()fx在(,)ab有界，证明()fx在(,)ab一致连续。 （2）设()fx在开区间(,)ab ()ab方向向上。 七、(, )f xy是2R上的连续函数，试作一无界区域D，使(, )f xy在D上的广义积分收敛。 八、sin( ) ln(1 )pxfxx= +，讨论不同p对()fx在(1, )+上积分的敛散性。 九、记()1(, )nx ynF x y nye+=，是否存在0a 以及函数()hx在(1 ,1 )aa+上可导，且(1) 0h =，使得(
11、, ( ) 0F xhx =。 十、设()fx，()gx在,ab上黎曼可积，证明：()fx，()gx的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是() ()d 0baf x gx x=。 数学分析 2008 1 证明有界闭区间上的连续函数一致连续. 2是否存在(-,+ )上的连续函数f(x),满足f(f(x)=enullnull?证明你的结论. 3数列xnull(n1)，满足nullnnullnull,求证xnull无界. 4f(x)是(-1,1)上的无穷次可导函数,f(0)=1,|f(0)|2,令g(x)=nullnullnullnullnullnullnullnull,|gnullnullnulln
12、ull0null|2n!.证明对所有正整数n,|fnullnull0null|(n+1)! 本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正. 5null nullynullznulldydz null nullznullxnulldzdx null nullx null ynulldxdy:球面xnullnullynullnullznullnull2Rx被圆柱面xnullnullynullnull2rx(0，且() ( ()f x f fx =？ 六、已知()fx是 )0,+上的单调连续函数，且lim ( ) 0xfx=，求证：0lim ( )sin d 0nf x nx x+=。 七、求曲线积分( )d ( )d ( )dLyz x zx y xy z + +，其中L是球面2 221xyz+=与球面2 22( 1) ( 1) ( 1) 4xyz+=交成的曲线。 八、设, 0xyz，xyz+=，求2cos 3cos 4cosxyz+的最大最小值。 九、设() (,)f x Cab，对任何(,)x Cab都有0( )( )lim 0hfx h fx hh+ ，求证：()fx在(,)ab上单调不减。 十、已知()fx是 )0,+上的正的连续函数，且01d()xfx+，求证：201lim ( ) dAAfx xA+=+。
