1、极值点偏移问题（4）比值代换（解题方法）杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)本讲我们来重新审视极值点偏移问题，并给出新的解题方法极值点偏移问题的一般形式是：已知函数 的极值点为 ，两相异实数 满fx0x12,x足 ，求证： 或 或其他关于 的不等12fxf120x212,式从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式证明：在等量条件 的12fxf约束下求证 的二元不等式一个自然的想法是：能否将双变量的条件不等式化为单12,x变量的函数不等式呢？答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子引例 已知函数 ，设 ，求证：lnfx120x1212fxfx证明： 1
2、212121 12 2lnffxxxx 1121122 2lnl0xx，112 2112 212ln0lnxxxx令 ，即证 12xt2l1tt设 ， ，则 ，2lntgt,32 210tttg得 在 上单减，有 ，得证t1,10gt上述证法通过代数变形，将所证的双变量 的不等式化为单变量 的函数不12,x12xt等式，从而得证能否一开始就做这个代换呢？令 ，则 ，将之代入式得12xt12tx222 2lnlln01ttttx x，22llntttt即为式， 也被消掉了！这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为，下面就用2x这种方法再解前面举过的例子再解例 1（3）：可设 ， 即 ，取自然
3、对数120x12fxf12xxe得 令 ，则 ，代入上式得12lnlx1t21t，得 ， 所以11llntxtlnt2lxt，构造函数可证，交给读者122l01txt再解例 3： 即 ，令 ，则 ，代入上式12fxf12lnlxx21t21xt得 ，得 所以111lnlnxt1lt221lnln221txxtte，同前，交给读者ln01t再解练习 1：由题意得 ， ，代入解得 ，12lnx21xt1lntxln1ttxe（1） 21ln2ll21txte，构造函数可证，交给读者lnl0t t（2） ，同前2112 1lnl 2ln01txextt 再解例4： ，则0lnlnxxfeaeaexa
4、xa即 1212lnl（3） 的证法同本节例 1；x（4） 即 ，可证，交给读者122ll1ln0tttt再解例 5：仿例 1、4 得 ，可1212llttxtt证再解例 7：令 ，则 ，btalnlntatat，得 ， lnl1tattl1tl1te（2） n2lln2bat tt，同前可证1l10（3） l1lln22ttaattabt，可证lnl0ttt再解例 8： 即 ，令 ，则12fxf12llxaxa21xt，得 所证结论等价于112ln2lnxatt1nt，12 32l66l012ttx A可证行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，只需通
5、过一个代换就可双元化单元，变为单变量的函数不等式，易证那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现） ，这就补上，请读者明察试再解例 2： 222101x xfxeaaxe，所以lnl1lnlnlnla a，令 ，则1122ln2lnlln1lxxxxa21xt，代入上式并不能用 表示 21tt1试再解例 6： 即 ，得12hx2211lnllnxxttx 证明不21lnltx2 211 2llttet易试再解练习 2： ，所01ln1xxfaaxax以并不能用 表示 1211lnlnlnxxt
6、t t1（注：文章发出后，浙江郑海明提醒，原式可变形为，将 看作整体，令 即1122llx12，x21xt可，感谢！）这是比值代换的败笔，又是最精彩之处没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用就比值代换法解极值点偏移问题来看：代换 对单一的对数式21xt最有效；若稍微复杂一点就可能失效，关键是看代换后能否顺利解出 的值（用 表lnx t示） ；有时转化后的函数不等式比较复杂（可证但不易） ，这样就失去了比值代换的便捷最后，我们来看比值代换的另一个应用例 9 （2014 天津理 20）设 ， 已知函数
7、有xfaeRyfx两个零点 ，且 12,x12x（1）求 的取值范围；a（2）证明： 随着 的减小而增大；21x（3）证明： 随着 的减小而增大2a解：（1） 即 ，由题意得直线 与函数 的图0xfexeyaxye象有 2 个不同的交点，由下图易知 ；1xyy=a y = xex x2x11/e 1O（2）函数 的零点即直线 与函数 图象的交点的横坐标，如上图，yfxyaxye有 由 在 上单调递增，在 上单调递减可知，当 减小120xxe0,11,a时， 随之减小， 随之增大，则 增大，即 随着 的减小而增大122121xa（3）由 得 ，则 0xfaeln12lnllnxa设 ，则 ， ，
8、得 ，所以21xt21t11lltt1t121lntxtx令 ， ，则 ，令 ，ltgt1,21lntgt12lnhtt得 ，则 在 上单调递增，故当 时，有210ththt, 1t，则 ， 在 上单调递增tgtt1,于是， 随着 的增大而增大，由（2）知 随着 的减小而增大，所以 随1xta12x着 的减小而增大a练习 4 关于函数 ，下列说法错误的是lnfx（A） 是 的极小值点2x（B）函数 有且只有一个零点yfx（C）存在正实数 ，使得 恒成立kfkx（D）对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则 12,x12x12ffx124x练习 5 设函数 有两个零点 ，且 ，记 ，xfae12,1212ga证明： 为定义域上的减函数ga
