1、2018年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 1 页 (共 4 页) 学校：年级：姓名：性别：准考证号：密封线2018年全国高中数学联合竞赛（四川预赛） （5月20日下午14：3016：30） 考生注意：1本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分. 2用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3计算器、通讯工具不准带入考场. 4解题书写不要超过密封线. 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1. 设 nS 、 nT 分别是等差数列 na 与 nb 的前n项和，对任意的正整数n，都有2 61nnS nT n . 若mmab 为质数，则正整数m的值为 【 】 A、2 B、3 C、5
2、 D、7 2. 设 1F、 2F 分别是椭圆2 22 2 1x ya b ( 0)a b 的左、右焦点，P为该椭圆上一点， 满足 1 2 90F PF . 若 1 2PF F 的面积为2， 则b的值为【 】A、1 B、 2 C、 3 D、2 3. 函数 (sin 1)(cos 1) )2 sin2x xy xx R（ 的最大值为 【 】 A、 22 B、1 C、1 22 2 D、 2 4. 设多项式 12 6( ) 1f x x x 除以 2 1x 的商式为 ( )q x ，余式 ( )r x ax b ，其中a，b为实数，则b的值为【 】 A、0 B、1 C、2 D、3 题 目 一 二三 总
3、成绩13 14 15 16 得 分 评卷人 复核人 得 分 评卷人 2018年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 2 页 (共 4 页) 5. 已知方程2 3 4 20181 02 3 4 2018x x x xx 的所有实数根都在区间 , a b 内（其中a，b Z ，且a b ），则b a 的最小值为 【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 6. 对任意正整数n，定义 Z(n)为使得1 2 m 是n的倍数的最小的正整数m关于下列三个命题： 若p为奇质数，则 ( ) 1Z p p ； 对任意正整数a，都有 (2 ) 2a aZ ； 对任意正整数a，都有 (3 ) 3 1a aZ . 其中所有真
4、命题的序号为 【 】 A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7. 设函数 9( )f x x x 在1, 4的最大值为M ，最小值为m，则M m 的值为 . 8. 在 ABC 中， 1cos 4B ，则 1 1tan tanA C 的最小值为 . 9. 6 10 156 10 10 15 15 61 2log 5 log 3 log 2log 5 log 3 log 3 log 2 log 2 log 5 的值为 . 10. 在三棱锥P ABC 中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且 1PA ， 2PB ，2PC ，若点Q为三棱锥P ABC 外接球的球面
5、上任一点，则Q 到面 ABC 距离的最大值为 . 11. 设直线y kx b 与曲线 3y x x 有三个不同的交点A、B、C， 且| | | | 2AB BC ，则k的值为 . 12. 设集合 1,2,3,4,5,6,7,8I ， 若I 的非空子集A、B满足A B ,就称有序集合对( , )A B 为I 的“隔离集合对”，则集合I 的“隔离集合对”的个数为 . （用具体数字作答） 得 分 评卷人 2018年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 3 页 (共 4 页) 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13. 已知双曲线2 214 3x y ，设其实轴端点为 1A、 2A ，
6、点P是双曲线上不同于 1A、2A 的一个动点，直线 1PA、 2PA 分别与直线 1x 交于 1M 、 2M 两点. 证明：以线段 1 2M M 为直径的圆必经过定点. 14. 设x，y，z为正实数，求 1 1 1( 2)( 2)( 2)x y zy z x 的最小值. 得 分 评卷人 2018年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 4 页 (共 4 页) 15. 已知数列 na 满足： 1 1a ， 2 *1 1 ( )8n na a m n N ，若对任意正整数n，都有 4na ，求实数m的最大值. 16. 设函数 ( ) 2lnpf x px xx . （1）若 ( )f x 在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围； （2）设 2( ) eg x x ，且 0p ，若在1, e 上至少存在一点 0x ，使得 0 0( ) ( )f x g x 成立， 求实数p的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n，都有 212ln (1 ) 3nk k 成立.
