1、一类三角恒等式 n 个角度为 2 , ,., 2 1 2 1 2 1nn n n 的平方三角函数满足如下方程 ： 2 2 22 1 4 2 22 1 2 1 2 12 2 212122 1 2 2122 2 22 t a n , t a n , . , t a n 2 1 2 1 2 1. ( 1 ) 02 c os , c os , . , c os 2 1 2 1 2 1. ( 1 ) 04 4 42 c ot , c ot , . , c ot2 1 2 1 2n n n n nn n nnn n n nn n nnnn n nt C t C t Cnn n nC C Ct t tnn
2、n n 满 足 ：满 足 ：1 3 1 5 2 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 21 2 1 2 4 2 21 2 21. ( 1 ) 02 se c , se c , . , se c 2 1 2 1 2 14 4 . ( 1 ) 4 0n n n n nn n n nn n n n n nn n nC t C t C t Cnn n nt C t C t C 满 足 ：满 足 ： 根据 棣莫佛 定理 ,我们可以得到 n 倍角公式 : 2 2 2 4 4 4 1 1 3 3 3( c o s s in ) c o s s in( c o s c o s s in c o s s
3、in . . . ) ( s in c o s s in c o s . . . )nn n n n nn n n na i a n a i n aa C a a C a a C a a C a a i 0 2 2 2 4 4 41 1 3 3 3c o s c o s c o s s in c o s s in . . .: ( 1 )s in s in c o s s in c o s . . .n n nn n nnnnnn a C a C a a C a ason a C a a C a a 事实上上面的基本 n 倍角展开式还可以由下面的式子直接得到 : ( c o s sin ) (
4、 c o s sin )c o s2( c o s sin ) ( c o s sin )sin2nnnna i a a i anaa i a a i anai 下面给出只含 cos 的 n 倍角公式及证明 : 21 1 2 210121 2 1 210c o s ( ) ( 1 ) 2 c o s( 2 )sin ( 1 ) 2 c o s sinnk k k n k n kn k n kknk k n k n knkkn C CnC 证 用数学归纳法来证明这两个公式。 1 当 1n 时， 121 1 1 2 1 21 1 10( )( 1 ) 2 co sk k k k kkkkCC 0
5、0 1 0 0 2 0 1 00 0 0( ) ( 1 ) 2 c o sCC cos ， 1121 1 2 1 1 2110( 1 ) 2 co s s ink k k kkkC 0 0 0 0 0 000 ( 1 ) 2 c o s s in s inC ， 公式显然成立。 2 设已知对某个给定的正整数 n ，公式成立，有 ncos sin (2 1) 0, 21knakakn， nsin 12 1 2 1 210( 1 ) 2 co s s i nnk k n k n knkkC 。 下面看 1n 时的情形： s ins inc o sc o s)1c o s ( nnn 21 1 2
6、1 210( )( 1 ) 2 co snk k k n k n kn k n kkCC 121 2 1 2 210( 1 ) 2 co s s i nnk k n k n knkkC 21 1 2 1 210( )( 1 ) 2 co snk k k n k n kn k n kkCC 121 2 1 2 1 210( 1 ) 2 (c o s co s )nk k n k n k n knkkC 21 1 2 1 2110( )( 1 ) 2 co snk k k k n k n kn k n k n kkC C C 121 1 2 1 210( 1 ) 2 co snk k n k n
7、knkkC 21 2 1 20( )( 1 ) 2 co snk k k n k n kn k n kkCC 1 121 1 1 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 )1 ( 1 )10( 1 ) 2 co snk k n k n knkkC 22 1 20( 1 ) 2 co snk k n k n knkkC 121 1 2 1 21( 1 ) 2 co snk k n k n knkkC 121 2 1 20( 2 )( 1 ) 2 co snk k k n k n kn k n kkCC 121 1 2 1 20( )( 1 ) 2 co snk k k k n k n kn k n
8、k n kkCCC 121 2 1 210( )( 1 ) 2 co snk k k n k n kn k n kkCC ； s inc o sc o ss in)1s in ( nnn 121 2 210( 1 ) 2 co s s innk k n k n knkkC 2 1 1 2 210( )( 1 ) 2 co s s i nnk k k n k n kn k n kkCC 21 1 2 2110( )( 1 ) 2 co s s i nnk k k k n k n kn k n k n kkC C C 21 2 20( )( 1 ) 2 co s s i nnk k k n k n
9、 kn k n kkCC 2220( 1 ) 2 co s s innk k n k n knkkC 。 可见，当 1n 时，公式也成立。 3 所以，对任何正整数 n ，公式都成立。 我们用一个简单的组合变换 11k k kn k n k n knC C Cnk 来把 (2)变形 220121210c o s ( 1 ) ( 2 c o s )2 ( 3 )sin ( 1 ) ( 2 c o s )sinnkk n knkknk k n knkkCnnnkn C 接下来我们证明篇首的恒等式 首先取 : sin(2 1) 0na,那么 a 的值为 : , 1, 2 21k ka k nn接下来我
10、们把式子展开 : 1 2 3 3 2 22 1 2 1s i n ( 2 1 ) s i n c o s s i n c o s . . . 0nnnnn a C a a C a a 为了换成 tan,两边除以 21cosn a ,得到 : 1 3 3 5 5 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1t a n t a n t a n . . . ( 1 ) t a n 0n n nn n n nC a C a C a C a 我们除掉一个 tana,再用 2tan at 换元 ,得到方程 : 2 1 4 2 22 1 2 1 2 1.( 1 ) 0n n n n nn n nt C t
11、C t C 他的 n 个根为 : , 1, 2 21k ka k nn取倒数 ,就得到 : 2 2 21 3 1 5 2 2 12 1 2 1 2 1 2 12 c o t , c o t , ., c o t 2 1 2 1 2 1.( 1 ) 0n n n n nn n n nnn n nC t C t C t C 满 足 ： 接下来我们考虑恒等式 (3): 12 1210s in ( 1 ) ( 2 c o s )s in n k k n knkkna Caa 取 21nn得到 : 2220s i n ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 c o s )s i nn k k n knkkn
12、a Caa 令 s i n ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 21kn a a k nn 再令 2cos at 得到： 12122 1 2 22 .( 1 ) 04 44nn n n nn n nnC C Ct t t 再取倒数，就可以得到 sec 一组： 2 2 21 2 1 2 4 2 21 2 22 s e c , s e c , ., s e c 2 1 2 1 2 14 4 .( 1 ) 4 0n n n n n nn n nnn n nt C t C t C 满 足 ： 这样我们证明了四个三角函数，角度为固定值的时候所满足的方程，根据韦达定理，可以得到一系列恒等式，下面给出几个常
13、见的 ： 2 2 22 2 22 2 22t a n t a n . t a n ( 2 1 )2 1 2 1 2 12t a n t a n . t a n 2 12 1 2 1 2 12 2 1c os c os . c os2 1 2 1 2 1 421c os c os . c os2 1 2 1 2 1 22 ( 2 1 )c ot c ot . c ot2 1 2 1 2 1 3c ot2nnnnn n nnnn n nnnn n nnn n nn n nn n n 2 2 221c ot . c ot1 2 1 2 1 212se c se c . se c 2 ( 1 )2 1
14、 2 1 2 12se c se c . se c 22 1 2 1 2 1nnn n n nnnnn n nnn n n 接下来我们用同样的方法可以得到角度为 2 ( 1) , ,., 2 2 2nn n n 的方程： 2 2 22 2 21 1 3 2 1 2 12 2 22 ( 1 )t a n , ta n , . , ta n 2 2 22 ( 1 )c o t , c o t , . , c o t 2 2 2. ( 1 ) 0n n n nn n nnn n nnn n nC t C t C 2 2 21 2 11 2 3 12 2 2 3212 2 21 1 3 2 2 5 3
15、 1 1 2 11 2 2 12 ( 1 )os , c os , ., c os 2 2 2.( 1 ) 04 4 42 ( 1 )se c , se c , ., se c 2 2 24 4 .( 1 ) 4 0nn n n nn n nnn n n n n nn n n nnn n nC C Ct t tnn n nC t C t C t C 这样，利用韦达定理，又可以得出一系列恒等式，下面是一些常用的： 2 2 2 2 2 22 2 21222 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )ta n ta n . ta n c ot c ot . c ot2 2 2 2 2 2 32 ( 1 )ta n ta n . ta n 12 2 22 ( 1 ) 1c os c os . c os2 2 2 22 ( 1 )c os c os . c os2 2 2 22se c se c .22nn n n nn n n n n nnn n nnnn n nnnn n nnn 21( 1 ) 2( 1 ) ( 1 )se c232 ( 1 ) 2se c se c . se c2 2 2nn n nnnn n n n
