1、 2015年北京大学 金秋营数学 试题 1、设 ABC的垂心为 H，中点三角形的内切圆为 T，圆心为 S。直线 l AB， mAC，且都与T相切（ AB,l； AC,m分别在 S同侧）， l与 m交于 T。 射线 AT上一点 N满足 AN=2AT， Q是优弧（ BAC）的中点，点 R让四边形 AHRQ成为平行四边形。证明： HR RN。 2、给定整数 k 3.证明：方程 mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有 3k+343k+1组整数解（ m, n, r） . 3、给定正整数 k. A,B,C三个人玩一个游戏（ A一边 ,B和 C一边）： A先从集合 1， 2， ， n中取 k个数交给 B，
2、 B从这 k个数中选择 k-1个有序地给 C，若 C能够确定 B没给 C的数是什么，则 B,C赢了，求最大的正整数 n，使 B,C有必胜策略。 4、确定全部 f Zx(deg f2),使存在 g Zx,满足 x3-1|f(x)g(x)-1. 6、平面上是否存在某个有限点集 A和某个有限直线集 B，满足 A中的每个点恰好在 B中三条直线上，且 B中每条直线恰好经过 A中的三个点。 8、设 k Z+, S=(m+1k ,n)|m,n Z,T=(m+ ,n)|m+2k , n)|m,n Z. 求所有正整数 k, 使得存在a,b,c,d R及映射 F:R2R 2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足 F(S)=T. 【部分试题参考解答】 第 1题参考解答 第 2题参考解答 第 5题参考解答
