1、http:/lanqi.org2015年北京学命科学冬令营试卷数学部分兰琦2017年111注意：所有题均为单项选择题，共14题1.已知函数f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点，则f(x) = 0的所有实根之和是( )A. 1 B. 0 C. 2 D. 4解析B2.若a + b = 2，则(a2 b2)2 8(a2 + b2)的值是( )A. 16 B. 0 C. 6 D. 8解析A由题意，(a2 b2)2 8(a2 + b2) = 2(a b)2 8(4 2ab)= 4(a + b)2 32= 16:3.程x2 6x + k = 0的两个实根分别为x1和x2，且x21x22 x1 x2 =
2、 115，则x21 + x22 + 8的值是( )A. 66 B. 32 C. 60 D. 80解析A考虑到元次程有解，舍去k = 11，得到k = 114.当2 x 3时，次函数f(x) = x2 2x 3的最值是( )A. 4 B. 3 C. 0 D. 1解析Cf(x)max = f(3) = 05.程x4 y4 4x2 + 4y2 = 0表的图形是( )A.两条平直线B.两条相交直线C.两条平线与个圆D.两条相交直线与个圆解析Dx4 y4 4x2 + 4y2 = (x + y)(x y)(x2 + y2 4) = 01http:/lanqi.org26.个梯形上下底的长度分别为1和4，两
3、条对线的长度分别为3和4，则梯形积是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析D平移条对角线，将梯形的面积转化为直角三角形的面积7.设n个数x1;x2; ;xn的平均数为a，t 0且a = 1若f(x)恰有两个互不相同的不动点，则a的取值范围是( )A. 0 a 1 B. 1 a e C. 1 a pe D. 1 a e1e解析D题意即ax = x有两个根，两边取对数得lna = lnxx有两个不相等的根，考虑函数g(x) = lnxx，求导知g(x)在(0;e上单调递增，在e;+1)上单调递减，g(x)max = g(e) = 1e，且当x 2 (e;+1)时，有g(x) 20; 1e
4、所以当lna 20; 1e时，程有两个根，对应f(x)有两个不动点11.设C1;C2是平上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动点C3与C1;C2均外切，则动点C3的圆轨迹为( )A.直线B.圆或椭圆C.抛物线D.双曲线的http:/lanqi.org3解析DjC3C1j jC3C2j = r1 r2 = 0，其中r1;r2分别表示圆C1;C2的半径12.考虑三维空间中任意给定的空间四边形abcd，其中a;b;c;d为四个顶点，四条直线段ab;bc;cd;da顺序尾相连在a点的内定义为射线ad与射线ab所成的，其补称为a点的外，其它顶点处类似考虑这种空间四边形的外和X，则有( )A. X = 2
5、B. X 2 C. X 2 D. X相对于2 关系不确定，三种可能性都存在解析B空间四边形的内角和与外角和的和为4 ，先考虑空间四边形的内角和Y，连结bd，如图：bcda我们用三个顶点的字母表示个角，在abd与bcd中，有dab +abd +adb +cbd +cdb +bcd = 2 ;所以只需要考虑abc与abd +cbd的小，以及adc与adb +cdb的小关系即可由三射线定理知cosabc =cosabdcoscbd + sinabdsincbdcos cosabdcoscbd sinabdsincbd=cos(abd +cbd);其中 表示面角a bd c的小于是我们得到abc ab
6、d +cbd，同理有adc adb +cdb，所以Y = dab +abc +bcd +cda 2 ;从X 2 13.定义函数f( ; ; ; ) = sin( )cos( ) + sin( )cos( )，则此函数f( ; ; ; )为( )A. sin( )cos( ) B. sin( )cos( )C. cos( )cos( ) D. cos( )sin( )解析没有正确答案http:/lanqi.org414.有4副动物拼图，每副种颜且各不相同，每副都固定由同动物的4个不同部分（如头、尾、腿）组成现在拼图被打乱后重新拼成了4副完整的拼图，但每副都不是完全同的，则符合上述条件的不同的打乱
7、式种数是( )A. 14400 B. 13005 C. 243 D. 634解析B四副拼图的颜用1;2;3;4表示，四个不同的部分用a;b;c;d表示，第排ai，第排bi，第三排di，第四排di，则每列都是副完整的画考虑先固定第，确定后三的排法即可：在不考虑限制条件的情况下，总排法有(A44)3种；减去有副图（不是只有）完整的情形，有C14(A33)3种；再加上有两副图完整的情形，有C24(A22)3； ，由容斥原理知不同的打乱式种数是(A44)3 C14(A33)3 + C24(A22)3 C34(A11)3 + C44 = 13005:15.设有三形A0B0C0，做它的内切圆，三个切点确定
8、个新的三形A1B1C1，再做三形A1B1C1的内切圆，三个切点确定三形A2B2C2，以此类推，次次不停地做下去可以得到个三形序列，它们的尺越来越，则最终这些三形的极限情形是( )A.等边三形B.直三形C.与原三形A0B0C0相似D.以上均不对解析A内切圆的顶点的对应关系如下图，为了便，我们直接用An;Bn;Cn记AnBnCn的三个内角（n 2N）：Cn AnBnInAn+1Bn+1Cn+1则三角形AnBnCn的内切圆圆In为三角形An+1Bn+1Cn+1的外接圆圆，于是有An+1 = 12Bn+1InCn+1 = 12( An):于是有An+1 3 = 12(An 3):于是有An =(A0 3)12n+ 3;n 2N:所以当n ! +1时，有An ! 3，同理有n ! +1; Bn ! 3; Cn ! 3，所以AnBnCn的极限情形为等边三角形http:/lanqi.org5也可以直接由2An+1 + An = ，得到An+1 = Bn + Cn2，从得到这些三角形的极限情况是三个内角都相等
