2018全国3卷20题对于超纲教学的启示.pdf

1、2018全 国 3卷 20题 对 于 超 纲 教 学 的 启 示(2018全 国 3卷 第 20题 ） 已 知 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 椭 圆 2 2 14 3x yC ： 交 于 A ， B 两 点 ， 线段 AB 的 中 点 为 1 0M m m， （ 1） 证 明 ： 12k ；（ 2） 设 F 为 C 的 右 焦 点 ， P 为 C 上 一 点 ， 且 FP FA FB 0 证 明 ： FA ， FP ， FB成 等 差 数 列 ， 并 求 该 数 列 的 公 差 点 评 ： 在 2018高 考 之 前 ， 教 育 部 屡 次 发 文 ， 说 教 学 不 要 超 纲 ， 并

2、 且 对 培 训 机 构 的 超 纲 、 超进 度 教 学 进 行 大 力 的 整 顿 。 在 高 观 点 下 函 数 导 数 压 轴 题 的 系 统 性 解 读 一 书 开 篇 对 高 观 点下 的 思 考 解 释 一 就 是 对 超 纲 的 思 考 ， 只 有 站 在 学 科 和 学 生 的 发 展 角 度 才 会 有 正 确 的 认 识 。 全国 卷 高 考 数 学 分 析 及 应 对 对 超 纲 知 识 进 行 了 两 次 深 入 地 分 析 ， 多 个 维 度 全 面 、 彻 底 地 分 析了 超 纲 题 目 和 如 何 教 学 。 2018年 全 国 3卷 21题 绝 大 多 数

3、的 学 生 都 没 有 做 出 来 ， 如 果 知 道 椭圆 的 焦 半 径 公 式 ， 则 很 快 可 以 突 破 ， 参 考 答 案 的 解 法 正 好 用 常 规 方 法 推 导 了 焦 半 径 公 式22 2 21 1 11 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2x xFA x xy .用 第 二 定 义 会 更 简 单 。那 对 于 超 纲 知 识 的 教 与 学 该 何 去 何 从 ？ 请 看 全 国 卷 高 考 数 学 分 析 及 应 对 对 超 纲 知 识 的 思考 。 15. 超 纲 题 目 与 教 学 的 再 思 考一 、 超 纲 试 题 命 制 的 意 义学

4、生 的 发 展 不 拘 泥 于 考 试 大 纲 ， 全 国 卷 在 12、 16题 的 命 题 常 常 是 鼓 励 学 生 超 纲 ， 但 也要 求 学 生 把 核 心 思 想 方 法 掌 握 好 。例 1.（ 2017全 国 3第 16题 ） a， b 为 空 间 中 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 ， 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 的直 角 边 AC 所 在 直 线 与 a， b 都 垂 直 ， 斜 边 AB 以 直 线 AC 为 旋 转 轴 旋 转 ， 有 下 列 结 论 ： 当 直 线 AB 与 a 成 60角 时 ， AB 与 b 成 30角 ； 当 直 线 AB 与 a

5、成 60角 时 ， AB 与 b 成 60角 ； 直 线 AB 与 a 所 称 角 的 最 小 值 为 45； 直 线 AB 与 a 所 称 角 的 最 大 值 为 60；其 中 正 确 的 是 _。 （ 填 写 所 有 正 确 结 论 的 编 号 ）解 法 一 ： （ 直 观 感 知 ） 为 了 更 好 的 观 察 ， 把 AB 作 为 体 对 角 线 ， 如 图 ，取 2,1 ACba ， 容 易 求 得 此 时 直 线 AB 与 a 成 60角 ， AB 与 b 也 成 60角 ； 排 除 ，选 ； 当 AB 移 动 到 左 侧 面 的 时 候 ， 此 时 ABa ， 为 最 大 角 ，

6、 如 图 ， 当 AB 移 动 到 AF 时 ，注 意 到 ACCBCF 2 ， 所 成 角 为 45 ， 为 最 小 角 。解 法 二 ： （ 回 归 正 方 体 ， 运 动 变 化 的 观 点 ） 因 为 出 现 了 很 多 的 垂 直 ， 所 以 考 虑 回 到 正 方 体 中考 虑 ，设 边 长 为 1， B点 运 动 的 轨 迹 为 以 C为 圆 心 ， 1为 半 径 的 圆 ，（ 直 观 感 知 ） 在 圆 弧 上 任 取 一 点 M ， 当 M 位 于 B 点 时 ， 直 线 AB 与 a 所 称 角 的 最 小 值 为45； 当 M位 于 E点 时 ， 夹 角 为 90 ， 直

7、 观 感 知 排 除 ， 选 ；（ 向 量 法 ） 在 正 方 体 中 ， 建 系 是 一 个 很 好 的 方 案 ， 以 C为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 ， 设 MCB ，则 0,sin,cos M ， 1,sin,cos AM ， 0,1,0,0,0,1 ba ， 由 直 线 AM 与 a所 称 角 的 余 弦 值 2cos60cos 0 ， 得 22cos ， 045 ， CM 平 分 角 BCE ， 所 以 此时 AM 与 两 直 线 所 成 的 角 都 为 60解 法 三 ： （ 最 小 角 定 理 或 三 余 弦 公 式 ） 过 M作 b的 垂 线 ， 则 AM 与 MN

8、所 成 的 角 为 AM 与a所 成 的 角 ， 由 三 余 弦 公 式 得 CMNCMNAMCAMN cos22coscoscos ，若 所 成 角 为 60 ， 则 有 CMN cos2221 ， 则 CMN 045 ， CM 平 分 角 BCE ，所 以 此 时 AM 与 两 直 线 所 成 的 角 都 为 60 。点 评 ： 立 体 几 何 的 学 习 在 “ 直 观 感 知 操 作 确 认 推 理 论 证 度 量 计 算 ” 这 四个 层 面 展 开 ， 因 为 立 体 几 何 呈 现 给 我 们 的 是 几 何 结 构 ， 视 角 思 维 可 以 成 为 主 导 思 维 ， 即 特

9、 别突 出 直 观 感 知 。 借 助 长 方 体 这 个 载 体 ， 把 所 研 究 的 点 线 面 的 位 置 关 系 联 系 到 一 起 ， 降 低 了 立体 几 何 学 习 的 门 槛 ， 这 是 新 课 改 强 调 的 理 念 ， 有 了 长 方 体 ， 其 长 度 的 关 系 为 计 算 带 来 了 便 利 ，求 角 困 难 时 ， 还 有 向 量 法 作 为 保 障 ， 运 动 变 化 的 观 点 的 是 基 本 观 点 ， 作 为 一 般 的 学 生 深 刻 理解 这 些 基 本 思 想 方 法 ， 也 能 高 效 地 解 决 此 问 题 ，三 余 弦 公 式 揭 示 了 线

10、面 角 、 射 影 角 和 线 线 角 之 间 的 关 系 ， 在 线 线 角 计 算 有 困 难 的 时 候 ，可 以 借 助 线 面 角 和 射 影 角 来 转 化 ， 作 为 特 优 生 ， 不 受 制 于 考 纲 ， 广 泛 地 学 习 和 专 研 。二 、 “ 一 题 多 解 ” 中 的 超 纲 与 不 超 纲学 生 的 知 识 结 构 、 能 力 结 构 、 思 想 方 法 体 系 不 一 样 ， 对 于 同 一 个 题 目 ， 有 不 同 的 视 角 、这 就 对 应 着 不 同 的 思 维 方 式 ， 就 会 有 不 同 的 方 法 ， 有 些 优 秀 的 学 生 掌 握 的

11、知 识 、 思 想 方 法 超过 考 试 大 纲 ， 其 解 法 也 自 然 会 超 纲 。 所 以 我 们 很 难 精 确 的 界 定 一 个 题 的 考 查 超 纲 和 不 超 纲 ，早 在 上 个 世 纪 90年 代 ， 就 提 出 了 高 考 “ 依 据 考 纲 、 但 不 拘 泥 于 考 纲 ” ， 高 考 的 12题 、 16题都 是 以 能 力 和 思 想 立 意 ， 所 以 知 识 的 定 位 应 该 从 属 于 思 想 能 力 定 位 。同 时 也 让 学 生 在 不 同 的 阶 段 、 不 同 的 水 平 看 经 典 的 高 考 题 目 ， 往 往 有 不 同 的 视 角

12、和 不同 的 思 维 方 式 ， 往 往 能 更 好 地 解 读 高 考 题 目 ， 领 会 命 题 思 路 。例 2. （ 2013新 课 标 1文 16理 15） 设 当 x= 时 ， 函 数 f（ x） =sinx-2cosx取 得 最 大 值 ， 则 cos=_.法 一 ： （ 辅 助 角 公 式 +同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 ） 2,0,2tan,sin5 xxf ，由 题 知 5f ， 则 Zkk ,22 ， 即 Zkk ,22 ， sin22coscos k ， 因 为 2tan ， 所 以 552sin ， 则552cos 法 二 ： （ 同 角 三 角 函 数 基

13、 本 关 系 +方 程 思 想 ） xxf sin5 最 大 值 为 5， 则 5cos2sin f ， 结 合 1cossin 22 ， 可 得 552cos ， 有 同 学 记 住一 些 常 考 的 三 角 函 数 值 ， 直 接 凑 出 了 答 案 。法 三 ： （ 导 数 研 究 单 调 性 ） xxxf sin2cos ， 因 为 xf 的 最 值 也 是 函 数 的 极 值 ， 所以 0sin2cos f ， 结 合 1cossin 22 得 552cos ， 因 为 5cos2sin f ， 所 以 552cos 法 四 ： （ 反 三 角 函 数 ） 2arctansin5 x

14、xf ， 由 题 知 5f ， 则Zkk ,222arctan ， 即 Zkk ,2arctan22 ， 5522arctansin2arctan22coscos k ，例 3.（ 2007全 国 1） 设 函 数 ( ) e ex xf x （ ） 证 明 ： ( )f x 的 导 数 ( ) 2f x ；（ ） 若 对 所 有 0x 都 有 ( )f x ax ， 求 a的 取 值 范 围 解 ： （ ） ( )f x 的 导 数 ( ) e ex xf x 由 于 e e 2 e e 2x -x x x ， 故 ( ) 2f x （ 当 且 仅 当 0x 时 ， 等 号 成 立 ） （

15、） 法 一 ：（ 分 离 参 数 +罗 必 塔 法 则 ） 当 0x 时 ， ( )f x ax 成 立 ， 当 0x 时 ， xeea xx ，令 xeexg xx ， 2 x eexeexg xxxx （ 注 意 到 0)0( g ， 可 能 0x 是 分 界 线 ， 则 考 虑 导 数 )( xg 在 ,0 恒 正 ）令 xxxx eexeexh ， ,0,0 xxeexh xx所 以 xh 在 ,0 单 增 ， 所 以 ,0,00 xhxh则 0 xg ， xg 在 ,0 单 增 ，因 为 21lim limlim xxxxxxx eexeexg （ 罗 必 塔 法 则 ） ， 所 以

16、 2a法 二 ： （ 邻 域 分 析 +讨 论 ） 令 ( ) ( )g x f x ax ， 则 ( ) ( ) e ex xg x f x a a ，（ 注 意 到 00 g ， 要 0xg 恒 成 立 ， 则 要 求 xg 在 0x 的 附 近 （ 即 邻 域 ） 单 增 ， 由函 数 的 连 续 性 知 00 g ， 得 2a ， 再 说 明 2a 不 成 立 ， 即 说 明 xg 在 0x 的 附 近 （ 即邻 域 ） 单 减 ， 用 零 点 存 在 性 定 理 和 导 函 数 的 单 调 性 说 明 导 函 数 有 唯 一 根 0x ， 从 而 确 定 了 0,0 x 为 函 数

17、的 单 减 区 间 ， 与 0xg 矛 盾 ）（ ） 若 2a ， 当 0x 时 ， ( ) e e 2 0x xg x a a ，故 ( )g x 在 (0 )， 上 为 增 函 数 ，所 以 ， 0x 时 ， ( ) (0)g x g ， 即 ( )f x ax （ ） 若 2a ， 方 程 ( ) 0g x 的 正 根 为 21 4ln 2a ax ，此 时 ， 若 1(0 )x x ， ， 则 ( ) 0g x ， 故 ( )g x 在 该 区 间 为 减 函 数 所 以 ， 1(0 )x x ， 时 ， ( ) (0) 0g x g ， 即 ( )f x ax ， 与 题 设 ( )

18、f x ax 相 矛 盾 综 上 ， 满 足 条 件 的 a的 取 值 范 围 是 2 ， 法 三 ： （ 背 景 分 析 ： 微 分 中 值 定 理 ） 分 离 参 数 ， 得 到 0 0 x fxfxxfa由 微 分 中 值 定 理 知 ： 存 在 x,0 ， 使 得 0 0 x fxff ， 由 （ 1） 知 2 f ， 所以 确 定 答 案 2a法 四 ： （ 级 数 分 析 ） ： 由 !3!21 32 xxxex 知 !3!21 32 xxxe x则 !5!32 53 xxxee xx当 0x 时 ， !5!3 53 xx 是 x的 高 阶 无 穷 小 ， 确 定 2a在 教 学

19、的 时 候 ， 要 准 确 把 握 学 生 的 知 识 、 能 力 结 构 ， 在 合 适 的 时 间 选 择 合 适 的 方 法 ， 应该 多 给 学 生 呈 现 这 样 多 个 角 度 都 可 以 切 入 的 题 目 ， 一 题 多 解 有 助 于 学 生 思 维 的 发 散 ， 但 最 重要 的 不 是 解 法 ， 而 是 对 解 法 的 点 评 和 认 知 ， 方 法 的 选 择 应 该 从 属 于 “ 思 想 能 力 ” 的 定 位 ， 鼓励 热 爱 数 学 的 学 生 多 专 研 ， 多 思 考 ， 不 受 制 考 纲 的 限 制 。一 题 多 解 也 有 助 于 学 生 发 现

20、某 种 方 法 使 用 的 恰 当 与 否 ， 比 如 ：例 4.（ 2018 届 泸 州 高 中 周 考 ） 已 知 153,6sin 30,log3 xx xxxf ， 若 存 在 4321 xxxx ，使 得 4321 xfxfxfxf ， 则 21 43 33 xx xx 的 取 值 范 围 为 _解 析 ： 作 出 函 数 图 像 如 下 ， 10, kky 与 xfy 有 四 个 交 点 ，研 究 21 43 33 xx xx 范 围 ， 自 然 要 考 虑 4321 , xxxx 之 间 的 关 系 ， 注 意 到 2313 loglog xx ，有 2313 loglog xx

21、 ， 所 以 0logloglog 2132313 xxxx ， 即 121 xx ， 注 意 到 函 数 的对 称 性 ， 有 1843 xx ， 求 3333 4321 43 xxxx xx 最 值 的 方 法 很 多 ， 但 很 容 易忽 略 范 围 ， 可 以 通 过 不 同 方 法 进 行 检 验 。法 一 ： （ 均 值 不 等 式 ） 和 为 定 值 ， 即 1843 xx ， 求 积 33 43 xx 的 最 值 ， 考 虑 均 值 不等 式 ， 362 3333 24343 xxxx ， 所 以 范 围 为 36,0法 二 ：（ 运 动 变 化 +极 限 分 析 ） 当 1k

22、 时 ， 此 时 15,3 43 xx ， 33 43 xx 0， 当 0k时 ， 此 时 12,6 43 xx ， 2733 43 xx ， 范 围 为 27,0法 三 ： （ 函 数 观 点 ） 3343 15333 xxxxy ， 构 建 函 数 ， 就 要 找 定 义 域 ， 注意 到 6,33x ， 可 求 得 范 围 27,0 。那 到 底 第 一 种 方 法 错 在 什 么 地 方 呢 ？ 没 有 考 虑 到 3,3 43 xx 的 范 围 限 制 ， 因 为643 xx ， 所 以 取 不 到 最 值 ， 或 比 最 值 小 的 很 多 值 都 取 不 到 。三 、 超 纲 知

23、 识 的 理 解 和 把 握 命 制 试 题 “ 难 ” 的 度课 标 削 弱 了 反 函 数 ， 只 在 73 页 借 助 指 数 函 数 和 对 数 函 数 给 出 了 反 函 数 的 概 念 ， 在 76页 探 究 发 现 研 究 了 指 对 数 函 数 的 图 像 关 于 xy 对 称 ， 考 试 说 明 明 确 指 出 ： “ 了 解 指 数 函 数xay 与 对 数 函 数 xy alog 互 为 反 函 数 （ 0a ， 且 1a ） ” ， 没 有 提 及 图 像 的 对 称 性 ，“ 了 解 ” 是 高 考 要 求 中 最 低 层 次 的 要 求 ， 要 求 对 所 列 知

24、识 的 含 义 有 初 步 的 、 感 性 的 认 识 ， 知道 这 一 知 识 内 容 是 什 么 ， 按 照 一 定 的 程 序 和 步 骤 照 样 模 仿 ， 并 能 （ 或 会 ） 在 有 关 的 问 题 中 识别 和 认 识 它 。 下 面 看 看 新 课 标 的 高 考 题 ：例 5.（ 2012新 课 标 理 科 第 12题 ） 设 点 P在 曲 线 12 xy e 上 ， 点 Q在 曲 线 ln(2 )y x 上 ， 则PQ 最 小 值 为 （ ）( )A 1 ln2 ( )B 2(1 ln2) ( )C 1 ln2 ( )D 2(1 ln2)这 个 题 需 要 会 解 反 函

25、 数 ， 才 能 看 出 12 xy e 和 ln(2 )y x 互 为 反 函 数 ， 还 要 求 会 对 “ 互为 反 函 数 的 图 像 关 于 xy 灵 活 运 用 ” 这 一 结 论 的 应 用 。例 6.（ 2009辽 宁 理 科 第 12题 ） 若 1x 满 足 2x+2x =5, 2x 满 足 2x+2 2log (x-1)=5, 1x + 2x =（ A） 52 (B)3 (C) 72 (D)42009年 2014 年 的 辽 宁 卷 都 是 全 国 卷 命 题 专 家 一 些 新 思 想 的 尝 试 ， 第 一 年 尝 试 就 把反 函 数 放 在 了 非 常 突 出 的

26、位 置 ， 其 难 度 之 大 ， 超 过 很 多 年 的 竞 赛 题 。反 函 数 作 为 一 个 极 其 重 要 的 概 念 ， 新 教 材 突 出 函 数 概 念 、 淡 化 了 映 射 ， 因 为 没 有 一 一 映射 作 为 铺 垫 ， 反 函 数 这 个 概 念 没 法 深 入 地 讲 解 。 考 纲 的 制 定 要 参 考 课 程 标 准 ， 但 全 国 卷 两 次都 对 反 函 数 提 出 了 很 高 的 要 求 ， 超 越 了 考 试 大 纲 ， 明 确 提 出 特 优 生 应 该 掌 握 。 但 与 反 函 数 的相 关 知 识 很 多 ， “ 度 ” 的 把 握 是 关

27、键 ， 对 于 优 秀 的 学 生 ， 紧 扣 考 纲 要 求 ， 结 合 高 考 题 目 ， 理解 反 函 数 的 概 念 、 在 实 际 问 题 情 景 中 能 够 认 知 反 函 数 、 会 求 反 函 数 、 原 函 数 和 反 函 数 图 像 关于 xy 对 称 ， 这 些 都 是 应 该 掌 握 的 ， 当 然 作 为 数 学 爱 好 者 来 说 ， 还 可 以 掌 握 反 三 角 函 数 等 ，不 受 制 任 何 限 制 ， 理 解 知 识 的 本 质 ， 广 泛 地 学 习 和 思 考 。 根 据 学 生 的 情 况 ， 可 以 设 置 如 下 两个 层 次 的 题 目 ：例

28、7.若 关 于 x的 方 程 10log axa ax 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为A. ee1,1 B. ee,1 C. eee,1 D. eee,例 8. 已 知 , 分 别 满 足 2e e ， 3ln 1 e 的 根 ， 那 么 的 值 为 .例 7 的 解 析 ： 0log xa ax xa ax log ， 注 意 到 xay 与 xy alog 互 为 反 函 数 ， 函数 图 像 关 于 xy 对 称 ， 作 出 图 像 ， 交 点 在 xy 上 ， 即 可 以 视 为 xay 与 xy 有 两 个 交点 ， 法 一 （ 运 动

29、变 化 +极 限 分 析 ） ： 考 虑 相 切 的 时 候 ， 设 切 点 为 00,xx ， 则 000 1lnxa aaxx ，整 体 消 去 0xa 得 1ln0 ax ， 即 1lnln 00 xax ， 所 以 ex 0 ， 由 00 xax 得 eae ， 所 以eea 1 ， 相 交 ， 则 xay 增 长 的 速 到 要 慢 一 些 ， 故 得 到 eea 1,1 。 法 二 （ 分 离 参 数 ） 问题 等 价 于 xax 有 两 个 实 数 根 ， 两 边 同 时 取 对 数 ， 得 xax lnln ， 即 xxa lnln ， 作 出xxy ln的 图 像 即 可 。

30、例 7 的 点 评 ： 借 助 反 函 数 这 个 重 要 概 念 ， 把 化 为 反 函 数 的 交 点 问 题 转 化 为 函 数 与 对 称 轴 的 交点 问 题 ， 即 可 从 形 的 角 度 ， 把 参 数 的 变 化 化 为 几 何 中 的 运 动 ， 也 可 以 把 从 代 数 的 角 度 ， 对 方程 进 行 变 形 ， 分 参 。例 8 的 解 析 ： 由 2e e 得 2ee ， 则 x 是 xeex 2 的 根 ， 即 xey 与 xey 2 交点 的 横 坐 标 ， 由 3ln 1 e 得 3ln 1 e ， 为 了 跟 保 持 一 致 ， 得 2ln ee e ， 则

31、ex 是 xex 2ln 的 根 ， 即 xy ln 与 xey 2 交 点 的 横 坐 标 ， 注 意 到 xy ln 与 xey 互为 反 函 数 ， 图 像 关 于 直 线 xy 对 称 ， xey 2 也 关 于 直 线 xy 对 称 ， 则 交 点 2,e 与 3,ee 关 于 直 线 xy 对 称 ， 所 以 2ee ， 即 3e例 8 的 点 评 ： 需 要 构 造 相 同 的 结 构 ， 注 意 到 反 函 数 和 函 数 xey 2 都 关 于 xy 对 称 ， 其 交点 也 关 于 xy 对 称 。四 、 注 意 超 纲 知 识 和 必 备 知 识 的 相 互 替 代 性

32、及 解 题 层 面 的 优 越 性新 课 标 删 除 了 夹 角 公 式 ， 原 因 是 可 以 利 用 向 量 来 处 理 夹 角 。 但 就 解 题 而 言 ， 有 时 候 却 有一 点 差 异 ， 对 于 特 优 生 来 说 ， 这 些 都 应 该 掌 握 ， 还 应 该 掌 握 夹 角 公 式 和 向 量 之 间 的 联 系 。例 9.（ 2017全 国 1文 ） 设 A、 B 是 椭 圆 C： 2 2 13x ym 长 轴 的 两 个 端 点 ， 若 C 上 存 在 点 M满 足 AMB=120， 则 m 的 取 值 范 围 是A (0,1 9, ) B (0, 3 9, )C (0

33、,1 4, ) D (0, 3 4, )解 析 ： （ 夹 角 公 式 +椭 圆 第 三 定 义 ） 很 自 然 想 到 夹 角 公 式 21 211tan kkkkAMB ， 由 椭 圆 上的 点 到 长 轴 端 点 连 线 斜 率 之 积 为 22ab ， 若 焦 点 在 x 轴 上 ， 则 321 mkk ， 所 以 31 32312313 2121 mmmkkmkk ， 即 1,0m ， 当 焦 点 在 y 轴 上 ， 可 得 ,9m 。用 向 量 的 夹 角 公 式 BMAM BMAMAMBcos 却 很 难 处 理 。椭 圆 上 到 长 轴 两 个 顶 点 张 角 最 大 为 的

34、点 位 于 椭 圆 短 轴 的 端 点 ， 用 同 样 的 方 式 容 易 说 明 双 曲 线上 的 点 到 实 轴 顶 点 连 线 张 角 的 变 化 规 律 。 那 椭 圆 上 的 点 到 两 个 焦 点 张 角 最 大 在 什 么 位 置 呢 ？可 以 利 用 余 弦 定 理 ， 夹 角 公 式 ， 但 用 向 量 法 是 最 优 化 的 。解 析 ： （ 向 量 法 ） MFMF MFMFMFF 21 2121cos ， 设 yxM , ， 则 MFMF 21 ycxycx , 22222222222222 bcxacxabbcxycx 当 0x ， 即 M 位 于 短 轴 端 点 时

35、 ， 达 到 最 小 值 ， 而 222121 2 aMFMFMFMF ，取 等 条 件 是 MFMF 21 ， 即 M 位 于 短 轴 端 点 。 此 时 余 弦 值 最 小 ， 21MFF 最 大 。作 为 理 科 ， 此 题 可 以 改 得 更 为 隐 蔽 一 点 。 在 条 件 不 变 的 情 况 下 ， 求 离 心 率 的 范 围 。例 10.（ 2017全 国 1文 改 编 ） 设 A、 B 是 椭 圆 C： 2 22 2 1 0x y a ba b 长 轴 的 两 个 端 点 ，若 C 上 存 在 点 M 满 足 AMB=120， 则 离 心 率 e的 取 值 范 围 是 _.这

36、 其 实 是 很 古 老 的 题 目 ， 由 此 看 到 最 新 的 高 考 题 目 常 常 是 经 典 再 现 。五 、 超 纲 知 识 和 数 学 思 想 、 能 力 的 互 补考 纲 明 确 指 出 ： 了 解 函 数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ； 能 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 会 求 函数 的 单 调 区 间 （ 其 中 多 项 式 函 数 ， 理 科 要 求 一 般 不 超 过 三 次 ， 文 科 明 确 说 不 超 过 三 次 ） .因为 超 过 三 次 ， 会 涉 及 三 次 不 等 式 的 解 法 ， 高 考 是 不 做 要 求 的 。例 1

37、1. （ 2017全 国 1第 16题 ） 如 图 ， 圆 形 纸 片 的 圆 心 为 O， 半 径 为 5cm， 该 纸 片 上 的 等 边三 角 形 ABC 的 中 心 为 O。 D、 E、 F 为 圆 O 上 的 点 ， DBC， ECA， FAB 分 别 是 以BC， CA， AB 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 。 沿 虚 线 剪 开 后 ， 分 别 以 BC， CA， AB 为 折 痕 折 起 DBC， ECA， FAB， 使 得 D、 E、 F 重 合 ， 得 到 三 棱 锥 。 当 ABC 的 边 长 变 化 时 ，所 得 三 棱 锥 体 积 （ 单 位 ： cm3） 的

38、最 大 值 为 _。解 析 ：根据题意可得DBC， ECA， FAB分别全等，故而可得三棱锥是正三棱锥，斜高即为三个三角形的高，即为DG，高为OD（右图）。不妨设三角形ABC的边长为 0 5 3a a ，此时在左图中，3 3 3 3 5, 5 ,5 0 33 3 3 3 2OG a DG R OG a a a a ，故而正三棱锥的高2 2 10 3 25 3OD D G OG a ， 根 据 体 积 公 式 可 得2 4 5 1 3 10 3 3 10 325 253 4 3 12 3D ABCV a a a a ， 利 用 函 数 性 质 可 得 ， 假 设 4 5 310 3 325 50

39、 23 3f a a a f a a a ， 故 而 当 2 3a 时 取 最 大 值15 cm3 。点 评 ： 如 果 设 xOG ， 则 构 造 的 函 数 54 2515 xxV ， 更 简 洁 ， 求 导 容 易 处 理 ， 虽 然出 现 了 5 次 函 数 ， 也 可 以 认 为 这 和 考 纲 是 吻 合 的 。 函 数 如 果 超 过 3 次 ， 导 函 数 很 简 洁 ， 易 于处 理 ， 这 可 以 视 为 考 纲 要 求 。例 12.（ 2013新 课 标 1第 16题 ） 若 函 数 ( )f x = 2 2(1 )( )x x ax b 的 图 像 关 于 直 线 x=

40、 2对 称 ， 则 ( )f x 的 最 大 值 是 _.解 析 ： 因 为 1x 是 函 数 的 零 点 ， 图 像 关 于 直 线 x= 2对 称 ， 零 点 关 于 直 线 x= 2对 称 ，函 数 另 外 两 个 零 点 为 5,3x ， 所 以 5311 xxxxxf法 一 ： （ 求 导 ） 1581481581 23422 xxxxxxxxf ， 82824423 xxxxf ， 由 0 xf 得 2,52 x ，由 穿 根 法 可 得 xf 再 52, 单 增 ， 在 2,52 单 减 ， 在 52,2 单 增 ，在 ,52 单 减 ， 所 以 1652,52maxmax ff

41、xf法 二 ： （ 均 值 不 等 式 ） 求 积 的 最 值 ， 考 虑 和 是 否 为 定 值 ， 尝 试 把 式 子 两 两 组 合 ， 162 34453445 22222 xxxxxxxxxf法 三 ： （ 从 结 构 上 构 造 二 次 型 函 数 ） 5311 xxxxxf 3151 xxxx 3454 22 xxxx令 ,4,42 txxt ， 则 35 tty 对 称 轴 为 1t ， 最 大 值 为 16.点 评 ： 法 一 的 解 法 ， 很 自 然 ， 这 是 超 过 考 试 大 纲 的 ， 但 如 果 能 够 理 解 均 值 不 等 式 求 最 值“ 凑 定 ” 的

42、思 想 ， 也 可 以 突 破 。 既 鼓 励 优 秀 学 生 不 拘 泥 于 考 纲 ， 也 要 求 学 生 掌 握 知 识 的 核 心思 想 方 法 ， 这 是 高 考 的 不 变 的 命 题 思 路 。 这 在 文 科 复 合 函 数 的 考 查 体 现 得 更 明 显 ， 复 合 函 数的 导 数 ， 考 试 说 明 没 有 提 及 过 ， 文 科 是 不 要 求 掌 握 的 ， 但 高 考 年 年 坚 持 超 纲 。例 13.（ 2015新 课 标 2文 科 第 21题 ） 设 函 数 2 lnxf x e a x .（ I） 讨 论 f x 的 导 函 数 f x 的 零 点 的

43、个 数 ；（ II） 证 明 ： 当 0a 时 22 lnf x a a a .例 14.（ 2016 新 课 标 1 文 第 12 题 ） 若 函 数 1( ) sin2 sin3f x x- x a x 在 , 单 调 递增 ， 则 a 的 取 值 范 围 是（ A） 1,1 （ B） 11,3 （ C） 1 1,3 3 （ D） 11, 3 例 15.（ 2016 新 课 标 3 文 第 16 题 ） 已 知 f(x)为 偶 函 数 ， 当 0x 时 ， 1( ) xf x e x ，则 曲 线 y= f(x)在 点 (1,2)处 的 切 线 方 程 式 _.例 16.（ 2017全 国 3 第 12 题 ） 已 知 函 数 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e 有 唯 一 零 点 ， 则 a=A 12 B 13 C 12 D 1在 解 题 的 过 程 中 ， 文 科 压 轴 题 也 常 常 会 涉 及 复 合 函 数 的 导 数 。