6第1讲平面向量的概念及其线性运算.pdf-道客多多

资源描述

1、| 1第 1 讲平面向量的概念及其线性运算考纲要求1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 .知识梳理1 向量的有关概念名称定义备注平行向

2、量方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 ) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则 (1)

3、交换律：a b b a.(2)结合律：(a b) ca (b c)减肥法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做a与 b 的差三角形法则 a b a ( b)数乘求实数与向量 a 的积的运算 (1)| a| | |a|；(2)当 0时， a的方向与 a的方向相同；当 0时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0时， a 0 ( a) a；( )a a a； (a b) a b3.共线向量定理向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实

4、数，使得 b a.辨析感悟1 对共线向量的理解(1)若向量 a， b 共线，则向量 a， b 的方向相同 ( )| 2(2)若 a b， b c，则 a c.( )(3)(2013 郑州调研改编 )设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与 2a b 共线，则 12.( )(4)(2013 陕西卷改编 )设 a， b为向量，则 “ |a b| |a| |b|” 是 “ a b” 的充分必要条件 ( )2 对向量线性运算的应用(5)AB BC CD AD

5、 .( )(6)(教材习题改编 )在 ABC中， D是 BC的中点，则 AD 12(AC AB ) ( )感悟提升 1 一个区别两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上 2 两个防范一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如 (1)；二是注重零

6、向量的特殊性，如 (2).典型例题考点一平面向量的有关概念【例 1】给出下列命题：若 |a| |b|，则 a b；若 A， B， C， D是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b.其中真命题的序号是 _解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 AB DC ， |AB | |D

7、C |且 AB DC ，又 A， B， C， D是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则 AB DC 且 |AB | |DC |，因此， AB DC . 正确 a b， a， b的长度相等且方向相同；又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c. 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且

8、a b不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是 .答案规律方法对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同

9、，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练 1】设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0；若 a 与 a0平行，则 a |a|a0；若 a与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A 0 B 1 C 2 D 3解析向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假

10、命题；若 a 与 a0平行，则a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.答案 D考点二平面向量的线性运算例 2】如图，在平行四边形 OADB中，设 OA a， OB b， BM 13 BC ， CN 13 CD .试用 a， b 表示 OM ， O N 及MN .| 3解由题意知，在平行四边形 OADB中， BM 13BC 16 BA 16( OA OB ) 1

11、6(a b) 16a 16b，则 OM OB BM b 16a 16b 16a 56b.ON 23 OD 23(OA OB ) 23(a b) 23a 23b，MN ON OM 23(a b) 16a 56b 12a 16b.规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 (2)向量的线性运

12、算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练 2】 (1) (2013 四川卷 )如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD 交于点 O， AB AD AO ，则 _.(2)(2013 泉州模拟 )已知 P， A， B， C 是平面内四点，且 PA PB PC AC ，那么一定有 ( )A.PB 2CP B.CP 2PBC.AP 2PB D.PB 2

13、AP解析 (1) AB AD AC 2AO ， 2.(2) PA PB PC AC PC PA ， PB 2PA 2AP .答案 (1)2 (2)D考点三向量共线定理及其应用【例 3】 (2013 郑州一中月考 )设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b) 求证： A， B， D三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线审题路线 (1)由向量的加法，得 BD BC CD 用 a， b 表示 BD 得到 BD 与

14、 AB 的关系式由向量共线定理，得 BD 与 AB 共线再看是否有公共点得到证明的结论 (2)假设存在实数 k 利用向量共线定理列出方程根据 a， b 是两个不共线的向量得出方程组解得 k 值 (1)证明 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b) BD BC CD 2a 8b 3(a b) 5(a b) 5AB . AB ， BD 共线，又它们有公共点 B， A， B， D三点共线 (2)解假设 ka b与 a kb 共线，|

15、4则存在实数，使 ka b (a kb)，即 (k )a ( k 1)b.又 a， b 是两不共线的非零向量， k k 1 0. k2 1 0. k 1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 (2)向量 a， b共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b 0 成立，若 1a 2b 0，当且仅当 1

16、 2 0 时成立，则向量 a， b 不共线 .【训练 3】 (2014 西安模拟 )已知向量 a， b 不共线，且 c a b， d a (2 1)b，若 c 与 d 同向，则实数的值为 _解析由于 c 与 d 同向，所以 c kd(k 0)，于是 a b ka (2 1)b，整理得 a b ka (2 k k)b.由于 a， b 不共线，所以有 k，2 k k 1，整理得 2 2 1 0，所以 1 或 12.又因为 k 0，所以 0，故 1.答案 1课堂小结1 向量的加

17、、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论 2 对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置 (共线或不共线 )与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 b a，再结合条件或图形有无公共点证明几何

18、位置方法优化 3 准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012 浙江卷 )设 a， b 是两个非零向量 ( )A 若 |a b| |a| |b|，则 a bB 若 a b，则 |a b| |a| |b|C 若 |a b| |a| |b|，则存在实数，使得 b aD 若存在实数，使得 b a，则 |a b| |a| |b|一般解法 (排除法 )选项 A，若 b a，则等式 |a b| |a| |b|成立，显然 a b 不成立；选项 B，若 a b 且 |a| |

19、b|，则 |a| |b| 0，显然， |a b| 2|a| 0，故 |a b| |a| |b|不成立；选项 D，若 b a，则 |a| |b| 0，显然， |a b| 2|a| 0，故 |a b| |a| |b|不成立综上， A， B， D都不正确，故选 C.优美解法 (数量积法 )把等式 |a b| |a| |b|两边平方，得 (a b)2 (|a| |b|)2，即 2a b 2|a| |b|，而 a b |a|b|cos，所以 cos 1.又因为 0，，所以，即 a， b 为方向相反的

20、共线向量故 C 正确反思感悟部分学生做错的主要原因是：题中的条件 “ |a b| |a| |b|” 在处理过程中误认为 “ |a b| |ab|” ，从而得到 “ a b” 这个错误的结论【自主体验】在 OAB中， OA a， OB b， OD是 AB边上的高，若 AD AB ，则实数 ( )A.a a b|a b|B.a b a|a b|C.a a b|a b|2D.a b a|a b|2| 5解析由 AD AB ， |AD | |AB |.又 |AD | |a|cos

21、 A |a| a a b|a|b a| a a b|b a| ，|AB | |b a|， a a b|b a|2 a a b|a b|2 .故选 C.答案 C针对训练一、选择题1 若 O， E， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.EF OF OE B.EF OF OEC.EF OF OE D.EF OF OE解析由图可知 EF OF OE .答案 B2.(2014 汕头二模 )如图，在正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF 等于 ( )A 0 B.BEC.AD D.CF解

22、析因为 ABCDEF 是正六边形，故 BA CD EF DE CD EF CE EF CF .答案 D3 对于非零向量 a， b， “ a b 0” 是 “ a b” 的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析若 a b 0，则 a b，所以 a b.若 a b，则 a b， a b 0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案 A4 (2014 开封模拟 )下列命题中，正确的是 ( )A

23、若 |a| |b|，则 a b 或 a bB 若 a b 0，则 a 0或 b 0C 若 ka 0，则 k 0 或 a 0D 若 a， b 都是非零向量，则 |a b| |a b|解析对于 A，显然不能得知 a b 或 a b，因此选项 A不正确；对于 B，易知不正确；对于 C，易知正确；对于 D，注意到 (a b)2 (a b)2 4a b，显然 a b 与零的大小关系不确定，因此选项 D 不正确综上所述，选 C.答案 C5 (2014 兰州质检

24、)若点 M 是 ABC所在平面内的一点，且满足 5AM AB 3AC ，则 ABM与 ABC的面积比为 ( )| 6A.15 B.25 C.35 D.45解析设 AB 的中点为 D，由 5AM AB 3AC ，得 3AM 3AC 2AD 2AM ，即 3CM 2MD .如图所示，故 C， M， D 三点共线，且 MD 35CD ，也就是 ABM与 ABC对于边 AB的两高之比为 3 5，则 ABM 与 ABC的面积比为 35，选 C.答案 C二、填空题6 (2014 湖州月考 )

25、给出下列命题：向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；向量 a 与 b平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A， B， C， D 必在同一条直线上其中不正确命题的序号是 _解析中，向量 AB 与 BA 为相反向量，它们的长度相等，

26、此命题正确中若 a 或 b为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一定相同或相反，此命题错误由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，若 AB 与 CD 是共线向量，则 A， B， C，

27、 D 四点不一定在一条直线上，该命题错误答案 7 在 ABCD中， AB a， AD b， AN 3NC ， M 为 BC的中点，则 MN _(用 a， b 表示 )解析由 AN 3NC ，得 4AN 3 AC 3(a b)， AM a 12b，所以 MN AN AM 34(a b) a 12b 14a 14b.答案 14a 14b8 (2014 泰安模拟 )设 a， b 是两个不共线向量， AB 2a pb， BC a b， CD a 2b，若 A， B， D 三点共线，则实数 p的值为 _解

28、析 BD BC CD 2a b，又 A， B， D三点共线，存在实数，使 AB BD .即 2 2 ，p ， p 1.答案 1三、解答题| 79 在 ABC中， D， E分别为 BC， AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB 2GE，设 AB a， AC b，试用 a， b 表示 AD ，AG .解 AD 12(AB AC ) 12a 12b；AG AB BG AB 23BE AB 13(BA BC ) 23AB 13(AC AB ) 13AB 13AC 13a 13b.10 若 a， b 是两个不共线的

29、非零向量， a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时， a， tb， 13(a b)三向量的终点在同一条直线上？解设 OA a， OB tb， OC 13(a b)， AC OC OA 23a 13b， AB OB OA tb a.要使 A， B， C 三点共线，只需 AC AB .即 23a 13b (tb a) tb a.又 a 与 b 为不共线的非零向量，有 23 ，13 t 23，t 12. 当 t 12时，三向量终点在同一直线上提升训练一、选择题1 (201

30、3 济南一模 )已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O是 ABC的重心，动点 P满足 OP 13 12OA 12OB 2OC ，则点 P一定为三角形 ABC的 ( )A AB边中线的中点B AB边中线的三等分点 (非重心 )C 重心D AB边的中点解析设 AB的中点为 M，则 12OA 12OB OM ， OP 13(OM 2OC ) 13OM 23OC ，即 3OP OM 2OC ，也就是 MP 2PC ， P，M， C 三点共线，且 P是 CM上靠近 C 点

31、的一个三等分点答案 B2 在 ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且与点 C 不重合，若 AO x AB (1 x)AC ，则实数 x的取值范围是 ( )A ( ， 0) B (0， )C ( 1,0) D (0,1)解析设 BO BC ( 1)，则 AO AB BO AB BC (1 )AB AC ，又 AO x AB (1 x)AC ，所以 x AB (1 x)AC (1 )AB AC .所以 1 x| 81，得 x 0.答案 A二、填空题3 若点 O 是 ABC所在平面内的一

33、 2 AB 2 (AC AB ) (1 )AB 2 AC (1 )a 2 b.又 AG AC CG AC m CF AC m2(CA CB ) (1 m)AC m2AB m2a (1 m)b， 1 m2，1 m 2 ，解得 m 23， AG 13a 13b.高考真题1.（ 15北京文科）设，是非零向量， “ ” 是 “ ” 的（）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】试题分析：，由已知得，即， .而

34、当时，还可能是，此时，故 “ ” 是 “ ” 的充分而不必要条件 .考点：充分必要条件、向量共线 .| 92.（ 15北京文科）设，是非零向量， “ ” 是 “ ” 的（）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】试题分析：，由已知得，即， .而当时，还可能是，此时，故 “ ” 是 “ ” 的充分而不必要条件 .考点：充分必要条件、向量共线 .

展开阅读全文

6第1讲 平面向量的概念及其线性运算.pdf

6第1讲平面向量的概念及其线性运算.pdf