1、高考数学(浙江专用),5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标表示,考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1.(2017课标全国文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|,统一命题、省(区、市)卷题组,五年高考,答案 A 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以ab. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,则ab,
2、故选A.,2.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分 性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A.,3.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点, =3 ,则 ( ) A. =- + B. = - C. = + D. = -,答案 A = + = + + = + = + ( - )=- + .故选A.,4.(
3、2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中 的是 ( ) A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2,答案 B |ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确; 当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.,评析 本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.,5.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=
4、(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3),答案 B 设a=k1e1+k2e2, A项,(3,2)=(k2,2k2), 无解. B项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), 解得 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C,D项同A项,无解.,6.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -
5、5=-4,解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值. 一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A=,60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - =(1,)-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得= .,考点二 平面向量基本定理及坐标表示 1.(2017课标全国理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切 的圆上.若 = + ,则+的最大值为 ( ) A.3 B. 2
6、C. D.2,答案 A 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为 圆心且与BD相切的圆上,可设P . 则 =(0,-1), =(-2,0), = . 又 = + , =- sin +1,=- cos +1, +=2- sin - cos =2-sin(+), 其中tan = ,(+)max=3.,2.(2018课标全国理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,答案,解析 本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(
7、2a+b),所以4-2=0,解得= .,3.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,答案 -3,解析 本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3.,4.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= .,答案 ;-,解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图:则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .,5.(2015江苏,6,5分)已知向
8、量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 .,答案 -3,解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得 解得 从而m-n=-3.,6.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|= .,答案,解析 a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|= ,|= .,7.(2014陕西,13,5分)设0 ,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若ab,则tan = .,答案,解析 ab,
9、sin 21-cos2=0,2sin cos -cos2=0,00,2sin =cos , tan = .,8.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1, 则| + + |的最大值是 .,答案 +1,解析 解法一:设D(x,y),则由| |=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cos ,y=sin ,R. 而 + + =(x-1,y+ ),则| + + |= = = = , 其中sin = ,cos = .显然当sin(+)=1时, | + + |有最大值 = +1. 解法二: + + = + + +
10、, 设a= + + =(2, ), 则|a|= ,从而 + + =a+ , 则| + + |=|a+ |a|+| |= +1, 当a与 同向时,| + + |有最大值 +1.,考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , = 2 ,则 = ( ) A.20 B.15 C.9 D.6,C组 教师专用题组,答案 C 依题意有 = + = + , = + = - = - ,所以 = = - =9.故选C.,2.(2014课标,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若 = ( + ),则 与 的夹
11、角为 .,答案 90,解析 由 = ( + )可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为 直角,所以BAC=90,所以 与 的夹角为90.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示 (2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= . 答案,解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于 = ,即= .,考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,10)ABC中,已知C= ,| | | | B.| | | | C.| | | | D.| | | |,三年模拟,A组
12、20162018年高考模拟基础题组,答案 B 如图,取AC的中点D,连接BD,则 = +(1-) (0| | |,故选B.,2.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),9)在ABC中, + =4,| |=2,记h()= , 则 h()的最大值为 ( ) A.1 B. C. D.,答案 B 将| - |=2的两边平方后,整理得, =0,即ABC为直角三角形.h()= ,设D为BC的中点,则h()=| +(1-) |.易知 h()为直角 三角形CAD的斜边AD上的高,记为h.设| |=b,| |=a,则a2+b2=4.由面积相等知,h= = .因为 + = (a2+b2)= (5+4)= , 所以h
13、 .故选B.,3.(2017浙江杭州质检,7)设O是ABC的内心,AB=c,AC=b,若 =1 +2 ,则 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 设 =1 , =2 .因为O是ABC的内心,所以AO平分BAC,所以平行四边 形AMON为菱形,且10,20,由| |=| |,得|1 |=|2 |,即1c=2b,亦即 = ,故选A.,4.(2018浙江嘉兴第一学期期末,14)直角ABC中,AB=AC=2,D为AB边上的点,且 =2,则 = ;若 =x +y ,则xy= .,答案 4;,解析 解法一:因为ABAC,所以 在 方向上的射影为| |,所以 =| | |=4. 因为 =
14、2 ,所以( - )=2( - ),从而 = + , 由平面向量基本定理可知,x= ,y= ,所以xy= . 解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 由题意知A(0,0),B(2,0),C(0,2),D , 则 =(0,-2), =(2,-2), = . =4. 又由 =x +y ,得 解得 xy= .,5.(2017浙江台州质量评估,16)已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(, R),且+=1, = ,则= .,答案,解析 如图,设 =a, =b, =c.因为向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三点共线.由
15、 = 知,|c|cos=|c|cos,所以OC为AOB的平分线. 因为c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b), 即 = ,所以= , 易知 = = ,所以= = .,考点二 平面向量基本定理及坐标表示 (2018浙江重点中学12月联考,15)已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,点E是AB的中点,点P是对角线 BD上的动点,若 =x +y ,则 的最小值为 ,x+y的最大值是 . 答案 1;5,解析 分别以AB,AD所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E(1,0). 设P(m,n),则 +n=1,且0m2. 而 =(2,
16、1), =(m,n), =2m+n= m+1, 0m2, 的最小值为1. =x +y ,即(2,1)=(mx,nx)+(y,-y), 解得 则x+y= = =-4+ ,故x+y的最大值为5.,1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD,| |=2| |=2,且 =1,= , =2 ,则 = ; 若DE和AF交于点M,且 =x +y ,则x+y= .,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：15分钟 分值：22分),一、选择题,答案 ;,解析 =( + )( - )= = - - = . = + ,设 = ,则 = + ,m +(1-m) = = + =
17、 ,故 = + x+y= .,2.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),17)ABC中,AB=4,AC=3,BC=2,点H为三角形的垂心, 若 =x +y ,则 的值是 .,答案 -,解析 对 =x +y 两边同时点积 ,得0=(x +y )( - ),而 = ,所以0= x- y+9y-16x,故 =- .,3.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,17)设点P是ABC所在平面内一动点,满足 = + ,3+4=2(,R,0),| |=| |=| |.若|AB|=3,则ABC面积的最大值是 .,答案 9,解析 由题意知 = +2 ,设 = , = ,所以 = +2 , 因为3+4=
18、2,即 +2=1,所以P,E,F三点共线. 又| |=| |=| |,所以P是ABC的外心,所以EF为BC的中垂线,连接BE,则有BE=CE,而CE= 2EA,所以BE=2EA,所以E的轨迹为圆.利用阿波罗尼斯圆的原理,易得该圆的半径为2,也即点E到 直线AB的最大距离为2,从而ABE的最大面积为3,从而ABC面积的最大值是9.,4.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),16)已知向量a, b, |a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(xR),若|c|取 最小值 时,向量m满足(a-m)(c-m)=0,则|m|的取值范围是 .,答案,解析 解法一:构造如图所示的图形,设 =a, =
19、b, =2b,则c=xa+2(1-x)b=x(a-2b)+2b=x -= - = ( =x ),当OCAD时,|c|取得最小值 ,此时OAD为边长为2的正三角 形,C为AD的中点,构造 =m,则 =c-m, =a-m.由(a-m)(c-m)=0知,向量m的终点在以AC的中 点E为圆心,以AC为直径的圆上运动.因为OE= = , 所以|m|max= + = ,|m|min= - = ,所以|m|的取值范围是 .解法二:设向量a, b的夹角为,|c|2=|xa+2(1-x)b|2=8(1-cos ) , 所以当x= 时,|c|2取得最小值3,此时cos = ,所以= ,= ,= ,所以ac=2 c
20、os =3,|a+c|2=|a|2+2ac+|c|2=13,所以|a+c|= ,由(a-m)(c-m)=0得|m|2-(a+c)m+ac=0,设=,则|m|2- cos |m|+3=0,|m|=,显然cos =1时,|m|取得最值 = ,所以|m|的取值范围 是 .,5.(2017浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b的夹角为,且 ,若对任意的(x,y)(x,y)| xa+yb|=1,x,y0,都有|x+2y| 成立,则ab的最小值为 .,答案,解析 |xa+yb|2=x2+y2+2xycos =1. 设t=x+2y,即x=t-2y, 代入x2+y2+2xycos =1得 (5-4cos )y2+(2cos -4)ty+t2-1=0. 所以0(cos2-1)t2+5-4cos 0t2 , 所以 cos ,所以ab=cos . 经检验,此时x,y0符合要求.,
