1、第二章 平面向量21 平面向量的实际背景及基本概念1通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础2理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量基 础 梳 理一、向量的概念1向量的实际背景有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量路程、速率、质量、密度都是只有大小的量2平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？答案：位移、力思 考 应 用1直角坐标平
2、面上的 x 轴、y 轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？解析：x 轴，y 轴只有方向，没有大小，因而不是向量数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点) 有关二、向量的几何表示1有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作 起AB 点要写在终点的前面有向线段包含三个要素起点、方向、长度2向量的有向线段表示方法向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向3向量也可以用黑体的字母表示，如 a，b，
3、c.强调：箭头不能不写，否则表示数量4向量的模| |(或 |a|)表示向量 (或 a)的大小，即长度(也称模) ，长度为AB AB 零的向量称为零向量，记作 0，长度等于 1 个单位的向量称为单位向量思 考 应 用2(1) 单位向量是否唯一？有多少个单位向量？(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是_解析：(1) 单位向量不唯一，因为方向可以不同有无数个单位向量(2)圆三、共线向量与相等向量1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与 b 平行，通常记作 ab我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有0a2相等向量是长度相等且方向相同的向量
4、，a 与 b 相等，记作ab任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关3共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反若 a 与 b 共线，即 a 与 b 平行，记作 ab.思 考 应 用3共线向量有几种情况？方向为西南方向的向量与东北方向的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等方向为西南方向的向量与东北方向的向量方向相反，它们是共线向量自 测 自 评1下列各物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的
5、个数是(D )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：是向量，故选 D.2向量 a 与任一向量 b 平行，则 a 一定是 0解析：零向量与任一向量平行，a 一定是 0.3如图，在圆 O 中，向量 、 、 是 (C)AO OB OC A有相同的起点 B单位向量C模相等的向量 D相等的向量4如图，在四边形 ABCD 中， ，则相等的向量是(D)AB DC A. 与 B. 与AD CB OB OD C. 与 D. 与AC BD AO OC 基 础 提 升1下列关于向量的说法中正确的是 (C)A长度相等的两向量必相等B两向量相等，其长度不一定相等C向量的大小与有向线段起点无关D两个向量相等，则它们
6、的起点和终点都相同2下列条件中能得到 ab 的是(D)A|a|b|B a 与 b 的方向相同Ca0，b 为任意向量Da0 且 b0解析：由相等向量的定义知，D 正确故选 D.3如图，在菱形 ABCD 中，DAB 120，则以下说法错误的是( D)A与 相等的向量只有一个(不含 )AB AB B与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB AB C. 的模恰为 模的 倍BD DA 3D. 与 不共线CB DA 4若 且 ，则四边形 ABCD 的形状为( B)|AB| |AD| （ BA CD） A平行四边形 B菱形C矩形 D等腰梯形解析：由 知，AB 綊 CD，又 ABAD ，四边形BA CD A
7、BCD 是菱形故选 B.5若|a|2，ba，则|b| _，b 的方向与 a_若ba，则|b|_，b 的方向与 a_答案：2 相同 2 相反巩 固 提 高6给出以下 4 个条件：ab；|a| |b|；a 与 b 方向相反；|a| 0 或|b|0.其中能使 ab 成立的条件是_答案：7如下图，设 ABCD 是菱形，可以用同一条有向线段表示的两个向量是_解析：相等向量可以平行移动，相等向量可用同一条有向线段表示图中 和 是相等向量AD BC 答案： 和AD BC 8如图，ABC 中，D 、E 、F 分别是边 BC、AC、AB 的中点，在以 A、B、C 、D、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中：
8、(1)与向量 共线的有FE _(2)与向量 的模相等的有DF _(3)与向量 相等的有ED _答案：(1) 、 、 、 、 、 、 (2) 、 、 、 、EF BC CB BD DB CD DC FD AE EA EC (3) 、CE AF FB 9已知四边形 ABCD， ，且| | |，则四边形AB 12DC AD BC ABCD 的形状是_解析： ，AB DC，AB 12DC 四边形 ABCD 为梯形| | |，四边形 ABCD 为等腰梯形AD BC 答案：等腰梯形10在平面上任意确定一点 O，点 P 在点 O“东偏北 60，3 cm”处，点 Q 在点 O“南偏西 30，3 cm”处，画出点 P 和点 Q相对于点 O 的位置向量(即知起点 O，方向和长度，确定点 P、Q )解析：所求图如下：1非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立2两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的3与向量 a 同方向，且长度等于 1 个单位的向量，叫做 a 方向上的单位向量，记作 ，这实质上告诉了求任意非零向量的单位向a|a|量的方法
