1、专题复习( 九) 函数的图象与性质类型 1 一次函数与反比例函数的图象综合题1(2016合肥瑶海区模拟)已知 A(1，m)，B(n，1)，直线 l 过 A，B 两点，其解析式为 yxb.(1)当 b5 时，求 m，n 的值；(2)在(1)的条件下，若此时双曲线 y (x0)也过 A，B 两点，求关于 x 的方程 x2bxk0 的解kx解：(1)当 b5 时，yx5；当 x1 时，y4；当 y1 时，x4，即 m4，n4.(2)根据题意，得 k4，方程为 x25x40，解得 x1 4，x 21.2(2016安徽模拟)已知，如图所示 ，一次函数 yx 与反比例函数 y1 交于点 C( ，n)，直线
2、 AB 交 y 轴于点kx 3B(0，2)，交反比例函数 y1 于点 A(m，3)，求：kx(1)直线 AB 的解析式 y2axb 和 k 的值；(2)在 x0 范围内，结合图象求不等式 axb 的解集kx解：(1)点 C( ，n) 在一次函数 yx 图象上，n .3 3C( ， )3 3又反比例函数 y1 图象经过点 C，k3.kx又A(m，3) 在反比例函数 y1 图象上，3 .m1.A(1，3) kx 3m又直线 y2axb 经过 A(1，3)，B(0，2) ， 解得a b 3，b 2. ) a 1，b 2.)直线 AB 的解析式为 y2x2.(2)由图象可知，在第一象限内，当 x1 时
3、，y 2y 1.不等式 axb 的解集为 x1.kx3(2016威海)如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 ykxb 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(2，6)，mx点 B 的坐标为(n，1)(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点 E 为 y 轴上一个动点，若 SAEB 5，求点 E 的坐标解：(1)把点 A(2，6)代入 y ，得 m12.mx则所求反比例函数的表达式为 y .12x把点 B(n，1)代入 y ，得 n12，12x则点 B 的坐标为(12，1)由直线 ykxb 过点 A(2， 6)，点 B(12，1)，得 解得2k b 6，12k b 1.) k 12，b
4、 7. )则所求一次函数的表达式为 y x7.12(2)设直线 AB 与 y 轴的交点为 P，设点 E 的坐标为(0 ，m)，连接 AE，BE，则点 P 的坐标为(0，7)PE|m7|.S AEB S BEP S AEP 5， |m7| (122)5.|m7| 1.12m 16，m 28.点 E 的坐标为(0，6) 或(0，8)4(2016乐山)如图，反比例函数 y 与一次函数 yaxb 的图象交于点 A(2，2)，B( ，n) kx 12(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数 yaxb 的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位，使平移后的图象与反比例函数 y 的图象有且只有一kx个交点，求
5、 m 的值解：(1)A(2，2)在反比例函数 y 的图象上，k4.kx反比例函数的解析式为 y .4x又B( ，n)在反比例函数 y 的图象上， n4，解得 n8.12 4x 12由 A(2， 2)，B( ，8)在一次函数 yaxb 的图象上，得 解得12 2 2a b，8 12a b. ) a 4，b 10. )一次函数的解析式为 y4x10.(2)将直线 y4x10 向下平移 m 个单位得直线的解析式为 y4x10m.直线 y4x10m 与双曲线 y 有且只有一个交点，4x令4x10m ，得 4x2 (m10)x 40.4x(m10) 2640，解得 m2 或 18.来源:学优高考网5(2
6、016宿州灵璧县一模)已知反比例函数 y (m 为常数 )的图象经过点 A(1，6)m 8x(1)求 m 的值；(2)如图，过点 A 作直线 AC 与函数 y 的图象交于点 B，与 x 轴交于点 C，且 AB2BC ，求点 C 的坐标m 8x解：(1)反比例函数图象过点 A(1，6)， 6，解得 m2.来源:学优高考网 gkstkm 8 1故 m 的值为 2.(2)分别过点 A，B 作 x 轴的垂线 ，垂足分别为点 E，D.由题意，得 AE6，OE1.BDx 轴，AEx 轴， AEBD.CBDCAE. .CBCA BDAEAB2BC， . ，即 BD2.CBCA 13 13 BD6点 B 的纵
7、坐标为 2.当 y2 时，x3，即 B(3，2)设直线 AB 解析式为 ykxb，把 A 和 B 坐标代入，得 解得 k b 6， 3k b 2.) k 2，b 8. )直线 AB 解析式为 y2x8.令 y0，解得 x4.来源:gkstk.ComC(4，0)类型 2 求二次函数的解析式6(2016安徽模拟)二次函数 yx 2bxc 的图象经过点(4，3)，(3 ，0)，求函数表达式，并求出当 0x3 时，y 的最大值解：二次函数 yx 2bxc 的图象经过点(4，3) ，(3，0)， 解得16 4b c 3，9 3b c 0. ) b 4，c 3. )函数表达式为 yx 24x3.yx 24
8、x3(x2) 21.当 x0 时，y 有最大值是 3.7已知二次函数的图象过点(0，3) ，顶点坐标为(4，11)(1)求这个二次函数的关系式；(2)求这个二次函数图象与 x 轴交点坐标解：(1)根据题意，可设该二次函数关系式为 ya(x4) 211，将(0，3) 代入上式可得 16a113，解得 a ，12故这个二次函数关系式为 y (x4) 211.12(2)在函数 y (x4) 211 中，令 y0，得 12 (x4) 2110，解得 x14 ，x 24 ，故这个二次函数图象与 x 轴交点坐标为(4 ，0)，12 22 22 22(4 ，0)228如图，抛物线 yax 22xc 经过点
9、A(0，3)，B(1，0)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长解：(1)把点 A(0，3)，B(1，0)代入抛物线 yax 22xc ，得解得c 3，a 2 c 0.) a 1，c 3. )抛物线的解析式为 yx 22x3.(2)yx 22x3(x1) 24，顶点 D 的坐标为(1， 4)，点 E 坐标为(1，0) ，BE 2，DE 4.BD 2 .DE2 BE2 42 22 59如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A(3，0) 和 B(1，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3)，点 C，D 是二次函数图象
10、上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D.(1)请直接写出 D 点坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围解：(1)二次函数的图象与 x 轴交于 A(3，0)和 B(1，0)两点，对称轴是 x 1. 3 12又点 C(0，3)，点 C，D 是二次函数图象上的一对对称点，D( 2，3)(2)设二次函数的解析式为 ya(x3)(x 1)(a0) ，将 C(0，3) 代入，得 3a3(1)，解得 a1.二次函数的解析式为 y(x3)(x 1)即 yx 22x3.(3)一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x2 或 x1.类型 3 二
11、次函数的图象与性质的综合题10(2016安徽中考信息交流卷二) 如图，直线 y2x4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，把AOB 绕着点 O逆时针旋转 90得到OCD.(1)请直接写出 C，D 两点的坐标；(2)求出经过 A，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)点 P 是(2)中抛物线对称轴上的一个动点，当PAB 的周长最小时，求点 P 的坐标解：(1)直线 y2x4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点 ，当 x0 时，y4，则 B(0，4)；当 y0，x2，则 A(2，0) 把AOB 绕着点 O 逆时针旋转 90得到COD，C(4，0)，D(0 ，2)(2)抛物线与 x 轴交
12、点为 C(4，0) ，A(2，0)，设抛物线解析式为 ya(x 4)(x2)把点 B(0，4)代入，得8a4.解得 a .12故抛物线解析式为 y (x 4)(x2) x2x4.12 12(3)y x2x4 (x1) 2 ，12 12 92连接 BC，交对称轴于点 P，此时，PAB 的周长最小，设直线 BC 的解析式为 ykxb.则 解得b 4， 4k b 0.) k 1，b 4. )故直线 BC 的解析式为 yx4.当 x1 时，y3，故 P(1，3)11已知抛物线 yx 22mx 3m 22m.(1)若抛物线经过原点，求 m 的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线
13、上；(2)是否无论 m 取何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数 m 变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值解：yx 22mx3m 22m(xm) 22m 22m，抛物线顶点为(m，2m 22m)(1)将(0， 0)代入抛物线解析式中，解得 m0 或 m .来源:gkstk.Com23当 m0 时，顶点坐标为(0，0)；当 m 时，顶点坐标为( ， )23 23 49第三象限的平分线所在的直线为 yx，(0，0)在该直线上，( ， )不在该直线上23 49(2)抛物线顶点为(m，2m 22m)当 m0 时 ，2m 22m0，此时抛物线顶点在
14、第一象限；当 m0 时，2m 22m0，此时抛物线的顶点在原点；当 m0，则顶点坐标在第二象限；若 2m22m0)3 3设抛物线解析式为 y (xm) 2 m2 .233 3 3当 FGEG 时，FG EG 2m，则 F(0，2m2 )，代入解析式 ，得 m2 m2 2m 2 ，解得3233 3 3 3m10(舍去) ， m2 .332所求的解析式为 y (x )23 ；233 3 32 732当 GEEF 时，FG2 m，则 F(0，2 m2 )，代入解析式 ，得3 3 3m2 m2 2 m2 ，解得 m10(舍去) ，m 2 .233 3 3 3 3 32所求的解析式为 y (x )2 ；233 32 32当 FGFE 时，不存在综上所述，平移后存在抛物线，使EFG 为等腰三角形，此时抛物线的解析式为 y (x )23 或233 3 32 732y (x )2 .233 32 32来源:学优高考网 gkstk
