1、锐角三角函数的实际应用巩固集训1. (2014 盐城)盐城电视塔是我市标志性建筑之一，如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度 AB.小明在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得电视塔顶端A 的仰角为 30，然后向电视塔前进 224 m 到达 E 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为60，求电视塔的高度 AB.( 取 1.73.结果精确到 0.1 m)3第 1 题图2. (2017 原创 )如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角BPC 为30，窗户的一部分在教室地面所形成的影长 PE 为 3.5 m，窗户的高度 AF 为 2.5 m求窗外遮阳篷外端一点 D 到
2、教室窗户上端的距离 AD.(参考数据： 1.73，结果3精确 0.1 m)第 2 题图3. (2015 河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48，若坡角FAE30，求大树的高度(结果保留整数，参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11， 1.73)3第 3 题图4. (2015 义乌)如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45，向前走 6 m 到达 B 点，测得杆顶端
3、点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30.(1)求BPQ 的度数；(2)求该电线杆 PQ 的高度(结果精确到 1 m)备用数据： 1.7， 1.4.3 2第 4 题图5. (2016 遵义)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 OB 的长为 3 m，静止时，踏板到地面距离 BD 的长为 0.6 m(踏板厚度忽略不计)为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 h m，成人的“安全高度”为 2 m(计算结果精确到 0.1 m)(1)当摆绳 OA 与 OB 成 45夹角时，恰为儿童的安全高度，则 h_m.(2)某成人在玩秋千时，摆绳 OC 与 OB 的最大夹角为 55
4、.问此人是否安全？(参考数据： 1.41，sin550.82，cos550.57，tan551.43)2第 5 题图6. (2016 广安)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶，已知台阶总高 1.5 米，为了安全现要做一个不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的底端分别为 D、C)，且DAB66.5.(参考数据：cos66.50.40，sin 66.50.92)(1)求点 D 与点 C 的高度差 DH；(2)求所有不锈钢材料的总长度(即 ADABBC 的长，结果精确到 0.1 米)第 6 题图7. (2016 济宁)某地的一座人行天
5、桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为11，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1.3(1)求新坡面的坡角 ；(2)天桥底部的正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由第 7 题图8. (2016 南京校级二模)如图，两棵大树 AB、CD，它们根部的距离 AC4 m，小强沿着正对这两棵树的方向前进如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6 m，小强在 P 处时测得 B 的仰角为 20.3，当小强前进 5 m 达到 Q 处时，视线恰好经过两棵树的顶端 B 和 D，此时仰角为 36.42.(1)求大树 AB 的高度；(2)求大树
6、 CD 的高度(参考数据：sin20.30.35，cos20.30.94，tan20.30.37；sin36.420.59，cos 36.420.80，tan36.420.74)第 8 题图9. (2016 徐州模拟)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过 A、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 C，经测量，B 位于 A 的北偏东 75方向，C 位于B 的正北方向，C 位于 A 的北偏东 30方向，AB8 km .(1)求景点 B 与 C 的距离；(2)为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 a 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长(本题结果
7、保留根号)第 9 题图10. (2016 江西)如图是一副创意卡通圆规，图是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出图已知OAOB10 cm.(1)当AOB 18时，求所作圆的半径； (结果精确到 0.01cm)(2)保持AOB 18不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到 0.01 cm)(参考数据：sin90.1564，cos90.9877，sin180.3090，cos180.9511，可使用科学计算器)第 10 题图11. (2017
8、原创)小唐同学在操场上放风筝，风筝从 A 处起飞，几分钟后便飞达 C 处，此时，在 AQ 延长线上 B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆 PQ 的顶点 P在同一直线上(1)如图，已知旗杆 PQ 的高为 10 米，若在 B 处测得旗杆顶点 P 的仰角为 30，在A 处测得旗杆顶点 P 的仰角为 45，求 A，B 之间的距离；(2)如图，在(1)的条件下，在 A 处测得风筝的仰角为 75，若绳子在空中视为一条线段，求绳子 AC 的长第 11 题图12. (2016 徐州校级二模)如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 观测站在 B 观测站的正东方向，有一艘小船在点 P 处，从
9、A 处测得小船在北偏西 60方向，从 B 处测得小船在北偏东 45的方向，点 P 到点 B 的距离是 3 千米(注：结果有2根号的保留根号)(1)求 A，B 两观测站之间的距离；第 12 题图(2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向以 千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间3后到达点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15方向，求小船沿途考察的时间13. (2016 铜仁)阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin()sincoscossintan()tan tan1tan tan利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值例如：tan75tan (453
10、0) 2 .tan45 tan301 tan45tan301 331 133 3根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算 sin15；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底 7 米的 C 处，在 D 点测得纪念碑碑顶的仰角为 75， DC 为 米，请你帮助李三求出纪3念碑的高度第 13 题图答案1. 解：设 AGx ，在 Rt AFG 中，tan AFG ，AGFGFG ，tan60x3在 Rt ACG 中，tanACG ，AGCGCG x，tan303又CGFGCFD
11、E， x 224，3解得 x193.8.则 AB193.81.5195.3(米)答：电视塔的高度 AB 约为 195.3 米2. 解：如解图，过点 E 作 EGAC，交 BP 于点 G，第 2 题解图EFDP，四边形 BFEG 是平行四边形，在 Rt PEG 中，PE 3.5 m，P30，tanEPG ，EGEPEG EPtanP3.5tan303.5 2.02 m，33又四边形 BFEG 是平行四边形，BFEG2.02 m，ABAFBF 2.52.02 0.48 m，又AD PE，BDA P30，在 Rt BAD 中，tan 30 ，ABADAD 0.48 0.8 m.ABtan30 3答：
12、窗外遮阳篷外端一点 D 到教室窗户上端的距离 AD 为 0.8 m.3. 解：如解图，过点 D 作 DGBC 于点 G，DH CE 于点 H，第 3 题解图则四边形 DHCG 为矩形，故 DGCH，CGDH，在 Rt AHD 中，DAH 30，AD 6，DH3，AH3 ，3CG3，设 BC 为 x，在 Rt ABC 中，AC ，BCtan BAC x1.11DGAH AC3 ，BGx3，3x1.11在 Rt BDG 中，BGDGtan30，x3(3 ) ，3 1x.33解得 x12，大树的高度为 12 米4. 解：(1)延长 PQ 交直线 AB 于点 E，则PEB90，第 4 题解图BPQ90
13、 60 30；(2)设 PEx m.在 Rt APE 中，A 45 ，则 AEPEx m；在 Rt BPE 中，tan30，BEPEBE PE x m，33 33ABAEBE 6 m，则 x x6，33解得 x93 .3则 BE(3 3)m.3在 Rt BEQ 中，QEBEtan QBE BE (3 3)(3 )m.33 33 3 3PQ PEQE93 (3 )62 9(m )3 3 3答：电线杆 PQ 的高度约为 9 m.5. 解：(1)1.5；【解法提示】如解图，由题意得，ODOBBD30.636 m ，AFOB，AOF 45，OA3，OF OAcos453 m，22 322hODOF3.
14、6 32236 1.411.5 m.32第 5 题解图(2)如解图，过点 C 作 CEOB 于点 E，在 Rt OEC 中， cos55，OEOCOE OCcos55，ED OB OEBD3 30.570.61.9 m，1.92，此人安全6. 解：(1)DH1.5 1.2(米)，故点 D 与点 C 的高度差 DH 为 1.2 米45(2)过点 B 作 BMAH，垂足为 M，如解图第 6 题解图在矩形 BMHC 中，HMBC 1 米，AMDH ADBC12 米，在 Rt ABM 中，cos A ，AMABAB 3.00 米AMcosA 1.20.40总长度AD AB BC1 3.0015.0 米
15、答：总长度为 5.0 米7. 解：(1)新坡面 AC 的坡度为 1 ，3tan ， 30；13 33答：新坡面的坡角 的度数为 30；(2)原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除理由如下：如解图，过点 C 作 CD AB，垂足为 D，第 7 题解图坡面 BC 的坡度为 11，BD CD6 米，新坡面 AC 的坡度为 1 ，3CDAD1 ，3AD 6 ，3ABADBD(6 6)米PB 8 米，3答：原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除8. 解：(1)在 RtBEG 中，BGEGtan BEG，在 Rt BFG 中，BGFGtan BFG，设 FG x 米，则(x 5
16、)0.37 0.74x，解得 x5，BGFGtanBFG0.7453.7，ABAGBG1.63.7 5.3 米，答：大树 AB 的高度为 5.3 米；(2)在 RtDFH 中，DHFHtanDFG (54)0.746.66 米，CDDHHC6.661.68.26 米，答：大树 CD 的高度为 8.26 米9. 解：(1)如解图，过点 B 作 BDAC 于点 D，第 9 题解图在 Rt ADB 中，ADB 90，DAB 7530 45，sin45 ，BD8 22BD 4 ，2在 Rt CDB 中，CDB90，DCB30，sin30 .42BC 12BC8 km，2景点 B 与 C 的距离为 8
17、km；2(2)如解图，过点 C 作 CEAB 于点 E，在(1)中可求出 AD4 ，CD4 ，则 AC4 4 ，2 6 2 6在 Rt CAE 中，sinCAE ，CEAC 22CE(44 )km.3这条公路的长为(44 )km.310. 解：(1)如解图，过点 O 作 OCAB 于点 C.第 10 题解图则 AB2BC，BOC AOB9，12在 RtOBC 中，BCOBsin9100.15641.564，AB2BC21.5643.1283.13.答：所作圆的半径为 3.13 cm；(2)OBA (180 AOB )81，12OBA90 ，故可在 BO 上找到一点 D，使得 ADAB ，此时所
18、作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等如解图，过 A 作 AHOB 于点 H，则 BD2BH.在 Rt AOH 中，OHAO cos18100.95119.511，BH 109.5110.489，BD 20.4890.9780.98.答：铅笔芯折断部分的长度为 0.98 cm.11. 解：(1)在 RtBPQ 中，PQ10 米，B30，则 BQ 10 ，PQtan30 3又在 RtAPQ 中，PABAPQ 45，第 11 题解图则 AQ PQ 10，即 AB(10 10)米，3A，B 之间的距离为(10 10)米；3(2)过 A 作 AEBC 于点 E，如解图，在 Rt ABE 中，B 30 ，
19、AB10 10，3AEsin30AB (10 10)(5 5)米，12 3 3CAD75，B30，C 45，在 Rt CAE 中，sin45 ，AEACAC (5 5 )米AEsin4553 522 6 2绳子 AC 的长为(5 5 )米6 212. 解：(1)如解图，过点 P 作 PDAB 于点 D，第 12 题解图在 Rt PBD 中，BDP 90，PBD 9045 45，BD PD PBsinPBD3 千米，在 Rt PAD 中，ADP 90，PAD 9060 30，AD PD3 千米，PA6 千米，3 3ABBDAD(33 )千米，3A，B 两观测站之间的距离为(33 )千米；3(2)
20、如解图，过点 B 作 BFAC 于点 F，根据题意得：ABC105，在 Rt ABF 中，AFB90，BAF30，BF AB (千米)，AF AB 千米，12 3 332 32 9 332在ABC 中，C180BACABC45，在 Rt BCF 中，BFC90，C45，CFBF 千米，3 332PCAFCFAP 3 千米33 3 小时3 3故小船沿途考察的时间为 3 小时13. 解：(1)sin15sin(4530)sin45 cos30cos45sin30 22 32 22 12 .6 24(2)解： 在 RtBDE 中，BDE75，DE CA7，tanBDE ，BEDE即：tan75 2 ，BE7 3BE147 ，3又AEDC ，3ABBEAE 147 148 米，3 3 3答：纪念碑的高度是(148 )米3
