1、第七单元 图形与变换课时23 相似三角形的判定与性质核心考点平行线截线段成比例定理两条直线被一组平行线(不少于 3条) 所截，所得的对应线段 _成比例_相似三角形的判定及性质1判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)有两个角对应相等(4)两边对应成比例，且夹角相等(5)三边对应成比例(6)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例2性质(1)对应角_相等_，对应边_成比例_(2)周长之比等于_相似比_；面积之比等于_相似比的平方 _(3)对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于_相似比_相似图形的性
2、质1相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做_相似比_，相似比为1的两个多边形全等2相似多边形性质来源:学优高考网(1)相似多边形的对应角_相等_，对应边成_比例_(2)相似多边形周长的比等于_相似比_(3)相似多边形面积的比等于_相似比的平方_3位似的概念如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心这时我们说这两个图形关于这点位似4位似的性质在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)
3、，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky) 或(kx，ky)1(湘潭中考)如图，直线a bc ，点B是线段AC的中点，若DE 2，则EF _2_2(2017连云港中考)如图，已知ABCDEF，AB DE12，则下列等式一定成立的是( D )A. B. BCDF 12 A的 度 数 D的 度 数 12C. D. 来源:gkstk.Com ABC的 面 积 DEF的 面 积 12 ABC的 周 长 DEF的 周 长 123(2017长沙中考)如图，ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0) ，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
4、，可以得到A BO，已知点B的坐标是(3，0)，则点A 的坐标是_(1，2)_12,典题精析)【例1】(2017菏泽中考)如图，AB是O的直径，PB与 O相切于点B ，连结PA交O 于点C ，连结BC.(1)求证：BACCBP；(2)求证：PB 2PCPA；(3)当AC 6，CP3时，求sinPAB的值【解析】(1)根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得BACCBP ；(2)先证 PBC PAB，根据相似三角形的性质即可得出结论； (3)利用PB 2PCPA，得PB3 ，从而求得sin3PAB .3【答案】解：(1)AB 是O的直径，ACB90，BAC ABC 9
5、0.PB与 O相切于点 B，CBPABC 90.BACCBP ；(2)BACCBP，PP，ABP BCP， ，PB 2PCPA；来源:学优高考网PBPC PAPB(3)AC 6，CP3，AP 9.PB 2 PCPA，PB 3 ，PCPA 39 3sinPAB .PBAP 339 33【例2】(2017兰州中考)四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，位似中心是点O， ，则 _OEOA 35 FGBC【解析】四边形ABCD与四边形EFGH位似，则OEFOAB，OFGOBC， ，OEOA OFOB 35 .FGBC OFOB 35【答案】35【例3】(2017南通中考)我们知道，三角形的内心是三条角
6、平分线的交点 ，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”(1)等边三角形“内似线”的条数为_；(2)如图，ABC中，ABAC，点D 在AC上，且BDBCAD ，求证：BD是ABC的“内似线”；(3)在RtABC中，C90 ，AC4，BC 3，点E，F分别在边AC，BC上，且EF是ABC 的“内似线”，求EF 的长【解析】(1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案； (2)由等腰三角形的性质得出ABCC BDC， 证出BCDABC即可；(3) 分两种情况： 当 时，EFAB，由勾股定
7、理求出ABCECF ACBC 435，作DNBC于N，则DNAC，DN是RtABC的内切圆半径，求出DN (ACBC AB)1，AC2 BC212则 ，求出CE ， 证明CEFCAB，得出对应边成比例求出 EF ；当 时，同理得DEDF CECF 43 73 3512 CFCE ACBC 43：EF 即可3512【答案】来源:学优高考网gkstk来源:gkstk.Com解：(1)等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线 ，如图所示，则AMNABC ， CEFCBA，BGHBAC，MN，EF，GH是等边三角形ABC的内似线”；(2)AB AC，BDBC ，
8、ABC C BDC， BCDABC，BD是ABC的“内似线”；(3)设D是ABC的内心，连结CD，则CD平分ACB， EF是ABC的“内似线”，CEF 与ABC相似；分两种情况：当 时，EF AB，ACB 90，AC4，BC3，AB 5，作DCECF ACBC 43 AC2 BC2NBC于N，如图 所示，则 DNAC，DN是RtABC的内切圆半径，DN (ACBC AB)1，CD平分12ACB， ，DNAC， ，即 ，CE ，EFAB，CEFCAB ，DEDF CECF 43 DNCE DFEF 37 1CE 37 73 ，即 ，解得：EF ；当 时，同理得：EF ；EFAB CEAC EF5
9、 734 2512 CFCE ACBC 43 2512综上所述，EF的长为 .2512【命题规律】1相似三角形的判定和性质是中考考查的热点和难点，常以解答题的形式出现2相似三角形的识别往往会与特殊三角形、四边形、圆和三角函数等相关知识联系，与探索性、开放性问题相联系,跟踪训练)1(重庆中考A卷)ABC 与 DEF的相似比为14，则ABC与DEF的周长比为( C )A12 B 13 C14 D1162(巴中中考)点D，E 分别为ABC的边AB ，AC上的中点，则ADE的面积与四边形BCED的面积的比为( B )A12 B 13 C14 D113(2017成都中考)如图，四边形ABCD和ABCD是
10、以点O为位似中心的位似图形，若OA OA23，则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为( A )A49 B 25 C23 D. 2 34(南宁中考)有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S 2，则S 1S 2等于( D )A1 B12 C23 D 492(第4题图)(第5题图)5如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB90，ACBC，ACBC ，ABC的平分线分别交AD，AC于点 E，F ，则 的值是( C )BFEFA. 1 B2 C. 1 D .2 2 2 26如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1 ，7)，(1，1) ，(4，1) ，(6，1)，以C，D，E为顶点
11、的三角形与ABC相似， 则点E的坐标不可能是 ( B )A(6，0) B(6，3)C(6，5) D(4，2)7(2017潍坊中考)如图，在ABC中，ABAC，点D ，E分别为边AB，AC上的点，AC3AD，AB3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：_ABDF _，可以使得FDB 与ADE 相似(只需写出一个)(第7题图)(第8题图)8(2017自贡中考)如图，在ABC中，MNBC 分别交AB，AC于点M，N.若AM 1，MB2，BC 3，则MN的长为 _1_9(2017苏州中考)如图，已知ABC内接于O ，AB是直径，点D在O上，DO BC ，过点D 作DEAB，垂足为E ，连结CD交OE
12、边于点 F.(1)求证：DOEABC；(2)求证：ODFBDE；(3)连结OC ，设 DOE 的面积为 S1，四边形BCOD的面积为 S2，若 ，求sinA的值S1S2 27解：(1)AB 是 O的直径，ACB90.DEAB ，DEO 90 ，DEO ACB.ODBC， DOEABC，DOE ABC；(2)DOEABC，ODEA.A和BDC 是 所对的圆周角，ABDC，BC ODE BDC，ODFBDE；(3)DOEABC， ( )2 ，S DOES ABC ODAB 14即S ABC 4S DOE 4S 1.OAOB，S BOC SABC ，12即S BOC 2S 1. ，S 2S BOC S DOE S DBE 2S 1S 1S DBE ，S1S2 27S DBE S1，BE OE，12 12即OE OB OD，23 23sinAsin ODE .OEOD 23请 完 成 精 练 A本 第 24页 作 业
