1、1已知平面 , 和直线 a, b,a,b ,且 ab,则 与 的关系是( )A平行 B相交 C平行或相交 D垂直解:可在平面 内作一直线 c,且 c 与 a 相交,若 c 平行于面 ,则根据面面平行的判定定理知;若 c 与面 相交,则面 与 相交故选 C.2若直线 l 不平行于平面 ,且 l,则( )A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交解: 直线 l 不平行于平面 ,且 l,l 与 相交观察各选项,易知 A,C,D 都是错误的故选 B.3如 图 , 在 长 方 体 ABCDA1B1C1D1 中 ,AB 6, AD
2、4, AA1 3.分 别 过 BC, A1D1 的 两 个平 行 截 面 将 长 方 体 分 成 三 部 分 , 其 体 积 分 别 记 为V1 VAEA1DFD1,V2 VEBE1A1FCF1D1,V3 VB1E1BC1F1C.若 V1V2V3 141, 则 截 面 A1EFD1 的 面积 为 ( )A4 B8 C4 D1610 3 13解:由于两个截面平行,所以三部分都可看作直棱柱,所以底面积之比为 141.易得 AE2,A 1E. 4 .故选 C.13 1EFDAS134设 m,n 是平面 内的两条不同直线,l 1,l 2是平面 内的两条相交直线,则 的一个充分而不必要条件是( )Am
3、且 l1 Bml 1 且 nl2Cm 且 n Dm 且 nl2解:对于选项 A,显然是必要不充分;对于选项B,由 l1m 可得 l1,同理得 l2,又 l1 与 l2 是相交直线,故可得 ,充分性成立,而 不一定能得到 l1m,它们也可以异面,故必要性不成立;对于选项 C,由于 m,n 不一定是相交直线,故是必要不充分条件;对于选项 D,由 nl2 可转化为选项 C.故选 B.5( )如图,正方体 ABCD2012厦 门 期 末 质 检A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1 的中点,则下列结论中错误的是( )AD 1O平面 A1BC1BD 1O平面 MACC异面直
4、线 BC1 与 AC 所成的角等于 60D二面角 MACB 等于 90解:取 A1C1 中点 O1,连接 BO1,易知D1OBO1,故 D1O平面 A1BC1,A 正确取 AB 中点E,连接 OE, A1E,易知 A1EAM,A 1D1OE,而A1D1AM,故 AM平面 A1D1OE,AM D1O,同理CMD1O,AM MCM ,所以 D1O平面 MAC,B正确易知A 1BC1 为等边三角形,故 C 正确连MO,BO,由 AC平面 BDD1B1 知MOB 为二面角MACB 的平面角,显然不等于 90,故 D 错误故选 D.6如图,若 是长方体 ABCDA1B1C1D1 被平面EFGH 截去几何
5、体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于B1 的点,且 EHA1D1,则下列结论中不正确的是 ( )AEHFG B四边形 EFGH 是矩形C 是棱柱 D 是棱台解: EHA1D1,A 1D1B1C1,EH面BCC1B1,EH 面 BCC1B1.又 面 EFGH面BCC1B1FG, EHFG,且 EHFG ,由长方体的特征知四边形 EFGH 为矩形,此几何体为五棱柱,选项 A,B ,C 都正确 故选 D.7给出下列四个命题:平行于同一平面的两条直线平行;垂直于同一平面的两条直线平行;如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平
6、面内的任何直线都平行;如果一条直线和一个平面垂直,那么它和这个平面内的任何直线都垂直其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号) 解: 中平行于同一平面的两条直线可能相交,也可能异面,不正确;根据直线与平面垂直的性质定理知, 正确; 若直线 l 与平面 平行,则 l 必平行于 内某一方向上的无数条直线,故不正确;显然正确故填.8如图,平面 平面 ,ABC,ABC分别在 , 内,线段 AA,BB, CC共点于 O,O 在, 之间,若 AB2,AC1,BAC 60 ,OAOA3 2,则 ABC的面积为_解:相交直线 AA,BB所在平面和两平行平面, 相交于 AB,AB, ABAB.同理BCBC
7、,CAC A.ABC 与 ABC的三内角相等,ABC ABC, .SABC 21 ABAB OAOA 23 12 32, SABC .故填 .32 32 (23)232 49 293 2939如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P,Q 分别是 DD1,CC 1 的中点求证:(1)PO 面 D1BQ;(2)平面 D1BQ平面 PAO.证明:(1)连接 DB,在D 1DB 中,P,O 分别是DD1,DB 的中点,则 POD1B,又 PO面D1BQ, D1B面 D1BQ, PO面 D1BQ.(2)易证四边形 APQB 是平行四边形,PABQ.又 PA面 D1B
8、Q,BQ面 D1BQ,PA面 D1BQ.又由(1)知 PO面 D1BQ,POPA P,PO,PA平面D1BQ, 平面 D1BQ平面 PAO.10如图,正三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB 2,AA 13,D 为 C1B 的中点,P 为 AB 边上的动点(1)当点 P 为 AB 的中点时,证明 DP平面ACC1A1;(2)若 AP3PB,求三棱锥 BCDP 的体积解:(1)连结 DP,AC 1, P 为 AB 中点,D 为C1B 中点,DP AC1.又AC 1平面 ACC1A1,DP平面 ACC1A1,DP 平面 ACC1A1.(2)由 AP3PB,得 PB AB .14 12过点 D 作 D
9、EBC 于 E,则 DE 綊 CC1, CC1平面 ABC,12DE平面 BCP,又 CC13,DE .32VBCDPV DBCP SBCPDE 2 sin6013 1312 12 .32 3811( )如图所示,在三棱锥 PABQ 中,2013山 东PB平面 ABQ, BABPBQ ,D,C ,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点, AQ2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH.(1)求证:AB GH;(2)求二面角 DGHE 的余弦值解:(1)证明: D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,EFAB,DC AB.EFDC.又 EF平面
10、 PCD,DC平面 PCD,EF 平面 PCD.又 EF平面 EFQ,平面 EFQ平面PCDGH,EF GH.ABGH.(2)在ABQ 中,AQ2BD,ADDQ,ABQ90,即ABBQ,PB平面 ABQ,ABPB.又BPBQB , AB平面 PBQ.由(1)知 ABGH,GH平面 PBQ.又 FH,HC平面 PBQ,GHFH,GH HC.FHC 为二面角DGHE 的平面角设 BABQ BP2,连接 FC,在 RtFBC 中,由勾股定理得 FC ,同理可得 PC ,FQ .2 5 5又 H 为 PBQ 的重心,HC PC ,FH FQ .在 FHC 中,由余弦13 53 13 53定理得 cos
11、FHC .59 59 2259 45如图,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, BAC ACD90,EAC 60 ,AB ACAE .(1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP平面EAB?请证明你的结论;(2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 的余弦值解:(1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P.证明如下:取 AB 的中点 F 连接 DP,PF,EF,则FPAC, FP AC.12取 AC 的中点 M,连接 EM,EC.AEAC 且EAC60 ,EAC 是正三角形EMAC.四边形 EMCD 为矩形EDMC ACFP.又EDAC.12EDFP 且 EDFP,即四边形 EFPD 是平行四边形DPEF.而 EF平面 EAB,DP平面 EAB,DP平面EAB.(2)过点 B 作 AC 的平行线 l,过点 C 作 l 的垂线交 l 于点 G,连接 DG.EDAC,EDl.l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱平面 EACD平面 ABC,DCAC , DC平面ABC.又 l平面 ABC,DCl.l平面 DGC,lDG .DGC 是所求二面角的平面角设 ABACAE2a,则 CD a,GC2a.3GD a.GC2 CD2 7coscos DGC .GCGD 277