1、2.4 等比数列【选题明细表】知识点、方法 题号等比数列的定义 1等比数列的通项公式 2、4、5、6、7、8、9等比中项 3、12综合问题 10、11基础达标1.数列 a,a,a,a,(aR)必为( D )(A)等差数列但不是等比数列(B)等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列,又是等比数列(D)以上都不正确解析:当 a0 时,该数列是等差数列,也是等比数列,当 a=0时,是等差数列,但不是等比数列,故选 D.2.(2014临沂高二质量抽测)在等比数列a n中,a 1=-1,a4=64,则公比q等于( B )(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2解析:由 a4=a1q3得 q= =-4.
2、故选 B.3.已知公差不为 0的等差数列的第 2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比 q为( B )(A) (B)3 (C) (D)3解析:设等差数列的公差为 d,首项为 a1,由题意得(a 1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得 d=-2a1,q= = =3.故选 B.4.(2014马鞍山质检)各项均为正数的等比数列a n中,2a 1+a2=a3,则的值为( D )(A)-1 (B)-1或 2 (C)3 (D)2解析:设a n公比为 q(q0),则 2a1+a1q=a1q2,q 2-q-2=0,q=2 或 q=-1(舍去), = =q=2.故选 D.5.(2013衡水中
3、学高二第一次调研)已知正项等比数列a n满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、a n,使得 =4a1,则 m+n的值为( B )(A)10 (B)6(C)4 (D)不存在解析:a 7=a6+2a5,a 5q2=a5q+2a5,又 a50,q 2=q+2,q=2 或 q=-1,又 an0,q=2.又 =4a1,a man=16 , qm-1qn-1=16 ,q m+n-2=16,即 2m+n-2=24,m+n-2=4,m+n=6.故选 B.6.在数列a n中,a 1=2,且对任意正整数 n,3an+1-an=0,则 an= .解析:3a n+1-an=0, = ,因此a n是以 为公比的等
4、比数列,又 a1=2,所以 an=2( )n-1.答案:2( )n-17.(2013年高考广东卷)设数列a n是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= . 解析:因首项为 1,公比为-2,所以 a2=a1q=-2,a3=a1q2=1(-2)2=4,a4=a1q3=1(-2)3=-8,所以 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.答案:15能力提升8.已知a n为等比数列,a 4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10等于( D )(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7解析:法一 由题意得 或a 1+a10=a1(1+q9)=-7.法二 由解
5、得 或 或a 1+a10=a1(1+q9)=-7.故选 D.9.(2012年高考辽宁卷)已知等比数列a n为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列a n的通项公式 an= . 解析: =a10,(a 1q4)2=a1q9,a 1=q,a n=qn.2(a n+an+2)=5an+1,2a n(1+q2)=5anq,2(1+q 2)=5q,解得 q=2或 q= (舍去),a n=2n.答案:2 n10.若数列a n的前 n项和为 Sn,且 an=2Sn-3,则a n的通项公式是. 解析:由 an=2Sn-3得 an-1=2Sn-1-3(n2),两式相减得 an-an-1=
6、2an(n2),a n=-an-1(n2), =-1(n2).故a n是公比为-1 的等比数列,令 n=1得 a1=2a1-3,a 1=3,故 an=3(-1)n-1.答案:a n=3(-1)n-111.设数列a n是等差数列,b n=( ) ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求数列a n的通项公式.解:设数列a n的公差为 d,则 =( )d.( )d为非零常数,数列b n是等比数列,设公比为 q.b 1+b2+b3= ,b1b2b3= ,解得 b2= ,q= 或 q=4.当 q=4时,b 1= ,bn=b1qn-1= 4n-1=( )5-2n.又 bn=( ) ,a n=5-
7、2n.当 q= 时,b 1=2,bn=( )2n-3.又 bn=( ) ,a n=2n-3.综上可知 an=5-2n或 an=2n-3.探究创新12.已知两个等比数列a n,bn,满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若 a=1,求数列a n的通项公式;(2)若数列a n唯一,求 a的值.解:(1)设等比数列a n的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由 b1,b2,b3成等比数列,得(2+q) 2=2(3+q2),即 q2-4q+2=0解得 q1=2+ ,q2=2- ,所以a n的通项公式为 an=(2+ )n-1或 an=(2- )n-1.(2)设a n的公比为 q,则由 =b1b3得(2+aq) 2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0(*)由 a0得 =4a 2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根,由a n唯一,知方程(*)必有一根为 0,将 q=0代入方程(*)得 a= .
