1、年金(annuity),学习目标,掌握年金的概念和几种年金的类型：标准型年金、变额年金、连续年金、永续年金等，以及与年金有关问题的求解方法。 会计算年金的现值和终值,年金的定义及其分类,年金：是一系列按照相等时间间隔支付的款项。 年金的最初形式：是以一年为时间间隔每次支付相等金额的一系列款项。 年金的推广：可以每季度付款一次、每个月或者每周付款一次；每次付款金额也未必相等 年金的应用：如零存整取的银行存款、住房按揭还款、购物分期付款及保险领域的养老金给付、分期交付保费等。 标准型年金：付款时间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期内利率不变且计息频率与付款频率相等的年金。 一般型年金：年金的各
2、种变换形式。,年金（annuity）分类,确定年金和风险年金（按照支付时间和支付金额是否确定） 定期年金和永续年金（按照支付期限长短） 每年（季度、月等）支付一次和连续支付年金（按支付周期不同） 期初付和期末付年金（按支付时间点） 即期年金和延期年金（按开始支付的时间） 等额年金和变额年金（每次付款金额是否相等）,期末付年金(annuity-immediate),定义：在每个付款期末付款的年金 假设一笔年金，付款期限为n期，每期期末付款额为1，每期利率为i。所有付款在0时刻的现值之和用符号 表示,所有付款在时间n时的积累值之和用符号 表示。 如果每期期末付款为K的话，那么在0时刻的现值之和是多
3、少？在n时刻积累值之和又是多少？,期末付年金现值(present value),将每期期末的付款都按利率i折现到0时刻，再求和，即可算出 的 值：整理为上式含义,Excel 求年金现值,期末付年金的现值的Excel命令为“PV(i,n,-1)” 比如年利率5%，每年末支付1的10年期年金的现值，在Excel的一个单元格里输入“=PV(5%,10,-1)”并回车，可得现值 若每年末支付200元，则命令为“=PV(5%,10,-200)”,期末付年金积累值之和,将每期期末的付款都按利率i积累到n时刻，再求和，即可算出 的值：上式整理公式含义,与 的倒数关系式,设每期期末投资本金为P，投资n期本息和
4、现值为1，则,每期期末投资本金为P，投资n期本息和现值为1。而积累值相当于0时刻本金1，则n期末的本息和为与每期期末投资P的n期的积累值等价由此,Excel 求年金积累值,期末付年金的积累值的Excel命令为“FV(i,n,-1)” 比如年利率6%，每年末支付1的10年期年金的积累值，在Excel的一个单元格里输入“=FV(6%,10,-1)”并回车，可得积累值 若每年末支付1000元，则命令为“=FV(6%,10,-1000)”,【例2-1】 年利率为6%。每年末投资1000 元，计算投资10年的现值和积累值。【例2-2】某银行客户想通过零存整取方式在1年后获1万元。在月复利为0.5%的情况
5、下，每月末需存入多少钱，才能达到其要求。,作业：一笔资金在20年内每年末支付4，灵一笔年金10年内每年末支付5.如果实际利率为i,则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项在n年内以利率i投资则可以翻番，求n。,练习：现有10年期500000元贷款，年利率8%，试计算以下三种还贷方式的应付利息： （1）在第10年底一次付清； （2）每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清； （3）每年底偿还固定金额，10年还清。,期初付年金（annuity-due）,定义:在每个付款期间开始时付款的年金称为期初付年金。 假设一个n期年金，每期期初付款额为1，每期利率为i。各现值和为期初付年金现值，记为 ,有,期初付年
6、金现值之和整理得,Excel 求年金现值,期初付年金的现值的Excel命令为“PV(i,n,-1,1)” 其中后一个1表示期初支付 比如年利率5%，每年初支付1的10年期年金的现值，在Excel的一个单元格里输入“=PV(5%,10,-1,1)”并回车，可得现值 若每年初支付200元，则命令为“=PV(5%,10,-200,1)”,各期付款在第n期期末的积累值记为 ，有上式整理得,期初付年金现值之和与积累值之和的关系,期末付和期初付年金现值与积累值之间的关系,Excel 求年金积累值,期初付年金的积累值的Excel命令为“FV(i,n,-1,1)” 其中后一个1表示期初支付 比如年利率5%，每
7、年初支付1的10年期年金的积累值，在Excel的一个单元格里输入“=FV(5%,10,-1,1)”并回车，可得积累值 若每年初支付200元，则命令为“=FV(5%,10,-200,1)”,【例2-3】某银行客户想通过零存整取方式在1年后获1万元。在月复利为0.5%的情况下，每月初需存入多少钱，才能达到其要求。,练习：某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元租金后可以使用8年，假设年利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？ 7596,任意时刻的年金值,实务中，经常遇到任意时刻年金现值或积累值的计算问题，如延期年金的现值计算问题。延期年金是以当前时刻为0时刻，在0时刻以
8、后若干时期后开始按期支付的年金。,三种时刻的延期年金,首期付款前某时刻的年金现值； 最后一期付款后某时刻的年金积累值； 付款期间某时刻年金的当前值。 注：这里假定计算年金现值的时刻距各付款时间间隔为付款期的整数倍。,首期付款前某时刻的年金现值,最后一期付款后某时刻的年金积累值,付款期间某时刻年金的当前值,假定付款期限为n，其中第m次付款（mn）时所有付款的当前值为：,某企业从银行获得一笔款项，年利率为8%。双方约定，前10年不用还本息，但从第11年至第20年的每年末偿还本息2000元，请问这笔贷款的金额是多少？ 6216,某企业从银行获得一笔贷款，年利率6%。假设企业每年末向银行偿还20000
9、元，10年后可还清贷款所有的本息。如果企业打算在5年零三个月时一次付清所有贷款本息，试计算企业应该一次性偿付多少？,永续年金,永续年金 付款次数没有限制，永远持续的年金 ，这种年金称为永续年金。 例如 在不考虑破产的情况下，公司股票中不能赎回的优先股，其固定红利的给付可视为永续年金。 某基金会以其基金的利息从事某种事业，则每期利息的支取会永远持续下去，这也是一种永续年金的形式。,期末付永续年金的现值,期末付永续年金的现值记为 ，且有上式可以解释为在利率为i时，首期期初投资为1/i , 且不收回本金，则每期期末可获得数额为1的利息，一直持续下去。,期初付永续年金的现值,期初付永续年金的现值记为
10、，且有注：永续年金的最终积累值不存在，因为给付没有终点时刻，且无穷的均衡给付导致积累值变为无穷大。,【例2-4】某人去世后，保险公司将支付现值为10万元的保险金，其3受益人经协商，决定按永续年金的方式领取该笔款项，A受益人领取前8年的年金，受益人B领取以后10年的年金，然后受益人C领取以后的所有年金。所有的年金领取都在年初。保险公司的预定利率为6.5%。计算A、B、C各自领取的保险金份额。,练习：一项等额永续年金由A、B、C、D分享。 A获得前n次付款， B获得第二个n次付款， C获得第三个n次付款，而D将获得此后所有付款。已知C所获款项的现值与D所获款项的现值之比为1。请计算B所获款项的现值
11、与D所获款项的现值之比为多少？（期末付款）,年金的非标准问题,前面介绍的各种计算都是关于整数期间的 ，而在实务中，经常碰到付款期长度为非整数的年金。 例如某人在工作中致残，按规定，以后若干时间内，每年给付伤残时年薪的90%,直至退休。该职工现在35.4岁，最多可工作至60岁，则未来给付的年数为24.6年 ， 遇到这种非整数的情况该怎么办？,假定整个付款期长度为n+k。前n期期末付款额为1，在n+k时刻，有一个对应于k期的年金式零头付款，即该零头付款额应符合年金的给付规律。按年金积累方式，n时刻的1元在n+k时刻的积累值为 ，因此零头付 款额为 。我们将这种年金的现值记为 ，则,年金的未知时间问
12、题,本节介绍未知付款期间数的年金求解问题。 若付款时间不是整数的话，有三种处理方式： nn+1期：（按上节内容的方式来处理）即规则的n期付款外加在nn+1期中间的一个零头付款。 上浮式付款：是按规则的付款期进行支付，在最后一次规则付款的额度上外加一个根据等价原则算出来的零头 扣减式付款：是按规则的付款期进行支付，在最后一期付款的下一期支付一个根据等价原则算出来的零头。 这三种方式最后零头一般不等。后两种实务中用的比较多,【例2-5】 某人借款5万元用于购买住房，并计划每年年末还款一万元，直到还完，若按利率7%计算，求该借款人还款的整数次n以及最后的还款零头。零头的还款时间分别为：与最后一次规则
13、还款时间相同，即在时刻n；在nn+1中间；与最后一次规则还款时间的下一期，即在时刻n+1。【例2-6】某人拟每年年末在银行存款1000元，以便在某年年末积累1万元存款，设年利率为4%，若需要零头存款则发生在最后一次规则存款时间的下一期，计算有规则的存款次数和零头存款额。,练习：现有10万元的投资，年利率为5%，每年底定期收回1万元，试问：这样的定期回报可以进行多少年？对不足1万元的（零头）最后一次回报部分，按一下三种方式计算回报金额： 方式1：零头与最后一次正常回报同时回收； 方式2：零头在最后一次正常回报的下一年底回收； 方式3：零头在最后一次正常回报的下一年的某个等价时间收回。,年金的未知
14、利率问题,本节介绍在已知付款期间数n，各期付款额以及年金现值或积累值情况下的利率求解问题。 如某人投资于企业的优先股，优先股规定了各期的分红数，则可通过公式算出该项投资的年利率。 贷款的分期偿还，在额度一定的条件下，计算贷款利率等类似问题,计算年金未知利率的方法,对于n较小的年金的未知利率问题，可直接用解方程的方法求利率值。 对于n较大的年金的未知利率问题，可以通过对已知的 或 等年金值以及倒数进行展开，再利用线性插值法求未知利率的有效数值解。 对于n较大的年金的未知利率问题，另一种方法就是迭代法。,迭代法,将年金形式转换为： 的形式，若 收敛且 ，可利用迭代法求 。先取一个认为较接近实际值的初值 ，利用 求出第二次迭代值 ，利用 求出下次迭的值 ， 如此进行下去，序列 收敛于 的实际值。 初值怎么找？,Newton-Raphson迭代法 求解利率,若已知年金现值 （k为常数）， 对于初值 的选取，由下面公式可得利率可通过下式计算：,Newton-Raphson迭代法 求解利率,若已知年金积累值 （k为常数）， 对于初值 的选取，由下面公式可得利率可通过下式计算：,【例2-8】假设年利率为i，某人存入银行8000元，每年年末从银行支取1000元，共支取十年，恰好支取完。计算i的值。,
