1、 1 玉山一 中2016 2017 学年第一 学期高三第二 次月考 理 科 数 学 时间：120 分钟 满分：100 分 一 、选择题 本大题共12 小 题，每小题 5 分，共 60 分 ，在每小题给出的四 个选 项中，只有一项是符 合题目要求的. 1设 集合 | 1 A x x ，集 合 2 Ba ，若AB ，则 实数 a 的取值 范围 是 （A） ( , 1 （B） ( ,1 （C） 1, ) （D）1, ) 2 已 知函 数y f x ( ) 1 定义域 是 2 3 ， ，则y f x ( ) 2 1 的定义 域 A 3 7 ， B 1 4 ， C 5 5 ， D 0 5 2 ， 3 “
2、 1 a ” 是 “函数 ( ) cos f x a x x 在 R 上单 调 递增 ” 的 A充 分不 必要 条件 B 必要 不充 分条 件 C充 分必 要条 件 D 既不 充分 也不 必要条 件 4. 下 列四 个图 中,函数 10ln 1 1 x y x 的图象可 能是 A B C D 5 若 幂函 数 a mx x f ) ( 的图像 经过 点 ) 2 1 , 4 1 ( A ，则它 在 点 A 处的 切线方 程是 A 0 2 y x B 0 2 y x C 0 1 4 4 y x D 0 1 4 4 y x 6函 数 3 ( ) ln( 1) f x x x 的一个 零点 所在 的
3、区间是 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 7已 知定 义在 R 上的偶 函数， fx 在 0 x 时， ( ) ln( 1) x f x e x ，若 1 f a f a ，则 a 的取 值范 围是 A ,1 B 1 ( , ) 2 C 1 ( ,1) 2D 1, 8 执 行如 图所 示的 程序 框 图 ，输出的 x 值为 A 4B5C6D7 a=2 ，x=3 输出 结束 否 是 开始 x ya 1 xx 10 3 yx x 2 9设 函数 2 6 6 0 () 3 3 0 x x x fx xx ，若 互不 相等 的实数 1 x ， 2 x ， 3 x
4、满足 1 2 3 ( ) ( ) ( ) f x f x f x ，则 1 2 3 x x x 的取值 范围是 A ( 4,6) B ( 2,6) C 4,6 D 46 ， 10 己知 () fx 是 定 义在 R 上 的增 函 数， 函数 ( 1) y f x 的 图 象关 于点(1 ，0) 对称 ，若 对任 意的 , x y R ， 不等式 22 ( 6 21) ( 8 ) 0 f x x f y y 恒成 立， 则当 3 x 时， 22 xy 的取值 范围 是 A (3,7) B (9,25) C (13,49 D (9,49) 11 设奇 函数 x f 在 1 , 1 上是增 函 数，
5、 且 1 1 f ，当 1 , 1 a 时， 1 2 2 at t x f 对 所有的 1 , 1 x 恒成 立， 则t 的取值 范围是 A22 t B 2 t 或 2 t C 2 t 或 2 t 或 0 t D 2 t 或 2 t 或 0 t 12 已 知函 数 ) (x f 满足 ) 1 ( 1 1 ) ( x f x f ，当 1 , 0 x 时 x x f ) ( ， 函数 m mx x f x g ) ( ) ( 在 1 , 1 ( 内有 2 个 零点 ，则 实数 m 的取值 范围 是 A 2 1 , 0 ( B 2 1 , 1 ( C ) , 2 1 D 2 1 , ( 二 、填空
6、题 （本大题 共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）. 13.若 函数 x x k k x f 2 1 2 在其 定义 域上 为 奇函数 ，则 实数 k 14. 已 知 命 题 p : 关于x的方程 2 20 x mx 在 0,1 x 有 解 ； 命 题 2 2 1 : ( ) log ( 2 ) 2 q f x x mx 在 1, ) x 单调 递增 ； 若 “ p ”为真 命题 ， “pq ” 是 真命 题，则 实数 m 的取 值范 围为 15. 已知函数 ) 0 ( ln ) ( a n x x a x f ，其中 2 0 (2sin cos ) 22 tt n dt 。 若 函数
7、) (x f 在 定 义 域内 有零点 ，则 实数 a 的取 值范 围为 . 16 对 于函数 sin , 0, 2 () 1 ( 2), (2, ) 2 xx fx f x x ，有下 列 4 个命题 ： 任取 12 0, xx 、 ，都 有 12 ( ) ( ) 2 f x f x 恒成立 ； ( ) 2 ( 2 ) f x kf x k * () k N ，对 于一 切 0, x 恒成立 ； 函数 ( ) ln( 1) y f x x 有 3 个零 点 ； 对任 意 0 x ，不等 式 2 () fx x 恒成立 3 则其中 所有 真命 题的 序号 是 三 、解答题 （本大题 共6 小题
8、，共 70 分，解答应写 出文字说明，证明过 程或 演算步骤 ） 17 （ 本小 题满 分 10 分） 已知集 合 27 3 3 | x x A ， 1 log | B 2 x x （1 ） 分别 求 B A ， R C B A ； （2 ） 已知 集合 a x x C 1 ，若 A C ，求 实 数 a 的取 值范 围 18 （ 本小 题满 分 12 分） 已知函 数 3 ( ) cos (sin 3 cos ) 2 f x x x x ， x R. （1）求 () fx 的最小 正周 期和 单 调递增 区间 ； （2）设 0 ，若函 数 ( ) ( ) g x f x 为奇函 数 ，求 的
9、最小 值. 19. （本 小题 满分12 分） 如图 ， 在 四棱 锥 P ABCD 中， 底 面 ABCD 是菱形 ， 且 60 DAB 点 E 是棱 PC 的中点 ，平 面 ABE 与棱 PD 交于点 F （1） 求证 ： AB EF ； （2）若 PA PD AD ，且平 面 PAD 平面 ABCD ， 求平面 PAF 与平 面 AFE 所 成的 锐二 面角的 余弦 值 F B D C P E A 4 20 （ 本小 题满 分 12 分） 已知函 数 ( ) ln 1( ) f x a x x a R . （1）求 () fx 的单调 区间 ； （2）若 ( ) 0 fx 在 (0, )
10、 上恒 成立 ，求 所 有实数 a 的值 ； 21 （ 本小 题满 分12 分） 已知椭 圆C: ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 的离心 率为 2 3 ，点 3 (1, ) 2 A 在椭 圆C 上. （1 ） 求椭 圆C 的方 程 ； （2 ） 设动 直线 l 与椭 圆 C 有 且仅有 一个 公共 点， 判断 是否存 在以 原点 O 为圆 心 的圆， 满足 此圆 与 l 相 交两点 1 P ， 2 P （ 两 点均 不 在坐 标 轴 上） ，且 使得 直 线 1 OP ， 2 OP的 斜 率之 积为 定值 ？ 若 存在， 求此圆 的方 程； 若不 存在 ，说明 理由.
11、22 （ 本小 题满 分 12 分） 已知函 数 2 ( ) 1 f x x ，函数 ( ) 2 ln g x t x ，其 中 1 t （1 ） 如果 函数 () fx 与 () gx 在 1 x 处的 切 线均为l ，求 切线l 的方 程及t 的值； （2 ） 如果 曲线 () y f x 与 () y g x 有且仅 有 一个公 共点 ，求t 的取 值范 围 5 玉山一 中 2016 2017 学 年 第一学 期高 三第 二次 月考 理科 数学 答案 一、选择 题（本大题 共12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
12、D A C C C B C D C D A 二、填空题 （本大题 共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）. 13. 1 14. 3 1, 4 15. 1 , 0 (16 三、解答题 （本大题 共6 小题，共 70 分，解答应写 出文字说明，证明过 程或 演算步骤 ） 17. （1 ） 3 3 27 x 即 13 3 3 3 x ，13 x ， 3 1 x x A ， 2 log 1 x ，即 22 log log 2 x ， 2 x 2 B x x ， |2 3 A B x x ； 2 R C B x x ， |3 R C B A x x （2 ） 由（1 ）知 3 1 x x A ，当
13、A C 当C 为 空集 时， 1 a 当C 为 非空 集合 时， 可得 3 1 a 综上所 述 3 a 18. （ ） 解： 3 ( ) cos (sin 3 cos ) 2 f x x x x 2 3 sin cos (2cos 1) 2 x x x 13 sin 2 cos2 22 xx sin(2 ) 3 x ， 所以 函数 () fx 的最 小正 周期 2 = 2 T . 由 2+ 2 3 2 22 x kk ， k Z ， 得 5 + 12 12 x kk ， 所以 函数 () fx 的单 调递 增区间 为 5 + 12 12 kk , ， k Z. （注 ：或 者写 成单 调 递增
14、区 间为 5 +) 12 12 (kk , ， k Z. ） （ ） 解： 由题 意， 得 ( ) ( ) sin(2 2 ) 3 g x f x x ， 因为函 数 () gx 为奇函 数， 且 x R ， 所以 (0) 0 g ，即 sin(2 ) 0 3 ， 所以 2 3 k ， k Z ， 解得 26 k ， k Z ，验证 知其 符合题 意. 又 因为 0 ， 所以 的最 小值 为 3 . 19.（ ） 证明 ：因 为底 面 ABCD 是菱形 ，所 以 AB CD 又因为 AB 面 PCD ， CD 面 PCD ，所以 AB 面 PCD 又因为 , , , A B E F 四点 共面
15、 ， 且 平面 ABEF 平面 PCD EF ， z y x G A E P C D B F 6 所以 AB EF （ ）取 AD 中点G ，连接 , PG GB 因 为 PA PD ，所 以 PG AD 又因为 平面 PAD 平面 ABCD ，且 平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 PG 平面 ABCD 所以 PG GB 在菱 形 ABCD 中，因 为 AB AD ， 60 DAB ，G 是 AD 中点， 所以 AD GB 如 图， 建立 空间 直角 坐标系G xyz 设 2 PA PD AD a ， 则 (0,0,0), ( ,0,0) G A a ， (0, 3 ,0), (
16、2 , 3 ,0), ( ,0,0), (0,0, 3 ) B a C a a D a P a 又因为 AB EF ，点 E 是棱 PC 中点， 所以点 F 是棱 PD 中点 所 以 33 ( , , ) 22 aa Ea ， 3 ( ,0, ) 22 aa F 所以 33 ( ,0, ) 22 aa AF ， 3 ( , ,0) 22 aa EF 设平面 AFE 的法 向量 为 ( , , ) x y z n ，则有 0, 0. AF EF n n 所以 3, 3 . 3 zx yx 令 3 x ，则 平面 AFE 的一 个法 向量 为 (3, 3,3 3) n 因为 BG 平面 PAD ，
17、所以 (0, 3 ,0) GB a 是平 面 PAF 的一个法 向量 因为 3 13 cos , 13 39 3 GB aa GB n n n ， 所以平面 PAF 与 平 面 AFE 所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 13 13 20 （ I ） ( ) 1 (x 0) a a x fx xx ， 当 0 a 时， ( ) 0 fx ， () fx 减区间 为 (0, ) 当 0 a 时， 由 ( ) 0 fx 得 0 xa ，由 ( ) 0 fx 得xa () fx 递增 区间 为 0, a ，递减 区间 为 , a （II ） 由（1） 知： 当 0 a 时， () fx
18、在 (0, ) 上为 减区 间， 而 (1) 0 f ( ) 0 fx 在区 间 (0, ) x 上不可 能恒 成立 ； 当 0 a 时， () fx 在 0, a 上 递 增 ， 在 , a 上 递 减 ， max ( ) ( ) ln 1 f x f a a a a ，令 ( ) ln 1 g a a a a ， 依 题 意 有 ( ) 0 ga ，而 ( ) ln g a a ，且 0 a () ga 在 0,1 上递减 ，在 1, 上递 增， min ( ) (1) 0 g a g ，故 1 a 21.（ ） 解：由题意，得 3 2 c a ， 2 2 2 a b c ， 又因为点 3
19、 (1, ) 2 A 在 椭圆C 上， 所以 22 13 1 4 ab ， 解得 2 a ， 1 b ， 3 c ， 所以 椭 圆C 的 方程 为 1 4 2 2 y x . （ ） 结 论 ： 存在符 合条 7 件的圆 ，且 此圆 的方 程为 22 5 xy . 证 明如 下： 假 设存 在符 合条 件的 圆 ，并设 此圆 的方 程为 2 2 2 ( 0) x y r r . 当直线 l 的斜 率存 在时 ，设 l 的方程 为 m kx y . 由 方程 组 2 2 , 1, 4 y kx m x y 得 0 4 4 8 ) 1 4 ( 2 2 2 m kmx x k ， 因 为直 线 l
20、与椭圆C 有 且仅有 一个 公共 点， 所以 2 2 2 1 (8 ) 4(4 1)(4 4) 0 km k m ，即 22 41 mk . 由 方程 组 2 2 2 , , y kx m x y r 得 2 2 2 2 ( 1) 2 0 k x kmx m r ， 则 2 2 2 2 2 (2 ) 4( 1)( ) 0 km k m r . 设 1 1 1 ( , ) P x y ， 2 2 2 ( , ) P x y ，则 12 2 2 1 km xx k ， 22 12 2 1 mr xx k ， 设 直线 1 OP ， 2 OP的斜率 分别为 1 k ， 2 k ， 所以 22 1 2
21、 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) y y kx m kx m k x x km x x m kk x x x x x x 22 22 2 2 2 22 22 22 2 2 11 1 m r km k km m m r k kk mr mr k ， 将 22 41 mk 代入 上式 ，得 22 1222 (4 ) 1 4 (1 ) rk kk kr . 要 使得 12 kk 为定 值， 则 2 2 41 41 r r ，即 2 5 r ，验证 符合 题意. 所 以当 圆的 方程 为 22 5 xy 时，圆 与 l 的交点 12 , PP 满足 12 k
22、k 为定 值 1 4 . 当 直线 l 的斜 率不 存 在时， 由题 意知 l 的方 程为 2 x ， 此 时， 圆 22 5 xy 与 l 的交 点 12 , PP 也满足 12 1 4 kk . 综上， 当圆 的方 程为 22 5 xy 时， 圆与 l 的交点 12 , PP 满足 斜率 之积 12 kk 为定值 1 4 . 22. （ ） 解： 求导 ，得 ( ) 2 f x x ， 2 () t gx x ， ( 0) x 由题 意， 得切 线 l 的 斜率 (1) (1) k f g ，即 22 kt ，解 得 1 t 又切 点坐 标为 (1,0) ，所 以切 线l 的 方程 为 2
23、 2 0 xy （ ） 解： 设函 数 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ln h x f x g x x t x ， (0, ) x “ 曲线 () y f x 与 () y g x 有且仅 有一个 公共 点 ” 等价 于 “ 函数 () y h x 有且仅 有一 个零 点 ” 求导 ，得 2 2 2 2 ( ) 2 t x t h x x xx . 当 0 t 时， 由 (0, ) x ，得 ( ) 0 hx ，所以 () hx 在 (0, ) 单调 递增 又因 为 (1) 0 h ，所以 () y h x 有且仅 有一 个零 点1 ，符合 题意 当 1 t 时， 当 x 变化时 ， (
24、) hx 与 () hx 的 变化情 况如 下表 所示 ： 8 x (0,1) 1 (1, ) () hx 0 () hx 所以 () hx 在 (0,1) 上单 调递 减 ，在 (1, ) 上单调 递增 ， 所以当 1 x 时， min ( ) (1) 0 h x h ， 故 () y h x 有且 仅有 一个 零点1 ，符 合题意 当01 t 时， 令 ( ) 0 hx ，解 得xt 当 x 变化 时， () hx 与 () hx 的变 化情况 如下 表所 示： x (0, ) t t ( , ) t () hx 0 () hx 所以 () hx 在 (0, ) t 上单 调递 减， 在
25、( , ) t 上单调递 增， 所以当xt 时， min ( ) ( ) h x h t 因为 (1) 0 h ， 1 t ，且 () hx 在 ( , ) t 上单 调 递增 ， 所以 ( ) (1) 0 h t h . 又因 为存 在 1 2 e (0,1) t ， 1 1 1 1 22 ( ) 1 2 ln 0 t t t t ht e e e e ， 所以存 在 0 (0,1) x 使得 0 ( ) 0 hx ， 所以函 数 () y h x 存在两 个零 点 0 x ，1 ，与题 意不 符. 综上 ，曲 线 () y f x 与 () y g x 有且 仅有一 个公 共点 时， t 的范 围是 0 | tt ，或 1 t .
