1、第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似一、选择题1如图，点 P 是ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角形有( D )A0 对 B1 对 C2 对 D3 对(第 1 题图)(第 2 题图)2如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中不能判断ABCAED 的是 ( D )A AEDB BADECC. D. ADAE ACAB ADAB AEAC3已知矩形 ABCD 中，AB 1，在 BC 上取一点 E ，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点 ，若四边形 EFDC 与矩形 ABC
2、D 相似，则 AD( B )A. B. C. D25 12 5 12 3(第 3 题图)(第 4 题图)4如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DEEC31，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面 积之比为( B )A3 4 B916 C91 D315如图，ABC 中， A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C ),A) ,B),C) ,D)6如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，点 E 是 AB 上一点，且 DECE.若AD1，BC 2，CD 3，则 CE 与 DE 的数量关系正
3、确的是( B )ACE DE BCE DE3 2CCE3DE DCE2DE(第 6 题图)(第 7 题图)7如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF 2AF；DFDC；tanCAD .其中正确的 结论有( B )2A4 个 B3 个 C2 个 D1 个8如图，点 D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DEAC，AE，CD 相交于点 O，若 SDOESCOA125，则 SBDE 与 SCDE的比是( B )A1 3 B14C15 D125二、填空题9“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门
4、一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术，意思是说：如图，矩形 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙AD 长 7 里，东门点 E、南门 点 F 分别是 AB，AD 的中点 ，EGAB，FEAD ，EG 15 里，HG 经过 A 点，则 FH_1.05_里(第 9 题图)(第 10 题图)10如图，正方形 ABCD 边长为 3，连接 AC，AE 平分CAD，交 BC 的延长线于点E，FA AE，交 CB 延长线于点 F，则 EF 的长为_6 _211设ABC 的面积为 1，如图，将边 BC，AC 分别 2 等分，BE 1，AD 1 相交于点 O，AOB 的面 积记为
5、S1；如图将边 BC，AC 分别 3 等分，BE 1，AD 1 相交于点 O，AOB 的面积记为 S2；，依此 类推，则 Sn 可表示为_ _(用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数)12n 1三、解答题12如图，在ABC 中，ABAC，点 P，D 分别是 BC，AC 边上的点，且APD B.(1)求证：ACCDCPBP；(2)若 AB10， BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长解：(1)AB AC，BC.APD B，APDBC.APC BAPB ， APCAPD DPC ，BAPDPC，ABPPCD， ，BPCD ABCPABCD CPBP.ABAC ，AC CDCPBP ；(2)
6、PDAB，APDBAP.APD C，BAP C.BB ，BAPBCA， .BABC BPBAAB10，BC12， ，BP .1012 BP10 25313已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，对角线 AC，BD 相交于点 F，点 E 是边 BC 延长线上一点，且CDEABD.(1)求证：四边形 ACED 是平行四 边形；(2)连接 AE，交 BD 于点 G，求证： .DGGB DFDB证明：(1)梯形 ABCD，ADBC，ABCD，BADCDA.在BAD 和CDA 中， AD DA， BAD CDA，AB DC， )BADCDA(SAS)，ABD ACD.CDEABD，ACDCD
7、E，ACDE.ADCE，四边形 ACED 是平行四边形；(2)ADBC， ， ，ADBE DGGB BCAD BFDF .BC ADAD BF DFDF平行四边形 ACED，ADCE ， ， ， ，BC CEAD BF DFDF BEAD BDDF ADBE DFBD .DGGB DFDB14如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADC ACB90，点 E 为 AB 的中点(1)求证：AC 2 ABAD；(2)求证：CEAD ；(3)若 AD4，AB 6，求 的值ACAF解：(1)AC 平分 DAB，DACCAB.ADCACB90，ADC ACB ，ADACACAB ，AC 2ABAD
8、；(2)点 E 为 AB 的中点，CE ABAE，EACECA.12DACCAB，DACECA，CEAD；(3)CEAD，AFD CFE，AD CEAFCF.CE AB，CE 63.12 12AD4， ， .43 AFCF ACAF 7415在ABC 中，CAB90 ，ADBC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上(1)如图，ACAB12，EF CB，求证：EFCD；(2)如图，ACAB1 ，EF CE，求 EFEG 的值3解：(1)在ABC 中，CAB90，ADBC 于点 D，CADB90ACB.ACAB 12，AB 2AC ，点 E 为 AB
9、 的中点，AB2BE ，ACBE.在ACD 与BEF 中， CAD B， ADC BFE 90，AC BE， )ACDBEF ，CDEF，即 EFCD；(2)作 EHAD 于点 H，EQBC 于点 Q.EHAD ，EQ BC ，AD BC，四边形 EQDH 是矩形，QEH90，FEQGEH90 QEG.又EQFEHG90，EFQEGH，EFEGEQ EH.ACAB 1 ，CAB90，B30.3在BEQ 中，BQE90，sinB ，EQ BE.EQBE 12 12在AEH 中， AHE 90 ，AEHB30，cosAEH ，EH AE.EHAE 32 32又点 E 为 AB 的中点，BE AE，
10、EFEGEQEH BE AE1 .12 32 316如图，在ABC 中，已知 ABAC5，BC6，且 ABCDEF，将DEF 与ABC重合在一起，ABC 不动， DEF 运动，并满足：点 E 在 边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点(1)求证：ABEECM ；(2)探究：在DEF 运动过程中 ，重叠部分能否构成等腰三角形 ，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积解：(1)AB AC，BC，又ABCDEF ，AEF B，又AEFCEMAEC B BAE，CEMBAE，ABE ECM ；(2
11、)能构成等腰三角形理由如下：AEFBC ，且 AMEC ，AME AEF ，AEAM.当 AEEM 时，则ABE ECM，CEAB5，BEBCEC1.当 AMEM 时，MAEMEA ，MAEBAEMEACEM，即CABCEA.又CC，CAECBA， ，CE .CEAC ACCB AC2CB 256BE6 ；256 116(3)设 BEx，又ABEECM ， ， ，CMBE CEAB CMx 6 x5CM x2 x (x3) 2 .15 65 15 95AM5CM5 15（x 3）2 95 (x3) 2 ，15 165当 x3 时，AM 最短为 .165又BEx3 BC ，12点 E 为 BC 的中点 ，AEBC，AE 4，AB2 BE2此时，EFAC，EM ，CE2 CM2125S AEM .12 165 125 9625
