1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一公理的应用 1.证明共面问题证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,则这个点必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用如图,在空间四边形ABCD中
2、,E,F分别为AB,AD的中点,点G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,证明:(1)因为BGGC=DHHC,所以GHBD.因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,所以EFGH.故E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EFGH,且EFGH,故EFHG为梯形.所以EG与FH必相交,设交点为M.因为EG平面ABC,FH平面ACD,所以M平面ABC,且M平面ACD.因为平面ABC平面ACD=AC,所以MAC,即EG与HF的交点在直线AC上
3、.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题二空间中点、线、面的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系有三种:平行、相交、异面.2.空间中直线与平面的位置关系:,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用1已知a平面,b平面,=c,则直线a与直线b的位置关系是.答案:平行、相交、异面,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用2已知直线a与b不平行,且a平面,b平面,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.解:平面与平面一定相交,下面用反证法证明:假设平面与不相交,则.因为a,所以a,又b,所以ab,这和a与b不平行矛盾.所以假设不成立,故平面与平面一定相交.,专题一,专题二,专题
4、三,专题四,专题五,专题三平行问题1.平行线的传递性公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.2.直线与平面平行的判定与性质:(1)判定:,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,ABCD,ADDC,CD=2,DD1=AB=1,P,Q分别是CC1,C1D1的中点.求证:AC平面BPQ.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,证明:连接CD1,AD1,因为P,Q分别是CC1,C1D1的中点,所以PQCD1,且CD1平面BPQ,PQ平
5、面BPQ,所以CD1平面BPQ.又D1Q=AB=1,D1QAB,所以四边形ABQD1是平行四边形.所以AD1BQ,且AD1平面BPQ,BQ平面BPQ,所以AD1平面BPQ.又AD1CD1=D1,所以平面ACD1平面BPQ.因为AC平面ACD1,所以AC平面BPQ.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题四垂直问题1.如果两条异面直线所成的角为直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的判定与性质:(1)判定:,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(3)掌握线面垂直的判定方法,特别是线面垂直的判定定理,在无条件的情况下,要创造条件(即作垂线)把线面关系转化为线线关系.3.
6、平面与平面垂直的判定和性质:(1)判定:,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证:(1)EFCD;(2)平面SCD平面SCE.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,因为SA平面ABCD,所以SACD.又因为CDAD,SAAD=A,所以CD平面SAD,所以CDAG,故EFCD.(2)因为SA=AB,AB=AD,G为SD的中点,所以AGSD.又由(1)知AGCD,且CDSD=D,所以AG平面SCD.因为EFAG,所以EF平面S
7、CD.因为EF平面SEC,所以平面SCD平面SCE.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题五空间角空间角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成的空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分,学习时要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.求异面直线所成的角常用平移法(转化为两条相交直线的夹角).求直线与平面所成的角常需先作出这个线面角,再在三角形中求解.求二面角常需先作出二面角的平面角.作平面角的常用方法有三种:定义法、垂线法、垂面法.总之,求空间角的大小一般都转化为平面角来计算.其计算步骤为:一
8、作二证三计算.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)求证:平面PDC平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC,且ADBC.故PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为ADPD,在RtPDA中,(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD.又因为ADPD,CDPD=D,所以AD平面PDC.而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.,专题一,专题二,专
9、题三,专题四,专题五,(3)解:在平面PDC内,过点P作PECD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,1,2,3,4,5,1(2015浙江高考)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm解析:若l,又l,由面面垂直的判定定理,得,故选项A正确;选项B,lm或lm或l与m相交或异面都有可能;选项C,或与相交都有可能;选项D,lm或l与m异面都有可能.答案:A,
10、1,2,3,4,5,2(2015课标全国高考)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.,1,2,3,4,5,解:(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB,所以平面MOC平面VAB.,1,2,3,4,5,1,2,
11、3,4,5,4(2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.,1,2,3,4,5,(1)解:点F,G,H的位置如图所示.(2)解:平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面B
12、EG平面ACH.,1,2,3,4,5,(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,EGFH=O,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.,1,2,3,4,5,5(2015山东高考)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.,1,2,3,4,5,(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE
13、,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.,1,2,3,4,5,证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.,1,2,3,4,5,(2)证明:连接HE,GE,DC.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.,
