1、第四章 4.2 4.2.2 一、选择题1圆 C1：x 2 y24x8y 50 与圆 C2：x 2y 24x4y10 的位置关系为( )A相交 B外切C内切 D外离答案 C解析 由已知，得 C1(2，4)，r 15，C 2(2，2)，r 23，则d| C1C2|2，d|r 1r 2|.两圆内切2已知圆 C1：(x1) 2(y 3) 225，圆 C2 与圆 C1 关于点 (2,1)对称，则圆 C2 的方程是( )A(x 3)2(y5) 225 B(x5) 2(y1) 225C(x1) 2( y4) 225 D( x3) 2(y2) 225答案 B解析 设C 2 上任一点 P(x，y) ，它关于(2
2、,1)的对称点(4x,2y)在C 1 上，(x 5)2( y 1)225.3若圆(xa) 2(y b) 2b 21 始终平分圆(x1) 2(y 1)24 的周长，则 a、b 应满足的关系式是( )Aa 22a2b30 Ba 22a2b50Ca 22b 22a2b10 D3a 22b 22a2b10答案 B解析 利用公共弦始终经过圆(x1) 2( y1) 24 的圆心即可求得两圆的公共弦所在直线方程为：(2a2)x (2b2)ya 210，它过圆心 (1，1)，代入得a22a2b50.4两圆 x2y 216 与(x 4) 2(y3) 2r 2(r0)在交点处的切线互相垂直，则 r( )A5 B4
3、C3 D2 2答案 C解析 设一个交点 P(x0，y 0)，则 x y 16，(x 04) 2 (y03)20 202r 2， r 241 8x 06y 0，两切线互相垂直， 1，3y 04x 016.y0x0y0 3x0 4r 2412(3y 04x 0)9，r3.5若集合 A( x，y )|x2y 216|，B(x，y)|x 2(y2) 2a1，且 ABB，则 a的取值范围是( )Aa1 Ba5C1a5 Da5答案 D解析 AB B 等价于 BA.当 a1 时，集合 A 和 B 分别代表圆 x2y 216 和圆x2( y 2)2 a1 上及内部的点，容易得出当 B 对应的圆的半径长小于等于
4、 2 时符合题意由 0r1r 25. 两圆外离45|PQ |min|C 1C2|r 1r 23 323 5.5 5三、解答题10(2013新课标全国)已知圆 M：(x1) 2y 21.圆 N：(x1) 2y 2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C 求 C 的方程分析 根据动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切得|PM| PN|(Rr 1)( r2R)4，再根据两点间距离公式求得 C 的方程解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径长 r11，圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径长 r23.设动圆 P 的圆心为 P(x，y )，半径长为 R，圆
5、 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，|PM | |PN|(Rr 1)(r 2R) r 1r 24.由两点间距离公式得 4，即 4x 12 y2 x 12 y2 x 1 2 y2，两边平方化简得 C 的方程为 1(x 2) x 12 y2x24 x2311求以圆 C1：x 2y 212x2y130 和圆 C2：x 2y 212x16y250 的公共弦为直径的圆 C 的方程解析 方法 1：联立两圆方程Error!相减得公共弦所在直线方程为 4x3y20.再由Error!联立得两圆交点坐标(1,2)，(5，6) 所求圆以公共弦为直径，圆心 C 是公共弦的中点(2，2)，半径为5.125 12 6
6、 22圆 C 的方程为(x2) 2(y 2) 225.方法 2：由方法 1 可知公共弦所在直线方程为 4x3y20.设所求圆的方程为x2y 212x2 y13 (x2y 212x 16y25) 0( 为参数) 可求得圆心 C( ， )12 1221 16 221 圆心 C 在公共弦所在直线上，4 3 20， 12 1221 16 221 解得 .12圆 C 的方程为 x2y 24x4y170.12在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：( x3) 2(y 1)24 和圆 C2：(x4)2( y 5)24(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方
7、程；3(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标解析 (1)由于直线 x4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为yk( x 4)，圆 C1 的圆心 C1(3,1)到直线 l 的距离为 d ，|1 k 3 4|1 k2因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 ，34( )2d 2，k(24k 7)0，3即 k0 或 k ，724所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24y
8、280(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 ybk(xa) ，k0，则直线 l2 的方程为 yb (xa)，因为 C1 和 C2 的半径相等，及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线1kl2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即 |1 k 3 a b|1 k2|5 1k4 a b|1 1k2整理得：|13 kakb| |5k4abk|，13kakb5k 4a bk或 13kakb5k 4 abk，即(ab2) kba3 或(ab8)kab5.因为 k 的取值有无穷多个，所以Error!，或Error!，解得Error!或Error!这样点 P 只可能是点 P1 或点 P2 .(52， 12) ( 32，132)经检验点 P1 和 P2 满足题目条件
