1、专题 13 操作性问题一、选择题1.（2017 浙江衢州第 7 题）下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）A B C D【答案】C.考点：基本作图.2. （2017 湖北武汉第 10 题）如图，在 中， ，以 的一边为边画等腰三角形，RtABC90ABC使得它的第三个顶点在 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）ABCA4 B5 C 6 D7【答案】C【解析】试题解析：以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，BCD 就是等腰三角形；以 A
2、为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，ACE 就是等腰三角形；以 C 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AC 于点 F，BCF 就是等腰三角形；作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 H，ACH 就是等腰三角形；作 AB 的垂直平分线交 AC 于 G，则AGB 是等腰三角形；作 BC 的垂直平分线交 AB 于 I，则BCI 是等腰三角形故选 C.考点：画等腰三角形.3.（2017 甘肃兰州第 13 题）如图，小明为了测量一凉亭的高度 (顶端 到水平地面 的距离)，在凉ABBD亭的旁边放置一个与凉亭台阶 等高的台阶 ( 米， 三点共线)，把一面镜子水平BCDE0.5C=,C放置在平台上的点
3、 处，测得 米，然后沿直线 后退到点 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的G15=GE顶端 ，测得 米，小明身高 米，则凉亭的高度 约为( )A3C=.6FABA. 米 B. 米 C. 米 D.10 米8.599.5【答案】A.【解析】试题解析：由题意AGC=FGE，ACG=FEG=90，ACGFEG， ACGEFD 15.3AC=8，AB=AC+BC=8+0.5=8.5 米故选 A点：相似三角形的应用4.（2017 浙江嘉兴第 9 题）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，ABCD32AD则线段 长为（ ）DGA B C D 2212【答案】A考点：矩形的性质.二、填空题1. （2
4、017 浙江衢州第 14 题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙） ，则拼成的长方形的另一边长是 【答案】a+6考点：图形的拼接.2. （2017 浙江衢州第 16 题）如图，正ABO 的边长为 2，O 为坐标原点，A 在 x轴上，B 在第二象限。ABO 沿 x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得A 1B1O，则翻滚 3 次后点 B 的对应点的坐标是_；翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为_【答案】 （5， ） ； .3146（ +89） 【解析】试题解析：如图，作 B3Ex 轴于 E
5、，易知 OE=5，B 3E= ，B 3（5， ） ，观察图象可知三次一个循环，一个循环点 M 的运动路径为：，120120123+4+=88020173=6721，翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为：672（ 23+41346=（ +89）考点：点的坐标.3.（2017 贵州黔东南州第 16 题）把多块大小不同的 30直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（0，1） ，ABO=30；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的
6、斜边 BB1垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三角板的斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2C 垂直且交 y 轴于点 B3；按此规律继续下去，则点 B2017的坐标为 【答案】 （0， ）2017(3)【解析】试题解析：由题意可得，OB=OAtan60=1 = ，3OB1=OBtan60= ，2()3OB2=OB1tan60=（ ） 3，20174=5061，点 B2017的坐标为（0， ） ，2017(3)考点：点的坐标4.（2017 山东烟台第 15 题）运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否 18”为一次程序操作，若输入 x后程序操作仅进行了一次就停止，则 x的取值范围是
7、 .【答案】x8【解析】试题解析：依题意得：3x618，解得 x8考点：一元一次不等式的应用5. （2017 山东烟台第 18 题）如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB.已知 6OA，取 的中点 C，过点 作 OAD交弧 B于点 D，点 F是弧 B上一点，若将扇形BD沿 翻折，点 B恰好与点 F重合.用剪刀沿着线段 A,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36108【解析】试题解析：如图，CDOA，DCO=AOB=90，OA=OD=OB=6，OC= OA= OD，12ODC=BOD=30，作 DEOB 于点 E，则 DE= OD=
8、3，12S 弓形 BD=S 扇形 BODS BOD = 63=39，23061则剪下的纸片面积之和为 12（39）=36108考点：扇形面积的计算6.（2017 江苏徐州第 18 题）如图，已知 1OB，以 为直角边作等腰直角三角形 1ABO.再以 1为直角边作等腰直角三角形 21A，如此下去，则线段 nA的长度为 【答案】 2n【解析】试题解析：OBA 1为等腰直角三角形，OB=1，AA 1=OA=1，OA 1= OB= ；2OA 1A2为等腰直角三角形，A 1A2=OA1= ，OA 2= OA1=2；OA 2A3为等腰直角三角形，A 2A3=OA2=2，OA 3= OA2=2 ；OA 3A
9、4为等腰直角三角形，A 3A4=OA3=2 ，OA 4= OA3=42OA 4A5为等腰直角三角形，A 4A5=OA4=4，OA 5= OA4=4 ，2OA 5A6为等腰直角三角形，A 5A6=OA5=4 ，OA 6= OA5=82OA n的长度为 n考点：等腰直角三角形7.（2017 浙江嘉兴第 15 题）如图，把 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 ，n 1tanBAC， ，计算 ，按此规律，写出 21tan3BAC31tan7BA4taBACtn（用含 的代数式表示） 【答案】 ， .1321n【解析】试题解析：作 CHBA 4于 H，由勾股定理得，BA 4= ，A 4C= ，271
10、10BA 4C 的面积=4-2- = ，3 CH= ，127解得，CH= ，17则 A4H= = ，23CHtanBA 4C= = ，11=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，tanBA nC= .21考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质三、解答题1.（2017 浙江衢州第 23 题）问题背景如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作DAE=ABF=BCG=CDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH 是正方形。类比研究如图 2，在正ABC 的内部，作BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF 两两相交于 D，E，F 三点（D
11、，E，F 三点不重合） 。（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设 aBD， bA， cB，请探索 a，b， c满足的等量关系。【答案】 （1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c 2=a2+ab+b2【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得CAB=ABC=BCA=60,AB=BC，证出ABD=BCE，由 ASA 证明ABDBCE 即可；、（2）由全等三角形的性质得出ADB=BEC=CFA,证出FDE=DEF=EFD,即可得出结论；（3）作 AGBD
12、 于 G，由正三角形的性质得出ADG60，在 RtADG 中，DG= 12b,AG= 3b, 在RtABG 中，由勾股定理即可得出结论.试题解析： （1）ABDBCECAF；理由如下：ABC 是正三角形，CAB=ABC=BCA=60，AB=BC，ABD=ABC2，BCE=ACB3，2=3，ABD=BCE，在ABD 和BCE 中，1=2ABCDE，ABDBCE（ASA） ；（2）DEF 是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADB=BEC=CFA，FDE=DEF=EFD，DEF 是正三角形；（3）作 AGBD 于 G，如图所示：DEF 是正三角形，ADG=60，在 RtADG 中，DG= 1
13、2b，AG= 3b，在 RtABG 中，c 2=（a+ b） 2+（ b） 2，c 2=a2+ab+b2考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.2.（2017 浙江宁波第 20 题）在 的方格纸中， 的三个顶点都在格点上. 4ABC(1)在图 1 中画出与 成轴对称且与 有公共边的格点三角形(画出一个即可)；ABC (2)将图 2 中的 绕着点 按顺时针方向旋转 ，画出经旋转后的三角形. 90【答案】 （1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：根据题意画出图形即可.试题解析：（1）如图所示：或（2）如图所示：考点：1.轴对称图形；2.旋转.3.（2017 甘肃庆阳第 21
14、题）如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析考点：作图复杂作图；三角形中位线定理4.（2017 广西贵港第 20 题）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段 和 ，点 在 上（如图所示）.aAOBM（1）在 边上作点 ，使 ；OAP2Oa（2）作 的平分线；B（3）过点 作 的垂线.M【答案】作图见解析.试题解析：（1）点 P 为所求作；（2）OC 为所求作；（3）MD 为所求作；考点：作图复杂作图5.（2017 江苏无锡第 24 题）如图，已知等边ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保
15、留作图痕迹）：（1）作ABC 的外心 O；（2）设 D 是 AB 边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点 F，点 H 分别在边 BC 和 AC 上【答案】 （1）作图见解析；（2）作图见解析.试题解析：（1）如图所示：点 O 即为所求（2）如图所示：六边形 DEFGHI 即为所求正六边形考点：1.作图复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心6. （2017 江苏无锡第 25 题）操作：“如图 1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外） ，过点 P 作PCx 轴于点 C，点 C 绕点 P 逆时针旋转 60得到点 Q ”我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为
16、点的 T 变换（1）点 P（a，b）经过 T 变换后得到的点 Q 的坐标为 ；若点 M 经过 T 变换后得到点 N（6， 3） ，则点 M 的坐标为 （2）A 是函数 y= 32x 图象上异于原点 O 的任意一点，经过 T 变换后得到点 B求经过点 O，点 B 的直线的函数表达式；如图 2，直线 AB 交 y 轴于点 D，求OAB 的面积与OAD 的面积之比【答案】 （1）Q（a+ b， b） ；M（9，2 ） ；(2)y= x；3123374【解析】试题解析：（1）如图 1，连接 CQ，过 Q 作 QDPC 于点 D，由旋转的性质可得 PC=PQ，且CPQ=60，PCQ 为等边三角形，P（a
17、，b） ，OC=a，PC=b，CD= PC= b，DQ= PQ= b，1232Q（a+ b， b） ；设 M（x，y） ，则 N 点坐标为（x+ y， y） ，321N（6， ） ，3 ，解得 ，+=213xy923xM（9，2 ） ；（2）A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点，2可取 A（2， ） ，32+ = ， = ，7132B（ ， ） ，23设直线 OB 的函数表达式为 y=kx，则 k= ，解得 k= ，7237直线 OB 的函数表达式为 y= x；设直线 AB 解析式为 y=kx+b，把 A、B 坐标代入可得 ，解得 ，2+=37kb35kb直线 AB 解析式为
18、y= x+ ，35D（0， ） ，且 A（2， ） ，B（ ， ） ，53723AB= ，AD= ，2273（ -） +（ -） =22534+（ -） = OABDS=43考点：一次函数综合题7.（2017 江苏盐城第 24 题）如图，ABC 是一块直角三角板，且C=90，A=30，现将圆心为点 O的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长【答案】（1）作图
19、见解析；（2）15+ 3【解析】试题分析：（1）作ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心 O，作射线 CO 即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心 O 的运动路径长为 C OO1O2，先求出ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形 OEDO1、四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF 均为矩形、四边形 OECF 为正方形，得出OO 1O2=60=ABC、O 1OO2=90，从而知OO 1O2CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案试题解析：（1）如图所示，射线 OC 即为所求；（2）如图，圆心 O 的运动路径长为 C OO1O2，过点 O1作 O1DBC、O 1FAC、O 1G
20、AB，垂足分别为点 D、F、G，过点 O 作 OEBC，垂足为点 E，连接 O2B，过点 O2作 O2HAB，O 2IAC，垂足分别为点 H、I，在 RtABC 中，ACB=90、A=30，AC= ，AB=2BC=18，ABC=60，9=330BCtanC ABC =9+9 +18=27+9 ，O 1DBC、O 1GAB，D、G 为切点，BD=BG，在 RtO 1BD 和 RtO 1BG 中， ，1BD GOO 1BDO 1BG（HL），O 1BG=O 1BD=30，在 RtO 1BD 中，O 1DB=90，O 1BD=30，BD= ，2330ODtanOO 1=9-2-2 =7-2 ，O 1
21、D=OE=2，O 1DBC，OEBC，O 1DOE，且 O1D=OE，四边形 OEDO1为平行四边形，OED=90，四边形 OEDO1为矩形，同理四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF、四边形 OECF 为矩形，又 OE=OF，四边形 OECF 为正方形，O 1GH=CDO 1=90，ABC=60，GO 1D=120，又FO 1D=O 2O1G=90，OO 1O2=360-90-90=60=ABC，同理，O 1OO2=90，OO 1O2CBA， ，即 ，ABC12739OA C OO1O2=15+ ，即圆心 O 运动的路径长为 15+ 3考点：切线的性质；作图复杂作图8.（2017 江苏盐城
22、第 26 题） 【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=60，小明想从中剪出一个以B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个
23、面积最大的矩形（B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且 tanB=tanC= 43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积【答案】【探索发现】 ;【拓展应用】 ;【灵活应用】720; 【实际应用】1944cm 212ah4【解析】试题分析：【探索发现】：由中位线知 EF= BC、ED= AB、由 可得；1212矩 形 FEDBACS【拓展应用】：由APNABC 知 ，可得 PN=a- PQ，设 PQ=x，由 S 矩形 P
24、QMN=PQPN- （x-PNAEBCDahah） 2+ ，据此可得；ha4【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由矩形性质知 AE=EH20、CD=DH=16，分别证AEFHED、CDGHDE 得 AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，由 tanB=tanC 知 EB=EC、BH=CH=54，EH=43BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，利
25、用【拓展应用】结论解答可得试题解析：【探索发现】EF、ED 为ABC 中位线，EDAB，EFBC，EF= BC，ED= AB，12又B=90，四边形 FEDB 是矩形，则112=2矩 形 FEDBACBCAS【拓展应用】PNBC，APNABC， ，即 ，PNAEBCDhPQaPN=a- PQ，h设 PQ=x，则 S 矩形 PQMN=PQPN=x（a- x）=- x2+ax=- （x- ） 2+ ，ahah4当 PQ= 时，S 矩形 PQMN最大值为 ，h24【灵活应用】如图 1，延长 BA、DE 交于点 F，延长 BC、ED 交于点 G，延长 AE、CD 交于点 H，取 BF 中点 I，FG
26、的中点K，由题意知四边形 ABCH 是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF 和HED 中， ，FAE DH AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI= =24，2ABFBI=2432，中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，过点 K 作 KLBC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 BGBF= （40+20）（32+16）=720，12答：该矩形的面积为 720；【实际应用】如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，tanB=ta
27、nC= ，43B=C，EB=EC，BC=108cm，且 EHBC，BH=CH= BC=54cm，12tanB= ，43EHBEH= BH= 54=72cm，在 RtBHE 中，BE= =90cm，2EHBAB=50cm，AE=40cm，BE 的中点 Q 在线段 AB 上，CD=60cm，ED=30cm，CE 的中点 P 在线段 CD 上，中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为 BCEH=1944cm2，14答：该矩形的面积为 1944cm2考点：四边形综合题9.（2017 甘肃兰州第 22 题）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一
28、点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线 和 外一点lP求作：直线 的垂线，使它经过点 .l P做法：如图：(1)在直线 上任取两点 、 ；lAB(2)分别以点 、 为圆心， ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ；AB Q(3)作直线 .PQ参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是 .(3)已知：直线 和 外一点 ，lP求作： ，使它与直线 相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)Pl【答案】 （1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂
29、直平分线的性质，切线的性质，可得答案试题解析：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，（2）如图考点：作图复杂作图；切线的判定10.（2017 山东烟台第 23 题） 【操作发现】（1）如图 1， ABC为等边三角形，先将三角板中的 06角与 ACB重合，再将三角板绕点 C按顺时针方向旋转（旋转角大于 0且小于 03）.旋转后三角板的一直角边与 交于点 D.在三角板斜边上取一点F，使 D，线段 上取点 E，使 03DC，连接 F， E.求 EA的度数； 与 相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图 2， BC为等腰直角三角形， 09ACB，先将三角板的 09角
30、与 ACB重合，再将三角板绕点 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0且小于 45）.旋转后三角板的一直角边与 交于点 D.在三角板另一直角边上取一点 F，使 D，线段 上取点 E，使 045D，连接 F， E.请直接写出探究结果： EAF的度数；线段 DB,之间的数量关系.【答案】(1)120；DE=EF；理由见解析；（2）90；AE 2+DB2=DE2理由见解析.【解析】试题解析：（1）ABC 是等边三角形，AC=BC，BAC=B=60，DCF=60，ACF=BCD，在ACF 和BCD 中，ACBFDACFBCD（SAS） ，CAF=B=60，EAF=BAC+CAF=120；DE=EF；理由如下
31、：DCF=60，DCE=30，FCE=6030=30，DCE=FCE，在DCE 和FCE 中，CDFEDCEFCE（SAS） ，DE=EF；（2）ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，BAC=B=45，DCF=90，ACF=BCD，在ACF 和BCD 中，ACBFDACFBCD（SAS） ，CAF=B=45，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90；AE 2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90，DCE=45，FCE=9045=45，DCE=FCE，在DCE 和FCE 中，CDFEDCEFCE（SAS） ，DE=EF，在 RtAEF 中，AE 2+AF2=EF2，又AF=DB，
32、AE 2+DB2=DE2考点：几何变换综合题11.（2017 四川自贡第 18 题）如图，13 个边长为 1 的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中（网格的边长为 1）中，用直尺作出这个大正方形【答案】作图见解析.【解析】试题解析：如图所示：所画正方形即为所求考点：作图应用与设计.12. （2017 四川自贡第 22 题）两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A，B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相等，且在DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P （不要求写作法，保留
33、作图痕迹 ）【答案】作图见解析【解析】试题分析：根据角平分线的性质可知：到 CD 和 CE 的距离相等的点在DCE 的角平分线上，所以第一步作：ECD 的平分线 CF；根据中垂线的性质可得：到 A、B 的距离相等的点在 AB 的垂直平分线上，所以第二步作线段 AB 的垂直平分线 MN，其交点就是 P 点.试题解析：作法：作ECD 的平分线 CF，作线段 AB 的中垂线 MN，MN 与 CF 交于点 P，则 P 就是山庄的位置考点：作图设计13.（2017 江苏徐州第 27 题）如图，将边长为 6的正三角形纸片 ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕 ,ADBE（如图） ，点 O为其交点.（1）探求 与 的数量关系，并说明理由；（2）如图，若 ,PN分别为 ,BEC上的动点.当 的长度取得最小值时，求 P的长度；如图，若点 Q在线段 O上， 1Q，则 NPD的最小值= .【答案】 （1）AO=2OD，理由见解析；（2） ； .310【解析】试题解析：（1）AO=2OD，理由：ABC 是等边三角形，BAO=ABO=OBD=30，AO=OB，BD=CD，ADBC，BDO=90，OB=2OD，OA=2OD；（2）如图，作点 D 关于 BE 的对称点 D，过 D作 DNBC 于 N 交 BE 于 P，则此时 PN+PD 的长度取得最小值，BE 垂直平分 DD，BD=BD，
