1、专题 14 阅读理解问题1 （2017 河北省）对于实数 p， q，我们用符号 min,pq表示 ， 两数中较小的数，如min,2，因此 in2,3 ；若 2i(1),x，则 x 【答案】 3；2 或-1考点：1新定义；2实数大小比较；3解一元二次方程-直接开平方法三、解答题2 （2017 四川省达州市）设 A= 2311aa（1）化简 A；（2）当 a=3 时，记此时 A 的值为 f（3） ；当 a=4 时，记此时 A 的值为 f（4） ；解关于 x 的不等式： 27414xff ，并将解集在数轴上表示出来【答案】 （1） 2a ；（2） x4【解析】试题分析：（1）根据分式的除法和减法可以
2、解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集试题解析：（1） A= 2(1)3()aa =2(1)a= 21()()a= ()= 21a；（2） a=3 时， f（3）= 2， a=4 时， f（4）= 210， a=5 时， f（5）= 230， 7414xfff ，即 7134x 21352 ， 12x， 74x，解得，x4，原不等式的解集是 x4，在数轴上表示如下所示：考点：1分式的混合运算；2在数轴上表示不等式的解集；3解一元一次不等式；4阅读型；5新定义3 （2017 四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标
3、系内任意两点 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ，可通过构造直角三角形利用图 1 得到结论：2 1他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x， y） P 的坐标公式： 12x，1y（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）已知点 M（2，1） ， N（3，5） ，则线段 MN 长度为 ；直接写出以点 A（2，2） ， B（2，0） ， C（3，1） ， D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标： ；拓展：（3）如图 3，点 P（2， n）在函数 43yx（ x0）的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点 E、 F，使
4、PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值【答案】 （1）答案见解析；（2） 61；（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3） 85【解析】试题分析：（1）用 P1、 P2的坐标分别表示出 OQ 和 PQ 的长即可证得结论；（2）直接利用两点间距离公式可求得 MN 的长；分 AB、 AC、 BC 为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得 D 点坐标；试题解析：（1） P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ， Q1Q2=OQ2 OQ1=x2 x1， Q1Q= 21x， OQ=OQ1+Q1Q=x1+ 21=2， PQ 为梯形 P1Q1Q2P2的中位线，
5、PQ= P = y，即线段 P1P2的中点 P（ x， y） P的坐标公式为 x= ， y= ；（2） M（2，1） ， N（3，5） ， MN= 22(3)(15)= 6，故答案为： 6； A（2，2） ， B（2，0） ， C（3，1） ，当 AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1） ，设 D（ x， y） ，则 x+3=0， y+（1）=2，解得 x=3， y=3，此时 D 点坐标为（3，3） ，当 AC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（7，1） ，当 BC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（1，3） ，综上可知D 点坐标为（3，3）或（7，1）或（1，3） ，
6、故答案为：（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3）如图，设 P 关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接 PN交 x 轴于点 S，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x 轴于点 F，又对称性可知EP=EM， FP=FN， PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，此时 PEF 的周长即为 MN 的长，为最小，设 R（ x， 43） ，由题意可知 OR=OS=2， PR=PS=n， 224()3x=2，解得 x= 65（舍去）或 x=65， R（ ， 85） ，2268()()5n，解得 n=1， P（2，1） ， N（2，1）
7、 ，设 M（ x， y） ，则 2= ， 1y =8，解得 x= ， y=1， M（ 5， ） ， MN= 221()()5 =85，即 PEF 的周长的最小值为 5考点：1一次函数综合题；2阅读型；3分类讨论；4最值问题；5探究型；6压轴题4 （2017 山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n=pq（ p， q 是正整数，且 p q） ，在 n 的所有这种分解中，如果 p， q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解并规定： F（ n）= pq例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的最佳
8、分解，所以F（12）= 34（1）如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方，我们称正整数 m 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（ m）=1；（2）如果一个两位正整数 t， t=10x+y（1 x y9， x， y 为自然数） ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“吉祥数” ；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求 F（ t）的最大值 【答案】 （1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3） 34【解析】试题分析：（1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n2（ n 为正整数
9、） ，找出 m 的最佳分解，确定出 F（ m）的值即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出 F（ t）的最大值即可试题解析：（1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n2（ n 为正整数） ，| n n|=0， nn 是 m 的最佳分解，对任意一个完全平方数 m，总有 F（ m）= =1；（2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则 t=10 y+x， t 是“吉祥数” ， t t=（10 y+x）（10 x+y）=9（ y x）=36， y=x+4，1 x y9， x， y 为自然数，满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3） F（15）= 3
10、5， F（26）= 213， F（37）= 17， F（48）= 68= 34， F（59）= 159， 34 21 37159，所有“吉祥数”中， F（ t）的最大值为 34考点：1因式分解的应用；2新定义；3因式分解；4阅读型5 （2017 山东省济宁市）定义：点 P 是 ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在 PAB， PBC， PCA 中，若至少有一个三角形与 ABC 相似，则称点 P 是 ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在 ABC 的内部， PBC= A， PCB= ABC，则 BCP ABC，故点 P 是 ABC 的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
11、在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 3yx（ x0）上的任意一点，点 N 是 x 轴正半轴上的任意一点（1）如图 2，点 P 是 OM 上一点， ONP= M，试说明点 P 是 MON 的自相似点；当点 M 的坐标是（ 3，3） ，点 N 的坐标是（ 3，0）时，求点 P 的坐标；（2）如图 3，当点 M 的坐标是（3， ） ，点 N 的坐标是（2，0）时，求 MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使 MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） P（ 34， ） ；（2） （1， 3）或（2， 3） ；（3）存在, M（ 3，3
12、） ， N（ 2，0） 【解析】试题分析：（1）由 ONP= M， NOP= MON，得出 NOP MON，证出点 P 是 MON 的自相似点；过 P作 PD x 轴于 D，则 tan POD= NO = 3，求出 AON=60，由点 M 和 N 的坐标得出 MNO=90，由相似三角形的性质得出 NPO= MNO=90，在 Rt OPN 中，由三角函数求出 OP= 32， OD= 4， PD= 3，即可得出答案；（2）作 ME x 轴于 H，由勾股定理求出 OM=23，直线 OM 的解析式为 y= 3x， ON=2， MOH=30，分两种情况：作 PQ x 轴于 Q，由相似点的性质得出 PO=
13、PN， OQ=12ON=1，求出 P 的纵坐标即可；求出 MN= 2(3)1=2，由相似三角形的性质得出 PNMO，求出 PN= 3，在求出 P 的横坐标即可；（2）作 ME x 轴于 H，如图 3 所示：点 M 的坐标是（3， ） ，点 N 的坐标是（2，0） ， OM= 223() = 3，直线 OM 的解析式为 y=x， ON=2， MOH=30，分两种情况：如图 3 所示： P 是 MON 的相似点， PON NOM，作 PQ x 轴于 Q， PO=PN， OQ=12ON=1， P 的横坐标为 1， y= 1= 3， P（1， 3） ；如图 4 所示：由勾股定理得： MN= 2(3)=
14、2， P 是 MON 的相似点， PNM NOM， PNMO，即2PN，解得： PN= ，即 P 的纵坐标为 23，代入 y= 3x 得： 2 = 3x ，解得：x=2， P（2， 3） ；综上所述： MON 的自相似点的坐标为（1， 3）或（2， 3） ；（3）存在点 M 和点 N，使 MON 无自相似点， M（ ，3） ， N（ 2，0） ；理由如下： M（ ，3） ， N（ 2，0） ， OM=2=ON， MON=60， MON 是等边三角形，点 P 在 ABC 的内部， PBC A， PCB ABC，存在点 M 和点 N，使 MON 无自相似点考点：1反比例函数综合题；2阅读型；3新定
15、义；4存在型；5分类讨论；6压轴题6 （2017 江苏省盐城市） （探索发现】如图，是一张直角三角形纸片， B=60，小明想从中剪出一个以 B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、 EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在 ABC 中， BC=a， BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、 N 分别在边 AB、 AC 上，顶点 Q、 M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a， h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形” ABC
16、DE， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ B 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积 【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm， BC=108cm， CD=60cm，且 tanB=tanC= 43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、 N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积【答案】 【探索发现】 12；【拓展应用】 4ab；【灵活应用】720；【实际应用】1944【拓展应用】：由 APN ABC 知 PNAEBCD，可得 PN=a hPQ，设 PQ=x，由 S 矩形 PQMN=P
17、QPN2()4ahx，据此可得；【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I， FG 的中点 K，由矩形性质知 AE=EH20、 CD=DH=16，分别证 AEF HED、 CDG HDE 得 AF=DH=16、 CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长 BA、 CD 交于点 E，过点 E 作 EH BC 于点 H，由 tanB=tanC 知 EB=EC、 BH=CH=54， EH=43BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、 CD 上，利用【拓展应用】结论解
18、答可得试题解析：【探索发现】 EF、 ED 为 ABC 中位线， ED AB， EF BC， EF=12BC， ED= AB，又 B=90，四边形 FEDB 是矩形，则 ABCS矩 形 FED = 12=12BCA= ，故答案为： ；【拓展应用】 PN BC， APN ABC， PNAEBCD，即 hPQa， PN=a hPQ，设 PQ=x，则 S 矩形PQMN=PQPN=x（ a hx）=2ax = 2()4，当 PQ= 2时， S矩形 PQMN最大值为 4ab，故答案为： 4b；【灵活应用】如图 1，延长 BA、 DE 交于点 F，延长 BC、 ED 交于点 G，延长 AE、 CD 交于点
19、 H，取 BF 中点 I， FG 的中点K，由题意知四边形 ABCH 是矩形， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16， EH=20、 DH=16， AE=EH、 CD=DH，在 AEF 和 HED 中， FAE= DHE， AE=AH， AEF= HED， AEF HED（ASA） ， AF=DH=16，同理 CDG HDE， CG=HE=20， BI=12（ AB+AF）=24， BI=2432，中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE上，过点 K 作 KL BC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 12BGBF= （40+20）（32+16）=720，答：该矩形
20、的面积为 720；【实际应用】如图 2，延长 BA、 CD 交于点 E，过点 E 作 EH BC 于点H，tan B=tanC= 43， B= C， EB=EC， BC=108cm，且EH BC， BH=CH=12BC=54cm，tan B= H= 43， EH= BH= 4354=72cm，在 Rt BHE 中， BE=2E=90cm， AB=50cm， AE=40cm， BE 的中点 Q 在线段 AB 上， CD=60cm， ED=30cm， CE 的中点 P 在线段 CD 上，中位线 PQ 的两端点在线段 AB、 CD 上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为 14BCEH=1
21、944cm2答：该矩形的面积为 1944cm2考点：1四边形综合题；2阅读型；3探究型；4最值问题；5压轴题7 （2017 江苏省连云港市）问题呈现：如图 1，点 E、 F、 G、 H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 上， AE=DG，求证：2ABCDHS=矩 形四 边 形 （ S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH BF，点 G 在 CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E、 G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F、 H 作 AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、 B1、 C1、 D1，得到矩形 A1B1C1D1如图 2，当
22、 AH BF 时，若将点 G 向点 C 靠近（ DG AE） ，经过探索，发现：2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+S如图 3，当 AH BF 时，若将点 G 向点 D 靠近（ DG AE） ，请探索 S 四边形 EFGH、 S 矩形 ABCD与 S之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图 4，点 E、 F、 G、 H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH BF， AE DG， S 四边形EFGH=11， HF= 29，求 EG 的长（2）如图 5，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=5，点 E、
23、H 分别在边 AB、 AD 上， BE=1， DH=2，点 F、 G 分别是边BC、 CD 上的动点，且 FG= 10，连接 EF、 HG，请直接写出四边形 EFGH 面积的最大值【答案】问题呈现： 2ABCDEFGHS=矩 形四 边 形 ；实验探究： 12ABCDABCDEFGHSS=-矩 形 矩 形四 边 形 ；迁移应用：（1） EG= 09；（2） 17【解析】试题分析：问题呈现：只要证明 S HGE=12S 矩形 AEGD，同理 S EGF=12S 矩形 BEGC，由此可得 S 四边形 EFGH=S HGE+SEFG=12S矩形 BEGC；实验探究：结论：2 S 四边形 EFGH=S
24、矩形 ABCD 根据 =12， =12， =12， =12，即可证明；迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题（2）分两种情形探究即可解决问题试题解析：问题呈现：证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形， AB CD， A=90， AE=DG，四边形 AEGD 是矩形， S HGE= 2S 矩形 AEGD，同理 S EGF=12S 矩形 BEGC， S 四边形 EFGH=S HGE+S EFG=12S 矩形 BEGC实验探究：结论：2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD 理由： =12， =12， =12， =12， S 四边形 EFGH= + + + ，2 S 四边形 EFGH=
25、2+2 +2 +2 2 ，2 S 四边形 EFGH=S 矩形ABCD 迁移应用：解：（1）如图 4 中，2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD ， =25211=3= A1B1A1D1，正方形的面积为 25，边长为 5， A1D12=HF25 2=2925=4， A1D1=2， A1B1=32， EG2=A1B12+52= 094， EG= 092（2）2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+ ，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大如图 51 中，当 G 与 C 重合时，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大此时矩形 A1B1C1D
26、1面积=1（ 02）= 2如图 52 中，当 G 与 D 重合时，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大此时矩形 A1B1C1D1面积=21=2，2 02，矩形 EFGH 的面积最大值= 172考点：1四边形综合题；2最值问题；3阅读型；4探究型；5压轴题8 （2017 浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程 20x，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 A（0，1） ， B（5，2） ；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B；第三步：在移动过程中，当三角
27、板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该方程的一个实数根（如图 1） ；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标 n 即为该方程的另一个实数根（1）在图 2 中，按照“第四步”的操作方法作出点 D（请保留作出点 D 时直角三角板两条直角边的痕迹） ；（2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 250x的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 20axbc （ a0， 24bc0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上， （3）中的固定点有无数对，
28、一般地，当 m1， n1， m2， n2与 a， b， c 之间满足怎样的关系时，点 P（ m1， n1） ， Q（ m2， n2）就是符合要求的一对固定点？【答案】 （1）作图见解析；（2）证明见解析；（3） A（0，1） ， B（ ， ）或 A（0， 1a） ，B（ ba， c）等；（4） 12ba， 12n= ca【解析】试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点 D 即可；（3）方程 20axbc（ a0）可化为 20bcxa，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为 x，根据三角形相似可得 12nmx，进而得到21212()0xmn，再根据 20axbc，可得
29、20bcxa，最后比较系数可得m1， n1， m2， n2与 a， b， c 之间的关系试题解析：（1）如图所示，点 D 即为所求；（2）如图所示，过点 B 作 BD x 轴于点 D，根据 AOC= CDB=90， ACO= CBD，可得 AOCCDB， AOCD， 152m， m（5 m）=2， 250， m 是方程 250x的实数根；（4）如图， P（ m1， n1） ， Q（ m2， n2） ，设方程的根为 x，根据三角形相似可得 12nmxx，上式可化为 21212()0xx，又 20abc，即 20bca，比较系数可得ba， n= c考点：1三角形综合题；2一元二次方程的解；3相似三
30、角形的判定与性质；4阅读型；5操作型；6压轴题9 （2017 浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD， AB=BC， ABC=90若 AB=CD=1， AB CD，求对角线 BD 的长若 AC BD，求证： AD=CD；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中， AB=5， BC=9，点 P 是对角线 BD 上一点，且 BP=2PD，过点 P 作直线分别交边 AD， BC 于点 E， F，使四边形 ABFE 是等腰直角四边形，求 AE 的长【答案】 （1） 2；证明见解析；（2）5 或 6.5【解析】试题分析：（
31、1）只要证明四边形 ABCD 是正方形即可解决问题；只要证明 ABD CBD，即可解决问题；试题解析：（1） AB=AC=1， AB CD， S 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=BC，四边形 ABCD 是菱形， ABC=90，四边形 ABCD 是正方形， BD=AC= 21= （2）如图 1 中，连接 AC、 BD AB=BC， AC BD， ABD= CBD， BD=BD， ABD CBD， AD=CD（2）若 EF BC，则 AE EF， BF EF，四边形 ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，当 AE=AB 时，如图 2 中，此时四边形 ABFE
32、是等腰直角四边形， AE=AB=5当 BF=AB 时，如图 3 中，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， BF=AB=5， DE BF， BF=PB=1：2， DE=2.5， AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的 AE 的长为5 或 6.5考点：1四边形综合题；2分类讨论；3新定义；4压轴题10 （2017 重庆市 B 卷）对任意一个三位数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（ n） 例如 n=123，对调百位与十位上的
33、数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6（1）计算： F（243） ， F（617） ；（2）若 s， t 都是“相异数” ，其中 s=100x+32， t=150+y（1 x9，1 y9， x， y 都是正整数） ，规定：k= ()t，当 F（ s）+ F（ t）=18 时，求 k 的最大值【答案】 （1） F（243）=9， F（617）=14；（2） 54【解析】试题分析：（1）根据 F（ n）的定义式，分别将 n=243 和 n=617 代入 F
34、（ n）中，即可求出结论；（2） s， t 都是“相异数” ， s=100x+32， t=150+y， F（ s）=（302+10 x+230+x+100x+23）111=x+5， F（ t）=（510+ y+100y+51+105+10y）111= y+6 F（ t）+ F（ s）=18， x+5+y+6=x+y+11=18， x+y=71 x9，1 y9，且 x， y 都是正整数， 16或 25或 34xy或 或 52xy或 61 s 是“相异数” ， x2， x3 t 是“相异数” ， y1， y5， 16或 43xy或 2， ()612Fst或 ()9st或()108Fst， k= ()Fst=12或 k= ()st=1 或 k= ()Fst= 54， k 的最大值为 54考点：1因式分解的应用；2二元一次方程的应用；3新定义；4阅读型；5最值问题；6压轴题
