1、很久很久以前，有一个地主。地主有一个老管家，当了一辈子仆人，打算告老归田。几十年主仆，也算有点情分。于是地主说，这样吧，你从我这里扯一根线，到我的田里圈一块地，圈多少算多少，全归你。老管家是个神人，眼珠子转了转，说：“你让我扯一根线，那我就扯一根直线吧。直线可不是线段哦，它的长度是无穷大。”哟，地主一惊，这不是要连我家一块儿吞了么。不过所谓道高一尺魔高一丈，他把袖子一捋：“好啊，无穷大就无穷大，但是得我来围。”,怎么围呢？他先画了一个等边三角形，说，这块地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段： 这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上看，每边多出了一
2、个小号的三角形。然后他在每个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图案看起来就像一片雪花。,地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少。” 咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出边
3、数增加的规律。,起始的三角形3条边，那么第一步得到的新图形就有3x4=12条边，第二步得到的图形就有3x4x4=48条边，接下去就是3x4x4x4条边。所以，从三角形开始，第一次增加了3个三角形，第二次增加了3x4=12个，第三次3x4x4=48个，接下去是3x4x4x4个。,太好了，最后就是算出每次增加的三角形的面积，把它们加起来就能算出总面积。这很容易，因为新三角形的边长都是老三角形的三分之一，所以新三角形的面积是老三角形的九分之一。老管家一系列推算的心理活动全在这儿。经过一番心算，他终于得出了面积的计算公式。想想是什么呢？,啊哈，原来是一个等比数列！等比就是不停地乘上一个相同的比值。他记
4、起高中老师教过怎么算等比数列的和。对于形如 的式子，如果r小于1的话，即使这个数列无限延伸下去，它的和也是有限的。根据求和公式，得出面积是原面积的八分之五。,管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是无穷大。管家重新检查了一下周长：每次抹去各条边的三分之一，换成两条相同长度的线段，那么就变成了原先的三分之四。每条边增长相同的比例，总周长就也增长到原先的三分之四。,如果起始的周长是L，那么第二步就变成 L，第三步是 L，第n步就是 L,管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后的数值就趋于无穷大。
5、也就是说，只要我们不停地让n增加，周长L是没有极限的。,管家这回可懵了。这是个什么怪物，无穷的周长，却只围成一亩六分地！他看了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算了。老大，你牛，你不愧是地主！,当我们的老管家在他的一亩六分地上享受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可以是任意的大小？如果开始我们规定六角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花的面积就是1.6公顷。或者如果把三角形缩小成1平方米，那就会得到1.6平方米的雪花。可是，不管面积大还是小，周长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？,二、空间 莫比乌斯带,莫比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定
6、，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比乌斯圈，也称莫比乌斯带。,小实验,实验一在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分为二。 实验二在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么？,实验一如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。 实验二如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，
7、剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不是一分为二，而是一大一小的相扣环。,莫比乌斯环奇妙之处,一、莫比乌斯环只存在一个面。 二、如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带，在本文中将之编号为：环0），而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环。 三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个 环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环1和环2），从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两 个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。,
