1、专题五 圆的综合探究,考标完全解读)近几年来，在宜宾市的中考数学题或全国各地市的中考题中，频繁出现与圆有关的证明和计算的综合题目，这类题目涉及的数学知识广泛，要求考生解答数学问题的能力高，用到的数学方法多，灵活性强，因此该类题目备受出题者的青睐，从题目呈现形式看有：选择题、填空题、解答题；从题目的类型看有：圆的证明、计算、探究题；从题目中的知识角度看有：圆与三角形综合、圆与四边形综合、圆与函数综合、圆与解直角三角形综合无论是什么题型、涉及什么知识，解答时都要用到圆中的基本概念、判定和性质解数学中圆的问题时一要树立信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略现介绍几种常用
2、的解题策略，供九年级同学参考1准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题2既能从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索相应半径与距离的数量关系3利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解答与角、线段相等有关的几何问题4会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理解答一类与圆相关的几何问题5会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长，圆、扇形、弓形的面积公式解决一类与圆柱、圆锥的侧面积有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积6充分利用圆的有关知识解
3、决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题7综合运用圆、方程、函数、三角形、相似形等知识解决一类与圆有关的问题,典型题型讲练)圆与全等三角形结合【例1】如图，AB是O的直径，C 是半圆的中点，M，D分别为CB及AB的延长线上一点，且MAMD，CM ，求 BD的长2【解析】首先过点M作MNAD于点N，连结OC，易得OBC为等腰直角三角形，BMN也为等腰直角三角形，则可得BC OB，BM BN，继而求得ON的长，则可求得答案2 2【答案】解：过点M作MNAD于点N，连结OC，如答图MAMD ，ANDN，C为半圆中点，OCOB，OBC为等腰直角三角形，MNOC，OBCBMN，BMN也为等腰
4、直角三角形，BC OB，BM BN，2 2CMCBBM (OBBN) ON，2 2CM ，ON1，2BDADAB，2(ONOA)(OAOB) 2ON2OA2OA 2ON 2.【点评】本题主要考查的知识点有等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、圆周角通过三角形相似，表示出线段之间的数量关系是解决本题的关键【针对练习】1已知AB是O的直径，直线BC 与O相切于点B ，ABC的平分线BD交O于点D，AD 的延长线交BC 于点C.(1)求BAC的度数；(2)求证：ADCD.解：(1)AB 是 O的直径，ADB90，CDB90，BD AC，BD平分ABC ，ABDCBD，在ABD和CBD中， ADB
5、CDB，BD BD， ABD CBD， )ABDCBD(A.S.A.)，ABCB，直线BC与O 相切于点B ，ABC90，BAC C45；(2)AB CB，BDAC ，ADCD.【解题心得】圆与相似三角形结合【例2】如图，AB，AC分别是O的直径和弦，点D 为劣弧AC上一点，弦ED 分别交O于点E，交AB于点H，交AC 于点F，过点 C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PCPF，求证：ABED ；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD 2DEDF，为什么？【解析】(1)作辅助线，连结OC.根据切线的性质，OCPC.根据PC PF，OCOA ，可得：PCF PFC，OCF OAC.在Rt
6、FHA中，可得：FHA90，故ABED；(2) 根据AD 2DEDF，可得：FADAED，FAD DEA.从而可知： ，即D 在劣弧AC 的中点AD CD 【答案】 解：(1)连结OC，如答图PC为 O的切线，OCP FCPOCF90，PC PF，PCFPFC.OAOC，OCAOAC.CFPAFH ，AFH OAC90，AHF 90 ，即ABED；(2)D在劣弧AC的中点时，才能使AD 2DEDF.理由：连结AE.若AD 2DEDF ，可得：FAD AED，FAD DEA， ，AD CD 即D为劣弧AC的中点时，能使AD 2DEDF.【点评】本题主要考查的知识点有切线的性质、圆周角定理、相似三
7、角形的判定与性质灵活运用切线的性质和相似三角形的判定是解决本题的关键【针对练习】2如图，已知PC与O交于点B，点A在O上，且PCABAP.(1)求证：PA是O的切线；(2)ABP和CAP相似吗？为什么？(3)若PBBC23，且PC 20，求PA的长解：(1)作O的直径 AD，连结BD.CD，ABD90，DBAD90，CBAD90.又PCA BAP，BADPAB90.即APAD，PA是O的切线； 来源:学优高考网(2)ABPCAP.理由如下：PCA BAP，CAPP，ABP CAP；(3)PBBC23，且PC 10，PB 4.又PA 2PBPC，PA 241040，PA2 .10【解题心得】圆与
8、四边形的综合【例3】 半径为2 cm的O与边长为 2 cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，O与l相切于点F，DC 在l上(1)过点B作O 的一条切线BE，E为切点填空：如图，当点A在 O上时，EBA的度数是_ ；如图，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；(2)以正方形ABCD的边AD与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形(如图)，至边BC与OF重合时结束移动，M ，N分别是边BC ，AD 与O 的公共点，求扇形MON的面积的范围【解析】(1)根据切线的性质以及直角三角形的性质得出 EBA的度数即可；利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出OA；(2)设MO
9、Nn，得出扇形MON 的面积进而利用函数增减性当 N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大；当MN DC2时，MN最小，分别求出即可【答案】解：(1)30；直线l与O相切于点F，OFD 90 .正方形ADCB中，ADC 90，OFAD.OFAD2，四边形OFDA为平行四边形OFD 90 ，平行四边形OFDA为矩形，DAAO.正方形ABCD中，DAAB，O，A，B三点在同一条直线上，EAOB.OEBOAE，来源:gkstk.ComEOA BOE ， ，OAOE OEOBOE 2OAOB，OA(2 OA) 4，解得：OA1 ，5OA0 ，OA 1；5(2)如图，连结MN ，设MONn，S扇形MO
10、N 22 n(cm2)，n360 90S随n的增大而增大，MON取最大值时，S 扇形MON 最大，当MON取最小值时， S 扇形 MON最小，过O点作OKMN于K，MON2NOK，MN2NK，在Rt ONK中， sinNOK ，NKON NK2NOK随NK的增大而增大，来源:gkstk.ComMON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小，当N，M，A分别与D，B，O 重合时，MN 最大，MNBD，MONBOD90， S 扇形MON最大 cm2，当MNDC 2 cm时，MN最小，ONMNOM，NOM60，S扇形MON最小 cm2，23 cm2S 扇形MON cm2.2
11、3【点评】此题是融计算、探究为一体的综合题，(1)简单易上手； (2)将正方形、圆、平移综合在一起探究扇形面积的最大值与最小值，难度大，对学生的数学能力要求高本题主要考查了圆的综合应用、相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题的关键【针对练习】3(2017贵港中考)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线 AC上，且PAPD，O是PAD 的外接圆(1)求证：AB 是 O的切线；(2)若AC 8，tanBAC ，求O 的半径22解：(1)连结OA，OP ，OP交AD于点E.PAPD，PADPDA.OPAD，DAP APE90.OAOP，OAP OPA.四边
12、形ABCD为菱形，DAF FAB，PAB APO90，OAP PAB90，AB是O的切线；(2)连结BD ，交 AC于点F.四边形ABCD为菱形，DB与AC 互相垂直平分AC8，tanBAC ，22AF4.tanDAC ，DFAF 22DF2 ，2AD 2 ，AF2 DF2 6AE .6在Rt PAE中，tanDAC ，PEAE 22PE .3设O的半径为R，则OER ，OAR ，在Rt OAE中，OA 2OE 2AE 2，3R 2(R )2( )2，R ，6 3364即O的半径为 .364【解题心得】圆与函数的结合【例4】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y (x0)图
13、象上任意一点，以P为圆12x心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A，B.(1)求证：线段AB 为P 的直径；(2)求AOB 的面积；(3)如图，Q是反比例函数 y 12x(x0)图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D. 求证：DOOCBOOA.【解析】(1)AOB 90，由圆周角定理的推论，可以证明AB是P 的直径；(2) 将AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；(3)对于反比例函数上另外一点 Q, Q与坐标轴所形成的COD的面积依然不变，与AOB 的面积相等【答案】解：(1)AOB 90，且AOB 是P 中弦AB 所对的圆周角，A
14、B是P的直径；(2)设点P坐标为(m，n)(m0， n0)，点P是反比例函数y (x0)图象上一点，12xmn12.如答图，过点P作PMx轴于点 M，PNy轴于点N，则OMm，ONn.由垂径定理可知，点M为OA中点，点N 为OB中点，OA2OM2m，OB2ON2n，S AOB BOOA 2n2m2mn 21224；12 12(3)以Q为圆心， QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C ，D，COD90，DC是Q的直径若点Q为反比例函数y (x0)图象上异于点P的另一点，参照(2) ，同理可得：S COD DOCO24，12x 12则有：S COD S AOB 24，即 BOOA DOCO，12 12
15、DOOCBOOA.【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大，试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4|k|；对于另外一点 Q所形成的Q，此结论依然成立【针对练习】4(2017云南中考)已知AB是O的直径，PB是O 的切线，C 是O 上的点，ACOP ，M是直径AB上的动点，A与直线CM 上的点连线距离的最小值为d，B 与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是O的切线；(2)设OP AC，求CPO的正弦值；32(3)设AC 9，AB15，求d f的取值范围解：(
16、1)连结OC，OAOC，OACOCA.ACOP，OACBOP，ACOCOP，COP BOP.AB是O的直径，PB是O的切线，来源:gkstk.ComOBP 90 ；在OCP 和OBP中， OC OB， COP BOP，OP OP， )OCP OBP(SAS)，OCPOBP，PB切 O于点 B，OBP90，OCP 90.OCPC，且OC为半径，PC是 O的切线；(2)过点O作OD AC 于点D.OP AC， ，32 OPAC 32设OP3k，AC2k，CD ACk.12ODCPCO90，DCOCOP，CDOOCP. ，CDOC OCOPOC 2CDOP k3k 3k 2，OC k.3sinCPO ；OCOP 3k3k 33(3)过点A作AEMC 于点E，并延长交O于点K ，则AE d.过点B作BFMC 于点F，则BFf.连结BK，则四边形EKBF 是矩形，EK BF，来源:学优高考网dfAE BF AEEKAK，ACAKAB，9df15. 【解题心得】请 完 成 精 练 本 第 76页 作 业
