1、专训 2 二次函数在学科内的综合运用名师点金：本章是中考的必考内容之一，所占分值较高，对于二次函数的概念、增减性、图象的顶点坐标、对称轴及平移等性质多以选择题、填空题的形式出现，对于二次函数的应用，主要考查函数的建模思想及分析问题、解决问题的能力，多以解答题的形式出现，对于求函数表达式及与一元二次方程的关系，综合性较强，对于二次函数和图形的变化、图形的面积等相结合的一些探究性问题，则常以中考压轴题的形式出现二次函数与一次函数的综合1如图，二次函数 yx 2bxc 的图象与 x 轴只有一个公共点 P，与 y 轴的交点为Q.过 Q 点的直线 y2xm 与 x 轴交于点 A，与这个二次函数的图象交于
2、另一点 B.若 SBPQ 3SAPQ ，求这个二次函数的表达式(第 1 题)来源:学优高考网 gkstk二次函数与三角函数的综合2 【中考上海】已知在平面直角坐标系 xOy 中(如图) ，抛物线 yax 24 与 x 轴的负半轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，AB2 ，点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正5半轴交于点 C，线段 BP 与 x 轴相交于点 D，设点 P 的横坐标为 m.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)用含 m 的代数式表示线段 CO 的长；(3)当 tan ODC 时，求 PAD 的正弦值32(第 2 题)二次函数与一元二次方程的综合3已知关于 x 的二
3、次函数 yx 2(2m1)xm 23m4.(1)探究 m 取不同值时，该二次函数的图象与 x 轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与 x 轴的交点分别为 A(x1，0)，B(x 2，0)，且 x12x 225，与y 轴的交点为 C，它的顶点为 M，求直线 CM 对应的函数表达式来源:gkstk.Com二次函数与相似的综合4 【中考黔西南州】在平面直角坐标系中， ABOC 按如图所示的方式放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90得到ABOC，抛物线 yx 22x3 经过 A，C，A三点(1)求 A，A，C 三点的坐标(2)求ABOC 和ABOC重叠部分( COD) 的面积(3)点 M
4、是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时， AMA 的面积最大？最大面积是多少？并写出此时点 M 的坐标(第 4 题)答案1解：由题意知二次函数图象与 y 轴的交点 Q 的坐标为(0 ，c)又直线 y2xm过点 Q，mc.联立 y x2 bx c，y 2x c， )可得 B 点的坐标为(2b，42bc)作 BCx 轴于 C，则 BC42bc.S BPQ 3S APQ ，S APB 4S APQ .APQ 与 APB 等底(AP)不等高，S APB S APQ 41BCOQ.又OQc(c0)，(42bc)c 41.即 2b3c40 .二次函数 yx 2bxc 的图象与 x 轴只有一个公共
5、点， b 24c0 . 来源:学优高考网 gkstk解联立的方程组，可得b1 43，c1 49，)b2 4，c2 4. )经检验知当 b 时，抛物线的顶点在 y 轴左侧，不符合题意，舍去43b4，c4.二次函数的表达式为 yx 24x4.点拨：本题用待定系数法求函数表达式时，根据图象的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解2解：(1)由题易知点 B 的坐标为(0，4) ，即 OB4.在 RtOAB 中，AB2 ，OB4.OA 2.5 AB2 OB2 （25）2 42又点 A 在 x 轴的负半轴上， 点 A 的坐标为(2，0
6、) 将点 A(2，0)的坐标代入抛物线对应的函数表达式得，04a4，解得a1，yx 24.(2)P(m ，m 2 4)，A( 2，0)，直线 AP 对应的函数表达式为 y(m2)x(2m 4) CO2m4.(3)P(m ，m 2 4)，B(0，4)，直线 BD 对应的函数表达式为 ymx4.OD .4mtan ODC .解得 m3(m1 不合题意，舍去)OCOD m（m 2）2 32P(3，5)过 P 作 PMx 轴于 M.则 PM 5，AM5.PA5 .2sin PAD .PMPA 552 223解：(1)令 y0，得 x2(2m1)x m 23m40， (2m1) 24(m 23m4)16
7、m15.当 0 时，方程有两个不相等的实数根，即16m150，m .此1516时二次函数的图象与 x 轴有两个交点；当 0 时，方程有两个相等的实数根，即16m150，m .此时二次函数的图象与 x 轴只有一个交点；当 0 时，方程1516没有实数根，即16m15 0，m .此时二次函数的图象与 x 轴没有交点1516(2)由一元二次方程根与系数的关系得x1x 22m1，x 1x2m 23m 4，x 12x 22(x 1x 2)22x 1x2(2m1)22(m 23m4)2m 210m7.来源:学优高考网 gkstkx 12x 225，2m 210m75.m 25m60.解得 m16，m 21
8、.二次函数的图象与 x 轴有两个交点，m .m1.yx 23x2.1516令 x0，得 y2，二次函数的图象与 y 轴的交点 C 的坐标为(0，2)又yx 23x2 ，(x 32)2 14顶点 M 的坐标为 .( 32， 14)设过点 C(0，2)与 M 的直线对应的函数表达式为 ykxb，则( 32， 14)解得 直线 CM 对应的函数表达式为 y x2.2 b， 14 32k b，) k32，b 2.) 324解：(1)当 y0 时，x 22x30，来源:学优高考网 gkstk解得 x13，x 21.C(1，0)，A(3，0)当 x0 时，y3.A(0， 3)(2)由题易知 ABOC1，O
9、A3，OABAOC90.OB ，AOB 的面积为 13 .32 12 1012 32将ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90得到ABOC，ACOOCD，OCOC1.又ACOABO，ABOOCD.又CODAOB，CODBOA. .S CODS BOA (OCOB)2(110)2S COD .320(3)如图，设 M 点的坐标为(m，m 22m3) ，连接 OM.则 SAMA S OAMS AMO S AOA 3(m 22m3) 3m 3312 12 12m2 m (0m 3) 32 92 32(m 32)2278当 m 时，S AMA 取到最大值为 ，32 278M .(32，154)即当 M 的坐标为 时，AMA 的面积最大，最大面积是 .(32，154) 278(第 4 题)
