1、专训 2 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换构造平行线法1如图，在ABC 中，D 为 AB 的中点，DF 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F.求证：AECFBFEC.(第 1 题)2如图，已知ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且ADCE，DE 交 AC 于点 F.求证：AB
2、DF BCEF.(第 2 题)三点定型法来源:学优高考网 gkstk3如图，在ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证： .DCAE CFAD(第 3 题)来源:学优高考网 gkstk4如图，在ABC 中，BAC90，M 为 BC 的中点，DMBC 交 CA 的延长线于D，交 AB 于 E.求证：AM 2MDME.(第 4 题)构造相似三角形法5如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB，AC 于点 M，N.求证：BPCPBMCN.(第 5 题)等比过渡法6如图，在ABC 中，ABAC，DE BC，点 F 在边
3、AC 上，DF 与 BE 相交于点G，且EDFABE.求证：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.(第 6 题)7如图，CE 是 RtABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P，连接 AP，作BGAP 于点 G，交 CE 于点 D.求证：CE 2DEPE.(第 7 题). 两次相似法8如图，在 RtABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F.求证： .BFBE ABBC(第 8 题)9如图，在ABCD 中，AMBC，ANCD，垂足分别为 M，N.求证：(1)AMBAND；(2) .AMAB MNAC(第 9 题)等积代换法
4、10如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DE AB 于 E， DFAC 于 F.求证： .AEAF ACAB(第 10 题)等线段代换法11如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，点 P 是 AD 上一点，CFAB，延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 于点 F.求证：BP 2PEPF.(第 11 题)12如图，已知 AD 平分BAC，AD 的垂直平分线 EP 交 BC 的延长线于点 P.求证：PD 2PBPC.(第 12 题)答案1证明：如图，过点 C 作 CMAB 交 DF 于点 M.CMAB ， CMFBDF. .BFCF BDCM又CMAD，ADE CME.
5、 .AEEC ADCMD 为 AB 的中点，BDAD.来源:gkstk.Com . ，BDCM ADCM BFCF AEEC即 AECFBFEC.(第 1 题)(第 2 题)2证明：如图，过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G，易知DGF ECF，ADGABC. ， .EFDF CEDG ABBC ADDGADCE， . ，CEDG ADDG ABBC EFDF即 ABDFBCEF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A” 型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题3证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AC，AEDC.CDF E.FCD DAE. .DCAE CFAD4
6、证明：DMBC ，BAC90 ，BBEM90 ，DDEA 90.BEMDEA，B D.又M 为 BC 的中点，BAC90，BMAM.BBAM.BAMD，即EAMD.又AMEDMA.AMEDMA. ，即 AM2MDME.AMMD MEAM(第 5 题)5证明：如图，连接 PM，PN.MN 是 AP 的垂直平分线，MAMP ，NANP.12，34.又ABC 是等边三角形，BC 1360.2460.56120.又67180C 120，57.BPMCNP. ，即 BPCPBMCN.BPCN BMCP6证明：(1)AB AC， ABCACB.DEBC，ACBFED180，ABCEDB180.FEDEDB
7、.又EDFDBE，DEFBDE.(2)由DEF BDE 得 ，即 DE2DBEF.DEBD EFDE又由DEFBDE，得GEDEFD.GDE EDF，GDE EDF. ，即 DE2DGDF.DGDE DEDFDGDFDBEF.7证明：BGAP ，PEAB，AEPDEBAGB90.PPAB90，PAB ABG90.PABG.AEPDEB. .即 AEBEPEDE.AEDE PEBE又CEABEC90 ，CABACE90.又ACB90，来源:学优高考网 gkstkCABCBE90.ACECBE.AEC CEB. ，即 CE2AEBE.AECE CEBECE 2DEPE.8证明：由题意得BDFBAE
8、90.BE 平分ABC，DBFABE.BDF BAE. .BDAB BFBEBACBDA90， ABCDBA.ABCDBA. .ABBC BDAB .BFBE ABBC9证明：(1)四边形 ABCD 为平行四边形，BD.AMBC，AN CD，AMBAND90.AMBAND.(2)由AMBAND 得 ，BAMDAN.AMAN ABAD又ADBC， .AMAN ABBCAMBC，AD BC，MADAMB 90.BBAMMANNAD90. BMAN.AMNBAC. .AMAB MNAC10证明：ADBC ，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ABDADE.来源:gkstk.Com ，即 AD
9、2AEAB.ADAB AEAD同理可得 AD2AFAC.AEABAFAC. .AEAF ACAB11证明：连接 PC，如图所示(第 11 题)ABAC ，ADBC，AD 垂直平分 BC，ABCACB.BP CP. 12.ABC1ACB 2，即34.CF AB，3F.4F.又CPFCPE，CPFEPC. ，即 CP2PFPE.CPPE PFCPBP CP， BP2PEPF.12证明：如图，连接 PA，(第 12 题)EP 是 AD 的垂直平分线，PAPD.PDA PAD.BBADDAC CAP.又AD 平分BAC，BADDAC.B CAP.又APC BPA，PAC PBA. .PAPB PCPA即 PA2PBPC.PAPD，PD 2PBPC.
