1、学优中考网 解直角三角形复习（二）一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等） ，我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例 1. 在ABC 中，已知 AB= 6，B=45，C=60，求 AC、BC 的长例 2. 如图所示，ABC 中，BAC=120，AB=5，AC=3，求 sinBsinC 的值例 3如图，在 ABC 中， C=90，A 的平分线交 BC 于 D，则 等于（ CAB） A .sin A B. cos A C . tan A D . cot
2、 A例 4如图所示，在 ABC 中， B=60，且B 所对的边 b=1，AB+BC=2，求 AB 的值 例 5已知：在 ABC 中， B=60，C=45，BC=5 ，求 ABC 的面积例 6如图，ABC 中，A=90，AB=AC，D 是 AC 上的一点，且 ADDC=13，求 tanDBC 的值学优中考网 二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考一、 “SSS”型：例 1已知：如图，BC=2 ，AC= ， AB= ，求ABC 各内角的度数631二、 “SAS”型：例 2已知：如图，A
3、BC 中，A=150 0，AB=5 ，AC=4，求ABC 的面积三、 “AAS”型： 例 3已知：如图 3，ABC 中，C=60 0，A=75 0，BC= ，3求 AB、AC 的长四、 “ASA”型： 例 4已知等腰 ABC 的底边长为 2，底角为 75，求腰长五、其他类型：例 5已知：如图，ABC 中，B=60 0，AB=5，sinC= ，求 AC 和 BC 的长5714相关强化练习：1等腰三角形底边为 20，面积为 31，求各角的大小2如图，四边形 BCDG 为矩形，ABG=45，GB=20，BC=4，tanE= 3，求 EC 的长度3已知：如图，在ABC 中，BC=6 ，AC=6 3，A
4、=30，求 AB 的长CB DABACD图 2AB CD图 4BA DC图 1BACD图 5学优中考网 解直角三角形复习（二）一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等） ，我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例 1. 在ABC 中，已知 AB= 6，B=45，C=60，求 AC、BC 的长解：作 ADBC 于 D，如图所示 在 RtABD 中，B=45，AD=DB=ABsin45 = 62= 3在 RtACD 中， tanC= CA，CD= 60ta
5、nD= 3=1BC=BDDC= 31 AC= 60tan= 23=2点拨：应避免将ABC 看作直角三角形本题有两个特殊角，因此应把这两个特殊角构造在直角三角形中例 2. 如图所示，ABC 中，BAC=120，AB=5，AC=3，求 sinBsinC 的值解：作 CEBA，交 BA 的延长线于点 EBAC=120，CAE=60，ACE=30AC=3，AE= 21AC=3， EC= 2AC=3BC= 2CEB=7sinB= B= 14同理可得 sinC= 145sinBsinC= 19645例 3如图，在 ABC 中， C=90，A 的平分线交 BC 于 D，则 等于（ CAB） A .sin A
6、 B. cos A C . tan A D . cot A分析：要判断 的比是A 的哪一个三角函数，联想锐角三角函数定义，CDB首先考虑 等于哪两条线段的比？再联想角平分线的性质，在图中作出表示 AB-AC 的线段，为此，作 DEAB 于 E，由C=90，可得 RtADERtADC，所以 AC=AE，DE=DC，于是 BE=AB-AC，又BDE=90- B=A ， = =tan BDE=tanA，或由CBDE学优中考网 =cotB=tanACDEB例 4如图所示，在 ABC 中， B=60，且B 所对的边 b=1，AB+BC=2，求 AB 的值 解：作 ADBC 于 D，设 BD=x，在 Rt
7、ABD 和 RtACD 中，B=60， AB=2x， AD= x，DC= = ，32ADC231xAB+BC=2x+x+ =3x+ =2,解得：x= 经检验是原方程的根，则 AB=2x=12121例 5已知：在 ABC 中， B=60，C=45，BC=5 ，求 ABC 的面积解：作 ADBC 于 D，C=45， AD=DC，设 AD=x，则 DC=x， BD=5-x，又B=60， tanB= ，BAx = 解之，得 x= = (3- ) S ABC= BCAD= (3- )531352321453例 6如图，ABC 中，A=90，AB=AC，D 是 AC 上的一点，且 ADDC=13，求 ta
8、nDBC 的值解：作 DEBC 于 D，并设 AD=k，DC=3k ，AB=AC=4k，A=90，BC= AC=4 k，又C=45，EDC=45， DE=EC，2在 RtDEC 中， DE2+EC2=DC2，设 DE=x，则 x2+x2=9k2，x 2= k2， x= k(负值舍去) DE=EC= k，9323 BE=BC-EC=4 k- k= k， tan DBC= 23552kBED二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考一、 “SSS”型：例 1已知：如图，BC=2 ，AC=
9、， AB= ，求ABC 各内角的度数631析解：作 CDAB，垂足为 D，设 BD=x，则 AD= -x，因为 BC2-BD2=CD2=AC2-AD2，所以 4-x2=6-( -x)2，31解得 x=1，AD= ，因为 cosB= ，所以B=60 0，因为 cosA= ，3BC2ADC所以C=45 0，由三角形内角和定理得ACB=75 0二、 “SAS”型：例 2已知：如图，ABC 中，A=150 0，AB=5 ，AC=4，求ABC 的面积析解：作 CDAB，垂足为 D，因为BAC=150 0，所以CAD=30 0，DC=Acsin30 0=2，所以 152ABCSBACD图 2BA DC图
10、1学优中考网 三、 “AAS”型： 例 3已知：如图 3，ABC 中，C=60 0，A=75 0，BC= ，3求 AB、AC 的长析解：作 ADBC ，垂足为 D，则B=45 0，设 DC=x，则在 RtADC 中， ，所以 AC=2x，1cos2CAAD= ，在 RtABD 中，AD= ，tan3xtanBDA所以 BD=AD= ， ，由 ，得 ，所以 AB=3 ，AC=26sinBx3x3x23四、 “ASA”型： 例 4已知等腰 ABC 的底边长为 2，底角为 75，求腰长解：如图，作 CD AB 于 D，在 Rt ADC 中， A=300，设 CD=x，则 AC=2x，AD= x，BD
11、=（2- ）x，在 Rt CBD 中，33BD2+CD2=BC2，即（2- ）x 2+x2=4，解得：x= ，所以 AC= 6262五、其他类型：例 5已知：如图，ABC 中，B=60 0，AB=5，sinC= ，求 AC 和 BC 的长5714析解：本题不同于以上四种类型，但它也是“可解的非直角三角形” 作 ADBC，垂足为 D，在 RtABD 中，AD=sinBAB= ，532BD=cosBAB= ，在 RtACD 中， ，因为 DC2=AC2-AD2= ，521sinADC94所以 ，BC=43C综上所述：“可解的非直角三角形”的解题方法是恰当地作垂线，使特殊角、特殊线段尽量多地含在所作
12、的三角形中，采用特殊角的三角函数值易于求解相关强化练习：1等腰三角形底边为 20，面积为 310，求各角的大小2如图，四边形 BCDG 为矩形，ABG=45，GB=20，BC=4，tanE= 3，求 EC 的长度3已知：如图，在ABC 中，BC=6 ，AC=6 3，A=30，求 AB 的长CB DAAB CD图 4图 3BACD图 5学优中考网 参考答案：1解：如上图，作 ADBC 交 BC 于 D 点，则 AB=AC，BC=20，SABC = 30，AD= BCSA2= 30 21=30又BD= 21BC=10，在 RtABD 中，tanB= D= 10= ，B=30C= B=30BAC=1
13、80（BC）=120思路点拨：已知等腰三角形，常作底边上的高，构建等腰三角形“三线合一”的结构2解：在 Rt AGB 中，ABG=45，GB=20，AG=20又BC=4，四边形 BCDG 为矩形，DG=4 ，CD=20 AD=AGGD=24在 Rt ADE 中，tanE= 3，ED= EADtan= 324=8 EC=EDDC=8 320思路点拨：先求局部线段长，再求其和，是一种解题策略3解：作 CDAB 于 D在 RtCAD 中，A=30，AC=6 3，CD=ACsinA= 21AC=3 36=BCBCCD，点 D 在线段 AB 上或在线段 AB 的延长线上（1）当点 D 在线段 AB 上时，如图（1） 在 RtADC 中，AC=6 ，A=30，AD=CD/tan30 =9在 Rt CDB 中，DB= 2CDB=3，AB=AD BD=93=12（2）当点 D 在线段 AB 的延长线上时，如图（2） ，由（1）有AD=9， BD=3，AB=AD BD=93=6，故 AB 的长是 12 或 6
