1、函数模型的应用实例【知识梳理】1常见的函数模型(1)正比例函数模型： ( 为常数， )；fxk0k(2)反比例函数模型： ( 为常数， )；(3)一次函数模型： ( ， 为常数， )；fxkb0k(4)二次函数模型： ( ， ， 为常数， )；2acabca(5)指数函数模型： ( ， ， 为常数， ， ， )；fxx 0b1(6)对数函数模型： ( ， ， 为常数， ， ，flogamnama)；1a(7)幂函数模型： ( ， ， 为常数， ， )fxnb01n2建立函数模型解决问题的框图表示【常考题型】题型一、二次函数模型【例 1】 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至
2、25 吨时，月生产总成本 (万元)可以看成月产量 (吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，yx月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点写出月总成本 (万元)关于月产量 (吨)的函数关系y已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解 (1) ，将 ， 代入上式，2157.yax10x2y得 .2057解得 .1所以 ( )2517.0yx025x(2)设最大利润为 ，Q则 21.6.3401xyxx( )23.9005因为 ，1,5x所以月产量为 吨时，可获最大利润 万元212.9【类题通法】利用二次函数模型
3、解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题【对点训练】渔场中鱼群的最大养殖量为 ( )，为了保证鱼群的生长空间，实际养m0殖量 小于 ，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量 和实际养殖量与xmy空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为 (k)0k(1)写出 关于 的函数关系式，并指出该函数的定义域；yx(2)求鱼群年增长量的最大值解：(1)根据题意知，空闲率是 ，故 关于 的函数关系式是mxyx， .mxyk0
4、(2)由(1)知， ， .则当2mxkkykxm24k0xm时， .所以，鱼群年增长量的最大值为 .2mxax4题型二、分段函数模型【例 2】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的vx函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当时，车流速度 是车流密度 的一次函数20xvx(1)当 时，求函数 的表达式；20(2)当车流密度 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，x单位：辆/
5、小时) 可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)fv解 (1)由题意，当 时， ；0260vx当 时，设 ，20xvxab再由已知得 ，解得 06ba1320b故函数 的表达式为vx60,21,03x(2)依题意并结合(1)可得60,21,03xf x当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ；xf 20x6021当 时， ，当且20x2111020333fxx仅当 时，等号成立1所以，当 时， 在区间 上取得最大值 .xfx,综上，当 时， 在区间 上取得最大值 .10f0,2103即当车流密度为 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 辆/小时【类题通法】构建分段函数模型的关
6、键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式【对点训练】某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 与时间 之间近似满足如图所示的曲线yt(1)写出服药后 与 之间的函数关系式；yt(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 时治疗疾病有效，假若某病人4g一天中第一次服药为上午 ，问一天中怎样安排服药时间(共 次)效果最佳？7:04解：(1)依题意得 6,12,03tyt(2)设第二次服药时在第一次服药后 小时，则 ，解得 ，1t12043t14t因而第二次服药应在 .1:0设第三次
7、服药在第一次服药后 小时，则此时血液中含药量应为前两次服药2t后的含药量的和，即有 ，解得 小时，故第三次20433t29t服药应在 .16:0设第四次服药在第一次服药后 小时( )，则此时第一次服进的药已吸3t310t收完，血液中含药量应为第二、第三次的和 ，3220494t解得 小时，故第四次服药应在 .31.5t0:题型三、指数、对数型函数模型【例 3】 目前某县有 100 万人，经过 年后为 万人如果年平均增长率xy是 1.2%，请回答下列问题：(1)写出 关于 的函数解析式；yx(2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到
8、120 万(精确到 1 年)解 (1)当 时，1x；10.2%0.2y当 时，；2.1.1.01.%当 时，3x；22 310.0.y故 关于 的函数解析式为 ( )x10.xy(2)当 时， .1010.2%27故 年后该县约有 万人.7(3)设 年后该县的人口总数为 万，即 ，解得x10.%20x.1.02log6故大约 年后该县的人口总数将达到 万120【类题通法】 指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为 (其中 为基础数， 为增长率，1xypp为时间)的形式x【对点训练】20 世纪 70 年代，里克特制订了一种
9、表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 ，其计算公式为： .其中 是被测lgA0地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅0A(1)假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级；(2)5 级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍？解：(1) .lgA00lg2l4.即这次地震的震级为 级4(2) ， ， ，508lg85lg38510A即我国发生在汶川的 8
10、级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000倍【练习反馈】1某厂日产手套总成本 (元)与手套日产量 (副)的函数解析式为yx，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂为了不亏本，日产手套至少540yx为( )A200 副 B400 副C600 副 D800 副解析：选 D 由 ，解得 ，即日产手套至少 800 副时才5401xx80不亏本2已知 A，B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地，则汽车离开A 地的距离 关于时间 (小时)的函数解析式是( )xtA 60tB 15
11、C 60,2.513txD ,.1503.,56.ttt解析：选 D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数3由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低 ，则现在价格为 8 100 元的计算机 15 年后的价格应降为_1元解析： ，所以当 时，513xya15(元)881002407y答案： 244如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 (元)与y通话时间 (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：t(1)通话 2 分钟，需付的电话费为_元；(2)通话 5 分钟，需付的电话费为_元；(3)如果 ，则电话费 (元)与通
12、话时间 (分钟)之间的函数关系式为3tyt_解析：(1)由图象可知，当 时，电话费都是 3.6 元3t(2)由图象可知，当 时， ，即需付电话费 6 元5t6y(3)当 时， 关于 的图象是一条直线，且经过 和 两点，故3tyx3,.5,6设函数关系式为 ，则ktb3.56k解得 ，故 关于 的函数关系式为 ( )1.20kbyt1.2yt3答案：(1) (2) (3) ( )3.61.2t35某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件 40 元，当售价为 50 元时，一个月卖出 500 件通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高 1 元，则商品一个月的销售量会减少 10 件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价多少元？解：设应将每件商品定价为 元，其月利润为 元，由题意得：xy40501yx.21当 (元)时， 元70xmax90y答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价 元70
