1、 掌握 NE5000E/80E/40E 产品的体系结构 掌握 NE5000E/80E/40E 的单板构成 掌握 NE5000E/80E/40E 换板操作 了解 NE5000E/80E/40E 升级操作专题三 数列主备人：补习学校数学组 执笔人：张新华 张德华 审核人：刘吉超李方增考情分析1.数列在历年高考中都占有较较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整个试卷的 10%左右,客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常
2、用到等价转化，分 类讨论 等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。2有关数列问题的命题趋势数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点。数列推理题是新出现的命题热点，以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列 题中也加强了逻辑推理能力的考查在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是对运算能力、 归纳猜想能力、 转化能力、逻辑推理能力的要求更为突出，一般来说，考 题中选择 、填空 题解法灵活多变，而解答题更是能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能
3、力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养。考点精要一、等差数列1等差数列的定义数列|a n满足 an+1an=d(其中 nN*，d 为常数) an是等差数列。2等差数列的通项公式若等差数列的首项为 a1，公差为 d,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*).3.等差中项若 x,A,y 成等差数列，则 A= 其中 A 为 x,y 的等差中项。2yx4等差数列的前 n 项和公式若等差数列首项为 a1,公差为 d,则其前 n 项和Sn= =na1+ .2)(1na2)(d二、等比数列1等比数列的定义数列a n满足 =q(其中 an0，q 是不为零的常数， （n
4、N*） an为等比na1 数列。2等比数列的通项公式等比数列的首项为 a1,公比 为 q,an=a1qn-1=amqn-m（n,mN*）.3.等比中项若 x,G,y 成等比数列，则 G2=xy,其中 G 为 x.y 的等比中项。4等比数列的前 n 项和设等比数列的首项为 a1，公比为 q,则)(1)(1qqaSnnn推导等比数列前 n 项和公式的方法是错位相减法。三、基本运算1等差（比）数列，a n,Sn,中五个量知三求二，公式的 选择、数列性质的熟练应用能很大程度上减少运算量。等差数列a n，则a n=am+(n-m)d,(m、n nN*若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.(m、
5、n、p、qN*)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等差数列，公差为 n2d.S2n-1=(2n-1)an2.已知 an,Sn 的等量关系，根据目标，把 该关系统一到通项或和上，求通 项或研究 Sn 的性质。3派生数列如 an+1= an+b,an+1= an+f(n), =f(n)等，可通过待定系数法、n1累差法、累商法等，化归为等差（比）数列求通 项。4求和先研究数列的通项，根据通 项选择方法，化归为基本数列求和。若 cn=anbn,an等差b n等比，则用错位相减法。若 cn= an+bn,则用分组求和，其中分组的方法比较灵活。裂项相减法适用于通 项 形如 an= 等)12(倒序相加
6、法。1.09 全国 14 题，设差数列a n前 n 项和为 Sn 若 S9=72,则 a2+a4+a9= 2.07 江西，已知数列a n对任意 PqN*,有 GP+Gq=Gp+q,若 a1= 则 a36= 3.09 辽宁 已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 3 则 6S69A.2 B. C. D.33784.09 广东 已知比数列a n满足 an0 且 a5a2n-5=22n(n3)则当 n3时,log2a1+log2a3+log2a5+ log2a2n-1= A.(n-1)2 B.n2 C.(n+1)2 D. n( 2n-1)5.(09 年山 东 20 题) 等比数列a n的前 n
7、 项和为 Sn,对于任意的 n,N*点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b0,且 b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求 r 的值 (2)当 b=2 时,记 bn=2(log2an+1), n,N*证明:对任意的 n,N*,不等式 * 成立1b2nb1一. 数列内部的综合问题例 1 已知 f(x)=10g x(a0 且 a1)设 f(a1)、f(a 2)、f(a n) （n ）是首项为 4，公差为 2 的等差数例。(1)设 a 为常数，求证(a n)成等比数例；(2)若 bn=anf(an) bn的前 n 项和是 Sn,当 a= 时，求 Sn;2(3)令 Cn=anlgan,问是否存在 a
8、，使得C n中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出 a 的范围，若不存在，说明理由。变式练习（2009 年高考全国卷）在数列a n中，a 1=,an+1=(1+ na21)(1)设 bn= ;)的 通 项 公 式求 数 列 nba(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.真 题 再 现 高 考 预 测二、数列与函数、方程、不等式的综合问题例 2已知函数 f(x)= ,23x(1) 若数列a n,bn满足 a1= 求数列b n 通项公式；)1(),(1nabfnn(2)记 Sn=b1+b2+bn,若 m 恒成立，求 m 的最小值S变式练习 2 已知数列a n的前 n 项和 Sn=-an-（ ） n
9、-1+2（n 为正整数） 。2（1） 令 bn=2nan,求证数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；(2) 令 cn= +cn，试比较 Tn 与 的大小，并予以证明。21cT15三、数列与向量、解析几何的综合问题例 3 过点（1，0）作曲线 C：y=xk(x(0,+ )，kN*,k1)的切线，切点为 Q1 ,设点为 Q1,设 Q1 点在 x 轴上的投影是点 P1,又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 Q2,设Q2 在 x 轴上的投影是点 P2,依次下去,得到一系列点 Q1,Q2,Qn,设点 Qn 的横坐标为 an.(1)求证:a n=( )n, n *k(2)求证:a n 1+1
10、(3)求证： 0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为 r(r0),那么，在第 n年末，第一年所交纳的储金就变为 a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额，（1）写出 Tn 与 Tn-1(n2)的 递推关系；（2）求证：T n=An+Bn,其中A n是一个等比数列B n是一个等差数列。变式练习 4某城市 2009 年末汽车拥有量为 30 万辆，预计此后每年将上一年末汽车拥有量的 6%报废 ，并
11、且每年新增汽车数量相同， 为保护城市 环境，要求 该城市汽车拥有量不超过 60 万辆，从 2009 年末起， n 年后年末汽车拥有量为 bn+1 万辆，若每年末的拥有量不同。（1）求证：b n+1-bn为等比数列；（2）每年新增汽车数量不应超过多少辆？优 化 练 习一、选择题1首项为 b,公比为 a 的等比数列 bn的前 n 项和为 Sn,对任意的 n ,点（S n,Sn+1）在（ ）A直线 y=ax+b 上 B直线 y=bx+a 上 C直线 y= bx-a 上 D直线 y=ax-b 上2已知 an= (n ),则在数列 an的前 50 项中，最大项与最小项分4021别是（ ）Aa 1,a50
12、 Ba 50,a1Ca 21,a20 Da 20,a213.设 f1(x)= ( )等 于则且 20111 ,)()()(, afaxffxnnn A. B. 208)(209C. D. 11)(4.椭圆 P1，P 2，P n,椭圆的右焦点为 F，且数列个 不 同 的 点上 有 nyx342|PnF|是公差大于 （ ）的 最 大 值 为则的 等 差 数 列 ,105A2007 B2008 C2009 D20105定义：若数列a n对任意 正整数 n, 都有|a n+1|+an|=d(d 为常数)，则称a n为“绝对和数列” ，d 叫做“绝对公和” ，已知“绝对和数列”a n中，a 1=2, 绝
13、对公和为 3，则其前 2009 项的和 S2009 的最小值为（ ）A-2009 B-3010 C-3014 D3028二、填空题6函数 y= 图象上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数例，2)(1x则公比的取值范围是 7对于正整数 n，设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线斜率为-a ，则数列a n的前n 项和 Sn= 8设a n是公比为 q 的等比数例，其前 n 项的积为 Tn，并且满足条件a11,a99a10010, .给出下列结论:01900 且 b1，所以 n2 时，a n是以 b 为公比的等比数列，又 a1=b+r, a2=b(b-1)，即 ，解得 r=-1r)(（2）
14、由（1）知 an=2n-1因此 bn=2n(n )*N所证不等式为 1242 n当 n=1 时，左式 = ，右式 = ，3左式右式，所以结论成立。假设 n=k 时结论成立，即 12412 k则当 n=k+1 时，要证当 n=k+1123)()(3 kk时结论成立，只需证 ，212即证 ，)(3kk由均值不等式可得：成立)2(12)1(2k故 成立，3k所以，当 n=k+1 时，结论成立。由（1） （2）可知，n 时，*N不等式 成立。1121 nbbn二、例题答案例 1：（1）f(a n)=4+(n-1)2=2n+2即 ，可得 an=a2n+2loga 为定值22)1(1nnna n为等比数列
15、。（2） 222)(log)( nnanaafb当 a= 时， 1)(nSn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -，得-Sn=22 3+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+14)(nn=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3S n=n2n+3（3） anaaCnnn lg)2(lgl22 要使 对一切 n2 成立，1即 对一切 n2 都成立。l)(lg当 a1 时，即 n1 时，借助导数几何意义知，P k(ak, 0), Qk+1(ak+1, a(k+1)k)。k(ak+1)k-1= ，,)
16、(1ka1k则数列a n是首项为 ，公比为 的等比数列。即可得到： .*,)1(Nnk（2） 1)1( )()10 210 knCkCCannnn（3）设 ,211nn aaS则 nkkk 21= ，1321naa两式相减，得 12)( nnaSk,112naa即 ,11)(kkSkn即 .n2例 4：（1） ),2()(*1NnarTn（2） 反复使用上述关系式，得2,a以 nnnn arrrT )1()()(21= ,2a在式两端同乘 1+r，得).1()(1212rarnTn n -得， .)()(21nnnn rrd ）（= narrd)1()1(即 22rdaTnn 如果记 ,nrB
17、rdA11,)(则 .nn其中A n是以 为首项，以 1+r(r0)为公比的等比数列；B n是)1(2ra以 为首项， 为公 差 的 等 差 数 列 。rda21d三、变式训练1、 （1）由已知得 b1=a1=1，且 ,nna211即 ，nnb2从而 ，123,)(1nbn于是 )2(12121 nn又 b1=1，故所求数列 bn的通项公式为 .1nb（2）由(1)知 11)(nna令 ，则 ，kT1nkT12于是 .42110nnnkn又 ，所以nk1)( 2)(1nnS2、 （1）在 中，令 n=1，可得21(naS即 .,1当 n2 时， ,)(2nn ,111naSa 即,)2(n 2
18、1nn ,b1nb即当 n2 时， 又 ,11a数列b n是首项和公差均为 1 的等差数列于是 .,21)(nnabn2（2）由（1）得 ，所以nc)1(.)2()2(4)1(33nnT1211 n由-得 132 )2()()1( nTn= 1)(214nn= 3n T)12(3125nn于是确定 的大小关系等价于比较T与 .12的 大 小与 n由 ;4;3;2可猜想当 n3 时，2 n2n+1，证明如下。法一：（1）当 n=3 时， ，由上验算显然成立。（2）假设当 n=k(k)时，猜想成立，即 2k2k+1.当 24)12(1 kkkk时 ，= )2()(所以，当 n=k+1 时，猜想也成立。综合（1） （2）可知，对一切 n3 的正整数，都有 2n2n+1.法二：当3 时， 1)(1 10120 nCCn nnn综上所述，当 n=1、2 时， ；5当 n3 时， .1nT
