（江苏专用）2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 理（课件+习题）（打包19套）.zip

1课时跟踪检测（四） 函数的概念及其表示 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数 f(x)＝ ＋log 2(6－ x)的定义域是________．x＋ 3解析：要使函数有意义应满足Error!解得－3≤ x3a2，则 a 的取值范围是________．解析：由题意知 f(1)＝2＋1＝3， f(f(1))＝ f(3)＝3 2＋6 a，若 f(f(1))3a2，则 9＋6 a3a2，即 a2－2 a－3g(f(x))的 x 的值是________．解析：当 x＝1 时， f(g(1))＝1， g(f(1))＝3，不满足 f(g(x))g(f(x))；当 x＝2 时，f(g(2))＝3， g(f(2))＝1，满足 f(g(x))g(f(x))；当 x＝3 时， f(g(3))＝1， g(f(3))＝3，不满足 f(g(x))g(f(x))．答案：2 5．已知函数 f(x)＝Error!当 t∈[0,1]时， f(f(t))∈[0,1]，则实数 t 的取值范围是________．解析：当 t∈[0,1]时， f(t)＝3 t∈[1,3]；当 3t＝1，即 t＝0 时， f(1)＝3∉[0,1]，不符合题意，舍去；当 3t∈(1,3]时， f(3t)＝ － ×3t∈[0,1]，由 f(3t)＝ － ×3t≥0，得92 32 92 323t≤3，所以 t≤1；由 f(3t)＝ － ×3t≤1，得 3t≥ ，所以 t≥log 3 .综上所述，实数 t92 32 73 7的取值范围是 .[log373， 1]3答案： [log373， 1]6．(2016·南京一中检测)已知 f(x)＝Error!若 f(a)＝ ，则 a＝________.12解析：若 a≥0，由 f(a)＝ 得， a ＝ ，解得 a＝ ；12 12 12 14若 an)，映射 f由下表给出：(x， y) (n， n) (m， n) (n， m)f(x， y) n m－ n m＋ n则使不等式 f(2x， x)≤4 成立的 x 的集合是________．解析：∵∀ x∈N *，都有 2xx， ∴ f(2x， x)＝2 x－ x，则 f(2x， x)≤4⇔2 x－ x≤4( x∈N *)⇔2x≤ x＋4( x∈N *)，当 x＝1 时，2 x＝2， x＋4＝5,2 x≤ x＋4 成立；当 x＝2 时，2 x＝4， x＋4＝6,2 x≤ x＋4 成立；当 x≥3( x∈N *)时，2 xx＋4.故满足条件的 x 的集合是{1,2}．答案：{1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关系： y＝＋ mx＋ n(m， n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距x2200离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)的关系图．(1)求出 y 关于 x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过 25.2 米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得Error!解得 m＝ ， n＝0，所以 y＝ ＋ (x≥0)．1100 x2200 x100(2)令 ＋ ≤25.2，得－72≤ x≤70.x2200 x100∵ x≥0，∴0≤ x≤70.故行驶的最大速度是 70 千米/时．1课时跟踪检测（十） 对数与对数函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·徐州调研)函数 y＝ 的定义域是________．log 2x－ 1解析：由 log (2x－1)≥0⇒01， b＝log 29－log 2 ＝log 23 ＝ a， c＝log 32c4．(2015·安徽高考)lg ＋2lg 2－ －1 ＝________.52 (12)解析：lg ＋2lg 2－ －1 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2－252 (12)＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.答案：－15．函数 y＝log 2|x＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．解析：作出函数 y＝log 2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数y＝log 2|x|的图象，再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数y＝log 2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数 y＝log 2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)2 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数 f(x)＝| x－2|－ln x 在定义域内零点的个数为________．解析：在同一坐标系中分别作函数 y＝| x－2|与 y＝ln x 的图象如图所示．由图可知 y＝| x－2|与 y＝ln x 有 2 个交点，所以函数 f(x)零点的个数为 2.答案：22．(2016·无锡五校联考)已知函数 f(x)＝Error!则 f(f(1))＋ f 的值是(log312)________．解析：由题意可知 f(1)＝log 21＝0，f(f(1))＝ f(0)＝3 0＋1＝2，f ＝3 ＋1＝3 ＋1＝2＋1＝3，(log312) -loglog所以 f(f(1))＋ f ＝5.(log312)答案：53．设 a＝log 3 ， b＝log 5 ， c＝log 7 ，则 a， b， c 的大小关系为________．2 2 2解析：因为log3 ＝log 32－1，log 5 ＝log 52－1，log 7 ＝log 72－1，log 32log52log72，故 abc.2 2 2答案： abc4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln ＋2－1＋log 23＝______.e解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10 －3 ＋ln e ＋2log 2 ＝2－3＋ ＋ ＝1.12 3 12 32答案：15．若函数 f(x)＝log a (a0， a≠1)在区间 内恒有 f(x)0，则 f(x)的(x2＋32x) (12， ＋ ∞ )单调递增区间为________．解析：令 M＝ x2＋ x，当 x∈ 时， M∈(1，＋∞)， f(x)0，所以 a1.所以函32 (12， ＋ ∞ )数 y＝log aM 为增函数，又 M＝ 2－ ，因此 M 的单调递增区间为 .又(x＋34) 916 (－ 34， ＋ ∞ )3x2＋ x0，所以 x0 或 x1.答案：(1，＋∞)8．(2016·苏州四市调研)函数 f(x)＝log 2 ·log (2x)的最小x 2值为______．解析：依题意得 f(x)＝ log2x·(2＋2log 2x)＝(log 2x)122＋log 2x＝ 2－ ≥－ ，(log2x＋12) 14 14当且仅当 log2x＝－ ，即 x＝ 时等号成立，12 22因此函数 f(x)的最小值为－ .14答案：－1449．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f(0)＝0，当 x0 时， f(x)＝log x.12(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x2－1)－2.解：(1)当 x0，则 f(－ x)＝log (－ x)．12因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－ x)＝ f(x)．所以函数 f(x)的解析式为f(x)＝Error!(2)因为 f(4)＝log 4＝－2， f(x)是偶函数，1所以不等式 f(x2－1)－2 可化为 f(|x2－1|) f(4)．又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以| x2－1|0 且 a≠1)．(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集．解：(1)要使函数 f(x)有意义．则Error! 解得－11 时， f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，所以 f(x)0⇔ 1，解得 00 的 x 的解集是(0,1).  三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数 f(x)＝log a(2x－ a)在区间 上恒有 f(x)0，则实数 a 的取值范围是[12， 23]________．解析：当 00，即[12， 23] (43－ a)501 时，函数 f(x)在区间 上是增函数，所以 loga(1－ a)0，即 1－ a1，解得[12， 23]a0，解得－ b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故 b＝1.所以1－ xb＋ xf(x)＝log a (0k·g(x)恒成立，求实数 k 的取值x范围．解：(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log2x＝－2(log 2x－1) 2＋2，因为 x∈[1,4]，所以 log2x∈[0,2]，故函数 h(x)的值域为[0,2]．(2)由 f(x2)·f( )k·g(x)，x得(3－4log 2x)(3－log 2x)k·log2x，令 t＝log 2x，因为 x∈[1,4]，所以 t＝log 2x∈[0,2]，所以(3－4 t)(3－ t)k·t 对一切 t∈[0,2]恒成立，①当 t＝0 时， k∈R；②当 t∈(0,2]时， k 恒成立， 3－ 4t  3－ tt即 k4t＋ －15，9t因为 4t＋ ≥12，当且仅当 4t＝ ，即 t＝ 时取等号，9t 9t 326所以 4t＋ －15 的最小值为－3.9t综上，实数 k 的取值范围为(－∞，－3)．1课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数 f(x)＝ － x 的图象关于________对称．1x解析：因为函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个 x，都有 f(－ x)＝－ ＋ x＝－ f(x)，所以函数 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．1x答案：原点2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于 y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数又是偶函数．其中正确的结论是________(填序号)．解析：函数 y＝ 是偶函数，但不与 y 轴相交，故①错；函数 y＝ 是奇函数，但不过1x2 1x原点，故②错；由偶函数的性质，知③正确；函数 f(x)＝0 既是奇函数又是偶函数，故④错．答案：③3．(2016·南通调研)设函数 f(x)为偶函数，当 x∈(0，＋∞)时， f(x)＝log 2x，则f(－ )＝________.2解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－ )＝ f( )＝log 2 ＝ .2 2 212答案：124．设奇函数 f(x)的定义域为[－6,6]．若当 x∈[0,6]时， f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集是________．解析：奇函数的图象关于原点对称，作出函数 f(x)在[－6,0]上的图象(图略)，由图象，可知不等式 f(x)0 的解集是[－6，－2)∪(0,2)．答案：[－6，－2)∪(0,2)5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x)＝ ＋1，则当 x0 时， f(x)＝ ＋1，x∴当 x0，f(x)＝－ f(－ x)＝－( ＋1)，－ x2即 x0 的解集是________________．解析：由题意，可作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图象可得不等式 f(x)0 的解集是(－5，－2)∪(0,2)．答案：(－5，－2)∪(0,2)2．已知 f(x)， g(x)是定义在 R 上的函数， h(x)＝ f(x)·g(x)，则 “f(x)， g(x)均为偶函数”是“ h(x)为偶函数”的________条件(填“充要” “充分不必要” “必要不充分” “既不充分又不必要”)．解析：一方面，若 f(x)， g(x)均为偶函数，则 f(－ x)＝ f(x)， g(－ x)＝ g(x)，因此，h(－ x)＝ f(－ x)g(－ x)＝ f(x)g(x)＝ h(x)，∴ h(x)是偶函数；另一方面，若 h(x)是偶函数，但 f(x)， g(x)不一定均为偶函数，事实上，若 f(x)， g(x)均为奇函数， h(x)也是偶函数，因此， “f(x)， g(x)均为偶函数”是“ h(x)为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数 x≥0，都有f(x＋2)＝ f(x)，且当 x∈[0,2)时 f(x)＝log 2(x＋1)，则 f(－2 015)＋ f(2 016)的值为________________．解析：因为 f(x)是奇函数，且周期为 2，所以 f(－2 015)＋ f(2 016)＝－ f(2 015)＋ f(2 016)＝－ f(1)＋ f(0)．又当 x∈[0,2)时， f(x)＝log 2(x＋1)，所以 f(－2 015)＋ f(2 016)＝－1＋0＝－1.答案：－14．已知函数 y＝ f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，－ x0 的(12)x 的集合为________________________________________________________________________．解析：由奇函数 y＝ f(x)在(0，＋∞)上递增，且 f ＝0，得函数 y＝ f(x)在(12)(－∞，0)上递增，且 f ＝0，(－12)∴ f(x)0 时， x 或－ 0 的 x 的集合为Error!.答案：Error!7．已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)－ g(x)＝ x，则(12)f(1)， g(0)， g(－1)之间的大小关系是______________．解析：在 f(x)－ g(x)＝ x中，用－ x 替换 x，(12)得 f(－ x)－ g(－ x)＝2 x，由于 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f(－ x)＝－ f(x)， g(－ x)＝ g(x)，因此得－ f(x)－ g(x)＝2 x.联立方程组解得 f(x)＝ ， g(x)＝－ ，2－ x－ 2x2 2－ x＋ 2x2于是 f(1)＝－ ， g(0)＝－1， g(－1)＝－ ，34 54故 f(1)g(0)g(－1)．答案： f(1)g(0)g(－1)8．(2016·启东中学检测)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：① f(x)＋ f(－ x)＝0；② f(x)＝ f(x＋2)；③当 0≤ x≤1 时， f(x)＝2 x－1，则 f ＋ f(1)＋ f (12)＋ f(2)＋ f ＝________.(32) (52)解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，4∴ f ＋ f(1)＋ f ＋ f(2)＋ f (12) (32) (52)＝ f ＋ f(1)＋ f ＋ f(0)＋ f (12) (－ 12) (12)＝ f ＋ f(1)－ f ＋ f(0)＋ f (12) (12) (12)＝ f ＋ f(1)＋ f(0)(12)＝2 －1＋2 1－1＋2 0－112＝ .2答案： 29．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x＝1 对称，当x∈[0,1]时， f(x)＝2 x－1.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x∈[1,2]时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋…＋ f(2 016)的值．解：(1)证明：函数 f(x)为奇函数，则 f(－ x)＝－ f(x)，函数 f(x)的图象关于 x＝1对称，则 f(2＋ x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(4＋ x)＝ f[(2＋ x)＋2]＝－ f(2＋ x)＝ f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数．(2)当 x∈[1,2]时，2－ x∈[0,1]，又 f(x)的图象关于 x＝1 对称，则 f(x)＝ f(2－ x)＝2 2－ x－1， x∈[1,2]．(3)因为 f(0)＝0， f(1)＝1， f(2)＝0， f(3)＝ f(－1)＝－ f(1)＝－1.又 f(x)是以 4 为周期的周期函数．所以 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋…＋ f(2 016)＝ f(0)＝0.10．(2016·南京一中检测)已知 f(x)是偶函数，定义 x≥0 时， f(x)＝Error!(1)求 f(－2)；(2)当 x3，所以 f(x)＝ f(－ x)＝(－ x－3)( a＋ x)＝－( x＋3)( a＋ x)，所以当 xf(x)，则实数 x 的取值范围是________．解析：设 x0，则－ x0)，∴ f(x)＝Error!其图象如图所示．由图象知，函数 f(x)在 R 上是增函数．∵ f(2－ x2)f(x)，∴2－ x2x，即－2 x1.所以实数 x 的取值范围是(－2,1)．答案：(－2,1)2．(2016·海安中学月考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 a， b∈R 都满足 f(ab)＝ af(b)＋ bf(a)，则 f(x)是________(填“奇”或“偶”)函数．6解析：由题意，得 f(－ x)＝ f [(－1)· x]＝－ f(x)＋ xf(－1)．令 a＝ b＝1，得 f(1)＝ f(1)＋ f(1)，所以 f(1)＝0.令 a＝ b＝－1，得 f [(－ 1)×(－1)]＝－ f(－1)－ f(－1)，所以 f(1)＝－2 f (－1)，所以 f(－1)＝0.所以 f(－ x)＝－ f(x)＋0＝－ f(x)，即 f(x)为奇函数．答案：奇3．函数 f(x)的定义域为 D＝{ x|x≠0}，且满足对任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)．(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)＝1， f(x－1)2, 且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解：(1)∵对于任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)，∴令 x1＝ x2＝1，得 f(1)＝2 f(1)，∴ f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令 x1＝ x2＝－1，有 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)，∴ f(－1)＝ f(1)＝0.12令 x1＝－1， x2＝ x，有 f(－ x)＝ f(－1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3)依题设有 f(4×4)＝ f(4)＋ f(4)＝2，由(2)知， f(x)是偶函数，∴ f(x－1)2⇔ f(|x－1|) f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0| x－1|16，解之得－15 x17 且 x≠1.∴ x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．1课时跟踪检测（十二） 函数模型及其应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知某种产品今年产量为 1 000 件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则 3 年后的产量为________件．解析：1 000×(1＋10%) 3＝1 331.答案：1 3312．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015 年 5 月 1 日 12 35 0002015 年 5 月 15 日 48 35 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，而行驶的路程为 35 600－35 000＝600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48÷6＝8(升)．答案：83．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位：m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位：kg)的函数关系式为 v＝2 000ln .当燃料质量(1＋Mm)是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到 12 km/s.解析：由 2 000ln ＝12 000，得 1＋ ＝e 6，所以 ＝e 6－1.(1＋Mm) Mm Mm答案：e 6－14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．解析：由题图，易求得 y 与 x 的关系式为y＝－( x－6) 2＋11，则 ＝12－ ≤12－10＝2，yx (x＋ 25x)∴ 有最大值 2，此时 x＝5.yx答案：55．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了 n 次涨停2(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为________．①略有盈利；②略有亏损；③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况．解析：设该股民购这只股票的价格为 a，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋10%)n＝ a×1.1n，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝ a×1.1n×0.9n＝0.99 n·a0)．则当年广告费投入______万元时，该公司的年利润最大．512 (x2＋ 8x)解析：由题意得 L＝ － ＝ － 2(x0)．当 － ＝0，即 x＝4 时， L512 (x2＋ 8x) 432 12(x－ 4x) x 4x取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．答案：47.某人根据经验绘制了 2016 年春节前后，从 12 月 21 日至 1 月8 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿______千克．解析：前 10 天满足一次函数关系，设为 y＝ kx＋ b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得Error!解得 k＝ ， b＝ ，所以 y＝ x＋ ，则当 x＝6 时， y＝ .209 709 209 709 1909答案：19098．某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元，则 x 的最小值是______．解析：由题意知七月份的销售额为 500(1＋ x%)，八月份的销售额为 500(1＋ x%)2，则一月份到十月份的销售总额是 3 860＋500＋2[500(1＋ x%)＋500(1＋ x%)2]，根据题意有 3 860＋500＋2[500(1＋ x%)＋500(1＋ x%)2]≥7 000，即 25(1＋ x%)4＋25(1＋ x%)2≥66，令 t＝1＋ x%，则 25t2＋25 t－66≥0，解得 t≥ 或 t≤－ (舍去)，65 115故 1＋ x%≥ ，65解得 x≥20.故 x 的最小值为 20.答案：209.如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米， CD＝6 米．为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上．(1)设 MP＝ x 米， PN＝ y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值．解：(1)作 PQ⊥ AF 于 Q，所以 PQ＝(8－ y)米，EQ＝( x－4)米．又△ EPQ∽△ EDF，所以 ＝ ，即 ＝ .EQPQ EFFD x－ 48－ y 42所以 y＝－ x＋10，12定义域为{ x|4≤ x≤8}．(2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，则 S(x)＝ xy＝ x ＝－ (x－10) 2＋50，(10－x2) 12S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x＝10，所以当 x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当 x＝8 米时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米．10．一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .14 22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0100，最大值为 s(40)＝736.2132综上，这种商品日销售额 s(t)的最大值为 808.5.答案：808.53．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放 k(1≤ k≤4，且 k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化的函数关系式近似为 y＝ k·f(x)，其中 f(x)＝Error!若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4 克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为 3 克/升，求 k的值；(2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放 2 个单位的洗衣液，10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液，则在第 12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．解：(1)由题意知 k ＝3，(248－ 2－ 1)∴ k＝1.(2)因为 k＝4，所以 y＝Error!当 0≤ x≤4 时，由 －4≥4，解得－4≤ x4，(7－12×12) [ 248－  12－ 10 － 1]所以在第 12 分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．1课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数 y＝ f(x)的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是________．解析：由函数的图象易知，函数 f(x)的单调减区间是[－3，－1]和[1,2]．答案：[－3，－1]和[1,2]2．函数 f(x)＝| x－2| x 的单调减区间是________．解析：由于 f(x)＝| x－2| x＝Error!结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．答案：[1,2]3．(2016·学军中学检测)已知函数 f(x)＝| x＋ a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a的取值范围是________．解析：因为函数 f(x)在(－∞，－ a)上是单调函数，所以－ a≥－1，解得 a≤1.答案：(－∞，1]4．函数 f(x)＝ 在区间[ a， b]上的最大值是 1，最小值是 ，则 a＋ b＝________.1x－ 1 13解析：易知 f(x)在[ a， b]上为减函数，∴Error! 即Error!∴Error!∴ a＋ b＝6.答案：65．已知函数 f(x)＝ x2－2 ax－3 在区间[1,2]上具有单调性，则实数 a 的取值范围为________________．解析：函数 f(x)＝ x2－2 ax－3 的图象开口向上，对称轴为直线x＝ a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞， a]和[ a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数 f(x)＝ x－ a 在[1,4]上单调递增，则实数 a 的最大值为________．x解析：令 ＝ t，所以 t∈[1,2]，即 f(t)＝ t2－ at，由 f(x)在[1,4]上递增，知 f(t)x2在[1,2]上递增，所以 ≤1，即 a≤2，所以 a 的最大值为 2.a2答案：22．已知函数 f(x)＝ ，则该函数的单调增区间为________．x2－ 2x－ 3解析：设 t＝ x2－2 x－3，由 t≥0，即 x2－2 x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝ x2－2 x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函数 t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数 f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知函数 f(x)＝Error!( a0 且 a≠1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是________．解析：由 f(x)在 R 上是减函数，得 00 在 xf(a＋3)，则实数 a 的取值范围为________．解析：由已知可得Error!解得－33.所以实数 a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．设函数 f(x)＝Error! g(x)＝ x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________．解析：由题意知 g(x)＝Error!函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．(2016·苏州调研)已知函数 f(x)＝ － (a0， x0)，1a 1x(1)求证： f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若 f(x)在 上的值域是 ，求 a 的值．[12， 2] [12， 2]解：(1)证明：任取 x1x20，则 f(x1)－ f(x2)＝ － － ＋ ＝ ，1a 1x1 1a 1x2 x1－ x2x1x2∵ x1x20，∴ x1－ x20， x1x20，∴ f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知 f(x)在 上为增函数，[12， 2]∴ f ＝ －2＝ ， f(2)＝ － ＝2，(12) 1a 12 1a 12解得 a＝ .2510．已知 f(x)＝ (x≠ a)．xx－ a4(1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．解：(1)证明：任设 x10， x1－ x20， x2－ x10，∴要使 f(x1)－ f(x2)0，只需( x1－ a)(x2－ a)0 在(1，＋∞)上恒成立，∴ a≤1.综上所述， a 的取值范围是(0,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数 f(x)＝Error!是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围是________．解析：由题意得Error!解得 ≤ k0，故需Error!解得 2 ≤ a1 时，(x1x2)f(x)0，代入得 f(1)＝ f(x1)－ f(x1)＝0，故 f(1)＝0.(2)证明：任取 x1， x2∈(0，＋∞)，且 x1x2，则 1，由于当 x1 时， f(x)0，x1x2所以 f 0，(x1x2)即 f(x1)－ f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵ f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴ f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)．由 f ＝ f(x1)－ f(x2)得，(x1x2)f ＝ f(9)－ f(3)，(93)而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2.∴ f(x)在[2,9]上的最小值为－2.1课时跟踪检测（八） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．解析：依题意可设 f(x)＝ a(x－2) 2－1，∵图象过点(0,1)，∴4 a－1＝1，∴ a＝ .12∴ f(x)＝ (x－2) 2－1.12答案： f(x)＝ (x－2) 2－1122．已知幂函数 f(x)＝ k·xα 的图象过点 ，则 k＋ α ＝________.(12， 22)解析：由幂函数的定义知 k＝1.又 f ＝ ，所以 α ＝ ，解得 α ＝ ，从而(12) 22 (12) 22 12k＋ α ＝ .32答案：323．函数 f(x)＝2 x2－ mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时， f (x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时， f(x)是减函数，则 f(1)的值为________．解析：函数 f(x)＝2 x2－ mx＋3 图象的对称轴为直线 x＝ ，由函数 f(x)的增减区间可m4知 ＝－2，∴ m＝－8，即 f(x)＝2 x2＋8 x＋3，∴ f(1)＝2＋8＋3＝13.m4答案：134．函数 f(x)＝( m2－ m－1) xm是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的值是________．解析： f(x)＝( m2－ m－1) xm是幂函数⇒ m2－ m－1＝1⇒ m＝－1 或 m＝2.又 x∈(0，＋∞)上是增函数，所以 m＝2.答案：25．若幂函数 y＝ f(x)的图象过点 ，则 y＝ f(x2－2 x)的单调减区间为________．(2，22)解析：设 f(x)＝ xα ，则由 2α ＝ ＝2－ ，得 α ＝－ ，所以 f(x)＝ x－ ＝ ，该函22 12 12 12 1x数是定义在(0，＋∞)上的单调减函数．而 u＝ x2－2 x 在(－∞，1)上为单调减函数，在2(1，＋∞)上为单调增函数，且 u＝ x2－2 x0，得 x2 或 x0 时，图象开口向上，所以 x＝2 时取得最大值， f(2)＝4 a＋4 a＋1＝4，解得 a＝ ；当 a0，解得－10，得－31 时， φ (x)2，当 x－2，所以 φ (x)－2，故此时 a≤－2.综合①②，得所求实数 a 的取值范围是(－∞，－2]．(2)h(x)＝Error!①当－ ≤0 时，即 a≥0，(－ x2－ ax＋ a＋1) max＝ h(0)＝ a＋1，a2(x2＋ ax－ a－1) max＝ h(2)＝ a＋3.此时， h(x)max＝ a＋3.②当 02 时，a2即 a－4，(－ x2－ ax＋ a＋1) max＝ h(1)＝0，(x2＋ ax－ a－1) max＝ h(1)＝0.此时 h(x)max＝0.综上： h(x)max＝Error!1课时跟踪检测（十一） 函数与方程 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若函数 f(x)＝ ax＋1 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a的取值范围是________．解析：由题意知， f(－1)· f(1)1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数 f(x)＝2 alog2x＋ a·4x＋3 在区间 上有零点，则实数 a的取值范围是(12， 1)________．解析：函数 f(x)在 上是单调函数，又 f ＝30，则根据零点存在性定理，应满(12， 1) (12)足 f(1)＝4 a＋30， ∈Z 且 2x＋ 10能被 ＋1 整除并且商为自然数，所以有如下几种情10－ x 10－ x况：当 2x＋10＝0，即 x＝－5 时， m＝0；当 x＝1 时， m＝3；当 x＝9 时， m＝14；当 x＝10 时， m＝30.综上所述， m的取值集合为{0,3,14,30}．答案：{0,3,14,30}4．设函数 y＝ f(x)满足 f(x＋2)＝ f(x)，且当 x∈[－1,1]时， f(x)＝| x|，则函数 g(x)＝ f(x)－sin x在区间[－π，π]上的零点个数为________．3解析：要求函数 g(x)＝ f(x)－sin x的零点，即求方程 f(x)－sin x＝0 的根，将其转化为 f(x)＝sin x的根，进一步转化为函数 y＝ f(x)与函数 y＝sin x的图象交点的问题．在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上有 3个交点．答案：35．(2015·南京三模)已知 a， t为正实数，函数 f(x)＝ x2－2 x＋ a，且对任意的x∈[0， t]，都有 f(x)∈[－ a， a]．若对每一个正实数 a，记 t的最大值为 g(a)，则函数g(a)的值域为________．解析：因为 f(x)＝( x－1) 2＋ a－1，且 f(0)＝ f(2)＝ a；当 a－1≥－ a，即 a≥ 时，此时，恒有[ a－1， a]⊆[－ a， a]，故 t∈(0,2]，从而 g(a)12＝2；当 a－10和 k1或 k0.∴ f(x)min＝ f(1)＝－4 a＝－4， a＝1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x2－2 x－3.(2)∵ g(x)＝ －4ln x＝ x－ －4ln x－2( x0)，x2－ 2x－ 3x 3x∴ g′( x)＝1＋ － ＝ .3x2 4x  x－ 1  x－ 3x2令 g′( x)＝0，得 x1＝1， x2＝3.当 x变化时， g′( x)， g(x)的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g′( x) ＋ 0 － 0 ＋7g(x)  极大值  极小值 当 0x≤3 时， g(x)≤ g(1)＝－40.又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1个零点．故 g(x)在(0，＋∞)上仅有 1个零点．