1、双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程0(,)xy21xyb0是 .21ab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切0(,)Pxy2xy线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程
2、是 .021xyb7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任b意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , xy (0)()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0F9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和
3、A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为xyb ),(0yxAB 的中点，则 ，即 。02yxKABO 02yaxbAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的0(,)Pxy1b方程是 .2002xa13. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方0(,)xy21yb程是 .202xyab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴21xyb1(0)Aa2()平行的直线交双曲线于 P1、
4、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .21xb2. 过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互2xyb0(,)xy补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxka3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,21xybF1, F 2 是焦点, , ，则 （或12PF21Ftant2cco）.tantcco4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）21xyb为双曲线上任意一点，在PF 1F2 中，记 , ,12P12P，则有 .12FPsin()cea5. 若双曲线 （a0,b0
5、）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为21xybL，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线2xyb内一定点，则 ,当且仅当 三点共线且 和1|AFPF2,P在 y 轴同侧时，等号成立.2,7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条21xyb0AxByC件是 .2ABC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3）221|24ab
6、的最小值是 .OPQSab9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于21xyM,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的21xyb垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或 .()x20ab20abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 221yb为其焦点记 ，则(1) .(2) .12F212|cosbPF12cotPSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的xyb一点， , , ，c、e
7、分别是双曲线的半焦距离PBA心率，则有(1) .2|cos|(2) .(3) .2tan1e2ctPABabS13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲2xyblE线右焦点 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且FCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BCx14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
