1、1.4.1 全称量词与存在量词（一）量词教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。问题 1：请你给下列划横线的地方填上适当的词一 纸；一 牛；一 狗；一 马；一 人家；一 小船张头条匹户叶什么是量词？这
2、些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛” “一头狗” “一只鱼”的笑话来。二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。问题 2：下列命题中含有哪些量词？（1 ）对所有的实数 x，都有 x20 ；（2 ）存在实数 x，满足 x20 ；（3 ）至少有一个实数 x，使得 x22 0 成立；（4 ）存在有理数 x，使得 x
3、22 0 成立；（5 ）对于任何自然数 n，有一个自然数 s 使得 s = n n；（6 ）有一个自然数 s 使得对于所有自然数 n，有 s = n n；上述命题中含有：“所有的” 、 “存在” 、 “至少” 、 “任何”等表示全体和部分的量词。三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有” 、 “任何” 、 “一切”等。其表达的逻辑为：“ 对宇宙间的所有事物 x 来说，x都是 F。 ”例句：“ 所有的鱼都会游泳。 ”存在量词：如“有” 、 “有的” 、 “有些”等
4、。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物 x，x 是F。 ”例句：“有的工程师是工人出身。 ”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S 是 P”。例句：“这件事是我经办的。 ”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个” “某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有 S 是 P”。例句：“所有产品都是一等品” 。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都” 等副词、 “人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。 ”特称命题：其公式为“有的 S 是 P”。例句：“大多数学生星期
5、天休息” 。特称命题使用存在量词，如“有些” 、 “很少” 等，也可以用“基本上” 、 “一般” 、 “只是有些 ”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。问题 3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1 ）方程 2x=5 只有一解；（2 ）凡是质数都是奇数；（3 ）方程 2x21=0 有实数根；（4 ）没有一个无理数不是实数；（5 ）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6 ）集合 AB 是集合 A 的子集；分析：（1）存在性命题；（ 2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；四、数学理论1开语句：语句中含有变量 x 或 y，在没有给定这些变量的
6、值之前，是无法确定语句真假的这种含有变量的语句叫做开语句。如，x2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.2表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：(1) 全称量词 日常生活和数学中所用的“一切的” ， “所有的” ， “每一个” ， “任意的” ， “凡” ， “都”等词可统称为全称量词，记作 、 等，表示个体域里的所有个体。xy(2) 存在量词日常生活和数学中所用的“存在” ， “有一个” ， “有的” ， “至少有一个”等词统称为存在量词，记作 ， 等，表示个体域里有的个体。xy3含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式：“对
7、M 中的所有 x，p(x)” 的命题，记为: ,()xMp存在性命题的格式：“存在集合 M 中的元素 x，q(x)” 的命题，记为: ,qx注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母 A，实际上就是英语“any“中的首字母。存在量词就是“存在”、 “有” ，写成左右反过来的大写字母 E，实际上就是英语“exist“中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。五、巩固运用例 1 判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4）2,xR2,xR2,80xQ2,0分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；例 2 指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设 a=b，则有 a2=ab 第二
8、步：等式两边都减去 b2，得 a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以 a-b 得，a+b=b第五步：由 a=b 代人得，2b=b第六步：两边都除以 b 得，2=1分析：第四步错：因 a-b0，等式两边不能除以 a-b第六步错：因 b 可能为 0，两边不能立即除以 b，需讨论。心得：(a+b)(a-b )=b(a-b) a+b=b 是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由 2b=b 2=1 是存在性命题，不是全称命题。例 3 判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。（1 ）中国的所有江河
9、都注入太平洋；（2 ） 0 不能作除数；（3 ）任何一个实数除以 1，仍等于这个实数；（4 ）每一个向量都有方向；分析：（1）全称命题， 河流 x中国的河流，河流 x 注入太平洋；（2 ）存在性命题， 0R，0 不能作除数；（3 ）全称命题， xR， ；1（4 ）全称命题， ， 有方向；a六、回顾反思要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素 x，使命题 p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素 x，使命题 p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一
10、个元素 x，使命题 p(x)为假。即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。七、课后练习1判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A所有奇数都是质数 B 2,1xRC对每个无理数 x，则 x2 也是无理数 D每个函数都有反函数2将“x 2+y22xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ，都有 B ，都有,yR2y,xy2xyC ，都有 D ，都有0,x2x0,2x3判断下列命题的真假，其中为真命题的是A B2,1R2,1xRC D,sintaxx,sintax4下列命题中的假命题是（ ）A存在实数 和 ，使 cos(+)=coscos+sinsinB不存在无穷多个 和 ，使 cos(+ )=cos cos+sinsin C对任意 和 ，使 cos(+ )=cos cossinsinD不存在这样的 和 ，使 cos(+) coscos sinsin5对于下列语句（1 ） （2 ） 2,3xZ2,xR（3 ） （4 ）2,0Rx2,05其中正确的命题序号是 。 （全部填上）6命题 是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命2()1ab题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。参考答案：1 B2 A3 D4 B5 （ 2） （ 3）6不是全称命题，补充条件： （答案不惟一）1ab当 时, ，1ab0)()(2高考 试-题! 库
