（备战中考）中考数学新题分类汇编（中考真题+模拟新题）：圆的有关性质.doc

1、学优中考网 圆的有关性质一、选择题1. （2011 广东湛江 16,4 分）如图， 是 上的三点， ，则,ABCO30BAC度BOC【答案】602. （2011 安徽，7，4 分）如图， O 的半径是 1， A、 B、 C 是圆周上的三点， BAC=36，则劣弧 的长是（ ）BCA B C D 5 25 35 45【答案】B 3. （2011 福建福州，9，4 分）如图 2,以 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 切小圆于OAB点 ,若 ,则大圆半径 与小圆半径 之间满足（ ）C120AOBRrA B C D3Rr3r22RrO图 2【答案】C4. （2011 山东泰安，10 ，3 分）如图， O

2、 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= ，则 O6的半径为（ ）NMBAA. B.2 C. D.2 2【答案】A 5. （2011 四川南充市，9，3 分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽 AB 为 6分米，如果再注入一些油 后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）（A）6 分米 （B）8 分米 （C）10 分米 （D）12 分米【答案】C6. （2011 浙江衢州，1,3 分）一个圆形人工湖如图所示，弦 是湖上的一座桥，已知桥AB长 100m，测得圆周角 ，则这个人工湖的直径 为（ ）45AA. B. C. D. 502m102m15

3、02m20mAOBCD【答案】B7. （2011 浙江绍兴，4，4 分）如图， 的直径，点 在 上，若 ,ABO为 COA16C则 的度数是（ ）OCA. B. C. D. 74832(第 5 题图)BOCA【答案】C8. （2011 浙江绍兴，6，4 分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心 到水面的距离 是 6，则水面宽 是（ ）10OOCAB(第 8 题)学优中考网 (第 6 题图)A.16 B.10 C.8 D.6COAB【答案】A9. （2011 浙江省，5，3 分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它

4、们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（ ）A. 12 个单位 B. 10 个单位 C.4 个单位 D. 15 个单位【答案】B10（2011 四川重庆，6，4 分）如图， O 是A BC 的外接圆， OCB40则 A 的度数等于( )A 60 B 50 C 40 D 30【答案】B11. （2011 浙江省嘉兴，6，4 分）如图，半径为 10 的 O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的弦心距为（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第 6 题）ABO【答案】A12. （2011 台湾台北，16）如图(六)， 为圆

5、 O 的直径，直线 ED 为圆 O 的切线， A、 CBD两点在圆上， 平分 BAD 且交 于 F 点。若 ADE ，则 AFB 的度数AC19为何？A97 B104 C116 D142【答案】C 13. （2011 台湾全区，24）如图(六)， ABC 的外接圆上， AB、 BC、 CA 三弧的度数比为12：13：11自 BC 上取一点 D，过 D 分别作直线 AC、直线 AB 的并行线，且交 于 E、 F 两点，则BC EDF 的度数为何？A 55 B 60 C 65 D 70【答案】14. （2011 甘肃兰州，12，4 分）如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部，

6、BAC=90，OA=1，BC=6。则O 的半径为A6 B13 C D13213AB CO【答案】C15. （2011 四川成都，7,3 分）如图，若 AB 是0 的直径， CD 是 O 的弦， ABD=58， 则 BCD=（ B ）(A)116 (B)32 (C)58 （D)64学优中考网 OABDC【答案】B 16. （2011 四川内江，9，3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC=60,若O 的半径OC 为 2，则弦 BC 的长为A1 B C2 D233 OCAB【答案】D17. (2011 江苏南京，6，2 分)如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2，a）(a2)，半径为 2，

7、函数 y=x 的图象被P 的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是3A B C D32(第 6 题 )ABOPxyy=x【答案】B1. 18. （2011 江苏南通，8，3 分）如图， O 的弦 AB8， M 是 AB 的中点，且 OM3，则 O的半径等于A. 8 B. 2 C. 10 D. 5【答案】D19. （2011 山东临沂，6，3 分）如图，O 的直径 CD5cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，OM：OD3：5，则 AB 的长是（ ）A2cm B3cmC4cm D2 cm1【答案】C20（2011 上海，6，4 分）矩形 ABCD 中， AB8， ，点 P 在边 AB 上，且3

8、5BCBP3 AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心， PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）(A) 点 B、 C 均在圆 P 外； (B) 点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内；(C) 点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外； (D) 点 B、 C 均在圆 P 内【答案】C21. （2011 四川乐山 6，3 分）如图（3），CD 是 O 的弦，直径 AB 过 CD 的中点 M，若BOC=40，则ABD=A40 B60 C70 D80【答案】 C22. （2011 四川凉山州，9，4 分）如图， ，点 C 在 上，且点 C 不与10AOBOAA、B 重合，则 的度数为（ ）A

9、B 或 C D 或5080535013学优中考网 【答案】D23. （2011 广东肇庆，7，3 分）如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点，若 BAD 105，则 DCE 的大小是AB CDEA 115 B 105 C 100 D 95【答案】B24. （2011 内蒙古乌兰察布，9，3 分）如图， AB 为 O 的直径， CD 为弦， AB CD ，如果BOC = 70 ，那么A 的度数为（ ）0A . B . C . D . 753020 厘9厘OABC D【答案】B25. （2011 重庆市潼南,3,4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上,A=

10、30,则B的度数为 A15 B. 30 C. 45 D. 60CABO3题 图【答案】D26. （2011 浙江省舟山，6，3 分）如图，半径为 10 的 O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的弦心距为（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第 6 题）ABO【答案】A二、填空题1. （2011 浙江省舟山，15，4 分）如图， AB 是半圆直径，半径 OC AB 于点 O， AD 平分 CAB 交弧 BC 于点 D，连结 CD、 OD，给出以下四个结论： AC OD； ； ODE ADO； 其中正确结论的序号OEC ABCED2是 （第 16 题）ABO【答案】2. （2011

11、 安徽，13，5 分）如图， O 的两条弦 AB、 CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD，已知 CE=1， ED=3，则 O 的半径是 【答案】 53. （2011 江苏扬州，15,3 分）如图，O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若BAD=50，则学优中考网 ACD= 【答案】404. （2011 山东日照，14，4 分）如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 【答案】如： x2- x+1=0；55. （2011 山东泰安，23 ，3 分）如图， PA 与 O 相切，切点为 A， PO 交 O 于点

12、C，点 B是优弧 CBA 上一点，若 ABC=320， 则 P 的度数为 。【答案】26 06. （2011 山东威海，15，3 分）如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，若 AE=5,BE=1,则 AED= . 42CD【答案】 307. （2011 山东烟台，16,4 分）如图， ABC 的外心坐标是_.O xyBCA【答案】（2，1）8. （2011 浙江杭州，14，4）如图，点 A， B， C， D 都在 O 上， 的度数等于 84， CA是 OCD 的平分线，则 ABD 十 CAO= 【答案】539. （2011 浙江温州，14，5 分）如图， AB 是O 的直径，点

13、C， D 都在 O 上，连结CA， CB， DC， DB已知 D=30， BC3，则 AB 的长是 【答案】610（2011 浙江省嘉兴，16，5 分）如图， AB 是半圆直径，半径 OC AB 于点 O， AD 平分 CAB 分别交 OC 于点 E，交弧 BC 于点 D，连结 CD、 OD，给出以下四个结论：S AEC=2SDEO ； AC=2CD；线段 OD 是 DE 与 DA 的比例中项； 其中正ABCED2确结论的序号是 （第 16 题）ABDCOE学优中考网 【答案】11. （2011 福建泉州，16，4 分）已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个

14、数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即可）【答案】 2（符合答案即可）12. （2011 甘肃兰州，16，4 分）如图，OB 是O 的半径，点 C、D 在O 上，DCB=27，则OBD=度。ODBC【答案】6313. （2011 湖南常德，7，3 分）如图 2，已知 O 是 ABC 的外接圆，且 C =70，则 OAB =_. 2OBCA【答案】2014. （2011 江苏连云港，15，3 分）如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD=DO.以 O 为圆心， OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E，交 AB 于点 F， G，连接 EF.若 BAC=22，则

15、 EFG=_.【答案】 1215. （2011 四川广安， 19，3 分）如图 3 所示，若 O 的半径为 13cm，点 是弦 上一pAB动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 的长为_cmABPOBA【答案】2416. （ 2011 重庆江津， 16，4 分）已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,B=30,则D=-_.ABCD第 16 题图【答案】15017. (2011 重庆綦江，13，4 分) 如图,已知 AB 为 O 的直径， CAB30,则 D .【答案】：60 18. （2011 江西南昌，13，3 分）如图，在 ABC 中，点 P 是 ABC 的内心，则 PBC+ PCA+

16、 PAB= 度.第 13 题图【答案】9019. (2011 江苏南京， 13，2 分)如图，海边有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形（弓形的弧是O 的一部分）区域内，AOB=80 ，为了避免触礁，轮船 P 与A、B 的张角APB 的最大值为_图 3学优中考网 A BOP(第 13 题 )【答案】40 20（2011 上海，17，4 分）如图， AB、 AC 都是圆 O 的弦， OM AB， ON AC，垂足分别为M、 N，如果 MN3，那么 BC_ NMOCBA【答案】621. （2011 江苏无锡，18，2 分）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、 B 两点，

17、交 y轴的正半轴于点 C， D 为第一象限内 O 上的一点，若 DAB = 20，则 OCD = _yxOA BDC（第 18 题）【答案】6522. （2011 湖北黄石，14，3 分）如图（5）， ABC 内接于圆 O，若 B30 0.AC ，3则 O 的直径为 。【答案】223. （2011 湖南衡阳，16，3 分）如图， 的直径 过弦 的中点 G， EOD=40，OCDEF则 FCD 的度数为 【答案】 2024. （2011 湖南永州，8，3 分）如图，在O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，连接OB,CB，已知O 的半径为 2，AB= ,则BCD=_度3（第 8 题）EOCD

18、BA【答案】3025. (20011 江苏镇江,15,2 分)如图,DE 是O 的直径,弦 ABDE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则 OC=_,CD=_.答案：4，926. （2011 内蒙古乌兰察布，14，4 分）如图， 是半径为 6 的D 的 圆周，C 点是ABE41上的任意一点， ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 ABE学优中考网 厘14厘B DAEC【答案】 862p27. （2011 河北，16，3 分）如图 7，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心， AOC=108，点 D在 AB 的延长线上，BD=BC,则D=_图7A O DBC【答案】

19、2728. （2011 湖北荆州，12，4 分）如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是直径，B40，则ACD 的度数是 . ODA BC第 12 题图【答案】5029.30.三、解答题1. （2011 浙江金华，21，8 分）如图，射线 PG 平分 EPF， O 为射线 PG 上一点，以 O 为圆心，10 为半径作 O，分别与 EPF 两边相交于 A、 B 和 C、 D，连结 OA，此时有 OA PE.（1）求证： AP AO；（2）若弦 AB12，求 tan OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即 P、 A、 B、 C、 D、 O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四

20、个点为 或 或 .GFEOABDCP证明：（1） PG 平分 EPF， DPO= BPO ， OA/PE， DPO= POA ， BPO= POA， PA=OA； 2 分解：（2）过点 O 作 OH AB 于点 H，则 AH=HB= AB，1 分12 tan OPB= ， PH=2OH， 1 分12P设 OH= ，则 PH=2 ，x由（1）可知 PA=OA= 10 ， AH=PH PA=2 10，x ， ， 1 分22AH22(0)1解得 （不合题意，舍去）， ，08 AH=6， AB=2AH=12； 1 分（3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P

21、、 C、 O、 B.2 分(写对 1 个、2 个、3 个得 1 分，写对 4 个得 2 分)HPABCOD EFG2.（2011 浙江金华，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、 AB，并延长 AB 至点 D，使 DB AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、 F，点 E 为垂足，连结 CF.（1）当 AOB30时，求弧 AB 的长；（2）当 DE8 时，求线段 EF 的长；学优中考网 （3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与

22、 AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.FEDCBAO xy解：（1）连结 BC, A（10，0）, OA=10 ,CA=5, AOB=30, ACB=2 AOB=60,弧 AB 的长= ; 4 分351806OBDECFxyA（2）连结 OD, OA 是 C 直径, OBA=90,又 AB=BD, OB 是 AD 的垂直平分线, OD=OA=10,在 Rt ODE 中，OE= ,2DEO68102 AE=AO OE=10-6=4,由 AOB= ADE=90- OAB， OEF= DEA，得 OEF DEA, ,即 ， EF=3；4 分EFA684（3）设 OE

23、=x，当交点 E 在 O， C 之间时，由以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似 ， 有 ECF= BOA 或 ECF= OAB，当 ECF= BOA 时，此时 OCF 为等腰三角形，点 E 为 OC 中点，即 OE= ，25 E1（ ，0） ；当 ECF= OAB 时，有 CE=5-x, AE=10-x， CF AB,有 CF= ,2AB ECF EAD, ,即 ,解得： ,DCFE5104x310x E2（ ，0）;31OBDFCE A xyOBDFCE A xy当交点 E 在点 C 的右侧时， ECF BOA，要使 ECF 与 BAO 相似，只能使 ECF= BAO，连结

24、BE， BE 为 Rt ADE 斜边上的中线， BE=AB=BD, BEA= BAO, BEA= ECF, CF BE, ,OECBF ECF= BAO, FEC= DEA=Rt， CEF AED, ,AD而 AD=2BE, ,2即 , 解得 , 0（舍去） ，5210x41751x41752x E3（ ，0）;47学优中考网 OBDFC E A xy当交点 E 在点 O 的左侧时， BOA= EOF ECF .要使 ECF 与 BAO 相似，只能使 ECF= BAO连结 BE，得 BE= =AB， BEA= BAOAD21 ECF= BEA, CF BE, ,OECBF又 ECF= BAO,

25、 FEC= DEA=Rt， CEF AED, ，ADCF而 AD=2BE, ,2E , 解得 , 0（舍去）,5+210x41751x41752x点 E 在 x 轴负半轴上, E4（ ，0）,综上所述：存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似,此时点 E 坐标为：（ ，0） 、 （ ，0） 、 （ ，0） 、 （ ，0） 4 分125231341754E175OBDFCE A xy3. （2011 山东德州 22,10 分）观察计算当 ， 时， 与 的大小关系是_5a3b2ab当 ， 时， 与 的大小关系是_4探究证明如图所示， 为圆 O 的内接三角形， 为直径，过 C 作 于

26、 D，设 ，ABCABABaBD=b（1）分别用 表示线段 OC， CD；,a（2）探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系（用含 a， b 的式子表示）A BCO D归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出 与 的大小关系是：2ab_实践应用要制作面积为 1 平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值【答案】观察计算: ， = . 2 分2ab2ab探究证明：（1） ，ABDOC 3 分OCAB 为 O 直径, .90， ，90ABD A= BCD. . 4 分CDB .即 ,2ab . 5 分CA BCO D学优中考网 （2）当 时, , = ；abOCD2a

27、b时, , 6 分结论归纳: 7 分2ab实践应用设长方形一边长为 米,则另一边长为 米,设镜框周长为 l 米，则x1x 9 分12()l4当 ,即 （米）时,镜框周长最小x此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. 10 分4. （2011 山东济宁， 19， 6 分）如图， 为 外接圆的直径， ，垂足为ADBCADBC点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ， .FABCE(1) 求证： ； D(2) 请判断 ， ， 三点是否在以 为圆心，以 为半径的圆上？并说明理由.BCEFD(第 19 题)【答案】（1）证明： 为直径， ，ADB . . 3 分BC（2）答： ， ， 三点在以 为圆心，以

28、为半径的圆上 . 4 分E理由：由（1）知： ， .AAC ， ， ，DEDBBEABE . . 6 分B由（1）知： . .C ， ， 三点在以 为圆心，以 为半径的圆上. 7 分E5. （2011 山东烟台，25,12 分）已知： AB 是 O 的直径，弦 CD AB 于点 G， E 是直线AB 上一动点（不与点 A、 B、 G 重合），直线 DE 交 O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.设 O 的半径为 r.（1）如图 1，当点 E 在直径 AB 上时，试证明： OEOP r2（2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合题意

29、的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.【答案】（1）证明：连接 FO 并延长交 O 于 Q，连接 DQ. FQ 是 O 直径， FDQ90. QFD Q90. CD AB， P C90. Q C， QFD P. FOE POF， FOE POF. . OEOP OF2 r2.OEFP（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO 并延长交 O 于 M，连接 CM. FM 是 O 直径， FCM90， M CFM90. CD AB， E D90. M D， CFM E. POF FOE， POF FOE. ， OEOP OF2 r2.OPF6. （20

30、11 宁波市，25，10 分）阅读下面的情境对话，然后解答问题A BCDEFP.OG（图 1）.ABCDE.OG（图 2）学优中考网 （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在 Rt ABC 中， ACB90， AB c， AC b， BC a，且 b a，若 Rt ABC 是奇 异三角形，求 a： b： c；（3）如图， AB 是 O 的直径， C 是上一点（不与点 A、 B 重合）， D 是半圆 的中点， CDABD在直径 AB 的两侧，若在 O 内存在点 E 使得 AE AD， CB CE求证： ACE 是奇异三角形

31、； 1当 ACE 是直角三角形时，求 AOC 的度数 2【答案】解：（1）真命题（2）在 Rt ABC 中 a2 b2 c2， c b a02 c2 a2 b2，2 a2 c2 b2若 Rt ABC 是奇异三角形，一定有 2b2 c2 a22 b2 a2（ a2 b2） b22 a2 得： b a2 c2 b2 a23 a2 c a3 a： b： c1： ：2 3(3) AB 是O 的直径 ACBADB90 1在 Rt ABC 中， AC2 BC2 AB2在 Rt ADB 中， AD2 BD2 AB2点 D 是半圆 的中点ABD AD BD AD BD AB2 AD2 BD22 AD2 AC2

32、 CB22 AD2又CBCE，AEAD AC2 CE22 AE2 ACE 是奇异三角形由 可得 ACE 是奇异三角形 2 1 AC2 CE22 AE2当 ACE 是直角三角形时由（2）可得 AC： AE： CE1： ： 或 AC： AE： CE ： ： 12 3 3 2（）当 AC： AE： CE1： ： 时2 3AC： CE1： 即 AC： CB1：3 3 ACB90 ABC30 AOC2 ABC 60()当 AC： AE： CE ： ： 1 时3 2AC： CE ： 1 即 AC： CB ： 13 3 ACB90 ABC60 AOC2 ABC 120 AOC2 ABC 120 AOC 的度

33、数为 60或 1207. （2011 浙江丽水，21，8 分）如图，射线 PG 平分 EPF， O 为射线 PG 上一点，以 O 为圆心，10 为半径作 O，分别与 EPF 两边相交于 A、 B 和 C、 D，连结 OA，此时有 OA PE.（1）求证： AP AO；（2）若弦 AB12，求 tan OPB 的值；（3）若以图中已标明的点(即 P、 A、 B、 C、 D、 O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .GFEOABDCP【解】（1） PG 平分 EPF， DPO= BPO， OA/PE， DPO= POA， BPO= POA， PA=OA；（2）

34、过点 O 作 OH AB 于点 H，则 AH=HB， AB=12， AH=6，学优中考网 由（1）可知 PA=OA=10， PH=PA+AH=16，OH= =8，102 62tan OPB= = ；OHPH12（3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B.8. （2011 广东广州市，25，14 分）如图 7， O 中 AB 是直径， C 是 O 上一点， ABC=45，等腰直角三角形 DCE 中 DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上（1）证明： B、 C、 E 三点共线；（2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中

35、点，证明：MN= OM；2（3）将DCE 绕点 C 逆时针旋转 （090）后，记为D 1CE1（图 8），若 M1是线段 BE1的中点，N 1是线段 AD1的中点，M 1N1= OM1是否成立？若是，请证明；若不是，2说明理由ABCDEMNO图 7ABCD1 E1M1ON1图 8【答案】（1）AB 为O 直径ACB=90 DCE 为等腰直角三角形ACE=90BCE=90+90=180B、C、E 三点共线（2）连接 BD，AE，ONACB=90， ABC=45AB=ACDC=DEACB=ACE=90BCDACEAE=BD，DBE=EACDBE+BEA=90BDAEO，N 为中点ONBD，ON=

36、BD12同理 OMAE，OM= AE12OMON，OM=ONMN= OM2（3）成立证明：同（2）旋转后BCD 1=BCE 1=90ACD 1所以仍有BCD 1ACE 1，所以ACE 1是由BCD 1绕点 C 顺时针旋转 90而得到的，故 BD1AE 1其余证明过程与（2）完全相同9. （2011 浙江丽水，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(10，0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、 AB，并延长 AB 至点 D，使 DB AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、 F，点 E 为垂足，连结 CF.

37、（1）当 AOB30时，求弧 AB 的长；（2）当 DE8 时，求线段 EF 的长；（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.FEDCBAO xy【解】(1)连结 BC，FEDCBAO xy A(10，0)， OA=10， CA=5， AOB=30，学优中考网 CD = 1.15厘厘 yxC BAO ACB=2 AOB=60， 的长= = ；AB60 5180 53（2）连结 OD，FEDCBAO xy OA 是 C 的直径， OBA=90，又 AB= BD， OB 是 AD 的垂直平分线，

38、 OD= OA=10，在 Rt ODE 中，OE= = =6，OD2 DE2 102 82 AE= AO OE =106=4，由 AOB= ADE= 90 OAB， OEF= DEA，得 OEF DEA， = ，即 = ， EF=3；AEDEEFOE 48EF6FEDCBAO xy(3)设 OE=x，当交点 E 在 O， C 之间时，由以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似，有 ECF= BOA 或 ECF= OAB，当 ECF= BOA 时，此时 OCF 为等腰三角形，点 E 为 OC 的中点，即 OE= ，52 E1( ，0)；52当 ECF= OAB 时，有 CE=5 x，

39、 AE=10 x， CF/AB，有 CF= AB，12 ECF EAD， = ，即 = ，解得 x= ，CEAECFAD 5 x10 x14 103 E2( ，0)；103当交点 E 在 C 的右侧时， ECF BOA要使 ECF 与 BAO 相似，只能使 ECF= BAO，连结 BE， BE 为 Rt ADE 斜边上的中线， BE=AB=BD， BEA= BAO， BEA= ECF，学优中考网 CF/BE， = ，CFBEOCOE ECF= BAO， FEC= DEA=Rt， CEF AED， = ，CFADCEAE而 AD=2BE， = ，OC2OECEAE即 = ，52xx 510 x

40、解得 x1= ， x2= ECF要使 ECF 与 BAO 相似，只能使 ECF= BAO，连结 BE，得 BE= AD=AB，12 BEA= BAO， ECF= BEA， CF/BE， = ，CFBEOCOE又 ECF= BAO， FEC= DEA=Rt， CEF AED， = ，CEAECFAD而 AD=2BE， = ，OC2OECEAE = ，解得 x1= ， x2= 0（舍去） ，52xx+510+x点 E 在 x 轴负半轴上， E4( ，0)，综上所述：存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似，此时点 E 坐标为： E1( ，0)、 E2( ，0)、 E3( ，0)、

41、E4( ，0).52 10310（2011 江西，21，8 分）如图，已知O 的半径为 2，弦 BC 的长为 ，点 A 为弦 BC23所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）。求BAC 的度数；求ABC 面积的最大值.（参考数据：sin60= ，cos30= ，tan30= .）23233【答案】（1）过点 O 作 OD BC 于点 D, 连接 OA.因为 BC= ，所以 CD= = .2312BC3又 OC=2，所以 = ，即 = ，sinD sinDO 32所以 DOC=60.又 ODBC，所以 BAC= DOC=60.（2）因为ABC 中的边 BC 的长不变，所以底边上的高最大时， ABC 面积的最大值,即点A 是 的中点时， ABC 面积的最大值.BC因为 BAC=60，所以 ABC 是等边三角形，在 Rt ADC 中， AC= ， DC= ,23所以 AD= = =3.D-2()3-所以 ABC 面积的最大值为 3 =3 .111. （2011 湖南常德，25，10 分）已知 ABC，分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 、1OP 是 AB 的中点 .2,O（1）如图 8，若 ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 上分别取点 E、 F，使A,CB则有结论 四边形 是菱形.请给出结论2,AEBF12POEFA12PO的证明；