1、1.正项数列 an中, an+1=,a1=2,则 a4 等于( ).A. B. C. D.【解析】由递推关系可得 a2=,a3=,a4=.【答案】B2.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(nN *),则 a5 等于( ).A.-16B.16 C.31 D.32【解析】当 n=1时, a1=1;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),a n=2an-1, 数列 an是首项为 a1=1,公比为 2的等比数列, a 5=a1q4=16.【答案】B3.已知数列 an的通项公式 an=3n-1(nN *),通过公式 bn=构造一个新数列 bn,那
2、么 bn的前五项为 . 【解析】 a n=3n-1(nN *),a n+1=3(n+1)-1=3n+2,b n=.b 1=,b2=,b3=,b4=,b5=.【答案】,4.在数列 an中,已知 a1=1,且满足 an+1=an+,求数列 an的通项公式 .【解析】由 an+1=an+,得 an+1=an,即 =,= ,=,=,=(n2) .将以上各式相乘,得 =,即 =,a n=(n2),又 a1=1满足上式,a n=(nN *).5.已知 Sk 表示数列的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1(kN *),那么此数列是( ).A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列【解析】 a
3、k+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1,S k=0(kN *), 此数列每一项均为 0,即 an=0,故选 C.【答案】C6.已知数列 an满足 a1=0,an+1=(nN *),则 a20 等于( ).A.0 B.- C. D.【解析】 a 1=0,a 2=-,a3=,a4=0,至此可知:数列 an的各项的值依次为 0,-,0,-,0,以 3为周期,即 an=an+3.a 20=a2=-.【答案】B7.已知数列 an满足 a1=-1,an+1=an+,nN *,则通项公式 an= . 【解析】 a n+1-an=-,a 2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,an-an-1=-,以上
4、各式累加得, an-a1=1-+-+-=1-,a n+1=1-,a n=-.【答案】 -8.已知数列 an满足 a1=1,an+1=2an+1(nN *),求数列 an的通项公式 .【解析】 a n+1=2an+1(nN *),a n+1+1=2(an+1), an+1是以 a1+1=2为首项,2 为公比的等比数列,a n+1=2n,即 an=2n-1(nN *).9.对于正项数列 an,定义 Hn=为 an的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为 Hn=,则数列 an的通项公式为 an= . 【解析】由 Hn=,可得 a1+2a2+3a3+nan=, a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=
5、, 由 - ,得 nan=-=,所以 an=1+.【答案】1 +10.在数列 an中, a1=2,an+1=4an-3n+1,nN *.(1)求证:数列 an-n是等比数列;(2)求数列 an的前 n 项和 Sn;(3)求证:不等式 Sn+14 Sn 对任意 nN *皆成立 .【解析】(1)由题设 an+1=4an-3n+1,得 an+1-(n+1)=4(an-n),nN *.又 a1-1=1,所以数列 an-n是首项为 1,公比为 4的等比数列 .(2)由(1)可知 an-n=4n-1,于是数列 an的通项公式为 an=4n-1+n,所以数列 an的前 n项和 Sn=+.(3)对任意的 nN *,Sn+1-4Sn=+-4+=-(3n2+n-4)=-(3n+4)(n-1)0,所以不等式 Sn+14 Sn对任意 nN *皆成立 .
