1、第一章 勾股定理参考例题例 1如下图所示，ABC 中，AB=15 cm，AC =24 cm， A=60，求 BC 的长.分析：ABC 是一般三角形，若要求出 BC 的长，只能将 BC 置于一个直角三角形中.解：过点 C 作 CDAB 于点 D在 RtACD 中，A=60ACD=9060=30AD= AC=12(cm)21CD2=AC2AD 2=24212 2=432，DB=ABAD =1512=3.在 RtBCD 中，BC2=DB2+CD2=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.例 2如下图，A、B 两点都与平面镜相距
2、4 米，且 A、B 两点相距 6 米，一束光线由 A 射向平面镜反射之后恰巧经过 B 点.求 B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出 B 点关于 CD 的对称点 B，连结 AB，交 CD 于点 O，则 O 点就是光的入射点.因为 BD=DB.所以 BD=AC.BDO=OCA=90，B=CAO所以BDOACO(SSS)学优中考网 则 OC=OD= AB= 6=3 米.21连结 OB，在 RtODB 中，OD 2+BD2=OB2所以 OB2=32+42=52，即 OB=5(米).所以点 B 到入射点的距离为 5 米.评注：这是以光的反射
3、为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4 个长度单位，那么它的斜边的长一定是 5 个长度单位，而且 3、4、5 这三个数有这样的关系：3 2+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形 ABC 的两条直角边的长分别为 AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于 42+72？测验评价等级： A B C ，我对测验结果（满意、一
4、般、不满意）学优中考网 参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4 ，BC =3,S 正方形 ABED=S 正方形 FCGH4S RtABC=(3+4)24 34=7224=251即 AB2=25，又 AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S 正方形 ABED=S 正方形 KLCJ4S RtABC=(4+7)24 47=12156=65=4 2+7212.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形 ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜
5、边长为 c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形，放在边长为 a+b 的正方形内.图乙和图丙中（1） （2） （3）是否为正方形？为什么？图中（ 1） （ 2） （3）的面积分别是多少？图中（ 1） （ 2）的面积之和是多少？图中（ 1） （ 2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）学优中考网 参考答案图乙、图丙中（1） （2） （3）都是正方形.易得（1）是以 a 为边长的正方形， （2）是以 b 为边长的正方形， （3）的四条边长都是 c，且每个角都是直
6、角，所以（3）是以 c 为边长的正方形.图中（ 1）的面积为 a2,(2)的面积为 b2,(3)的面积为 c2.图中（ 1） （ 2）面积之和为 a2+b2.图中（ 1） （ 2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以 a+b 为边长的正方形，它们面积相等， （1） （2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b) 2 减去四个 RtABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：_ 姓名：_1.填空题(1)某养殖厂有一个长 2 米、宽 1.5 米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘
7、渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以 16 海里 /时的速度向东南方向航行，另一艘以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图 1：隔湖有两点 A、B，为了测得 A、B 两点间的距离，从与 AB 方向成直角的BC 方向上任取一点 C，若测得 CA=50 m,CB=40 m，那么 A、B 两点间的距离是_.图 12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为 12 cm 和 10 cm，求这个三角形的面积.3.在ABC 中， C=90,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边 AB 的长和斜边上的高 CD 的长.（2）求斜边被分成的两部分
8、 AD 和 BD 的长.4.如图 2：要修建一个育苗棚，棚高 h=1.8 m,棚宽 a=2.4 m,棚的长为 12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图 3，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD 上取一点 E，将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.测验评价结果：_；对自己想说的一句话是：_.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30 米2.如图：等边ABC 中 BC=12 cm，AB=AC=10 cm作 ADBC，垂足为 D，则 D 为 BC 中点，BD= CD=6 cm在 RtABD 中，
9、AD 2=AB2BD 2=1026 2=64AD=8 cmSABD= BCAD= 128=48(cm2)13.解：(1)ABC 中， C=90，AC=2.1 cm，BC=2.8 cmAB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25AB=3.5 cmSABC= ACBC= ABCD1ACBC=ABCDCD= = =1.68(cm)ABC5.382(2)在 RtACD 中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2AD2=AC2CD 2=2.121.68 2=(2.1+1.68)(2.11.68)=3.780.42=21.8920.21=2290.210.21AD=230.21=1.26(cm)B
10、D=ABAD=3.51.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：312=36(m 2)5.解：根据题意得：RtADERtAEF学优中考网 AFE=90,AF=10 cm,EF=DE设 CE=x cm，则 DE=EF=CDCE=8 x在 RtABF 中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102，BF=6 cmCF=BCBF=106=4(cm)在 RtECF 中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x )2=x2+426416 x+x2=x2+16x=3(cm),即 CE=3 cm学优 中*考 ，网
