1、小专题( 八) 用分类讨论求解等腰三角形多解问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型 1 对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于 180；等腰三角形中至少有两个角相等1等腰三角形是有一个角为 52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？2如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数类型 2 对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”
2、，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边3若一个等腰三角形的三边长均满足(x2)(x 4)0，求此等腰三角形的周长4若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9 cm 和 12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长来源:gkstk.Com来源:学优高考网类型 3 对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解
3、答时需要分类讨论5已知ABC 中，AB AC ，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交成 50的角，求底角的度数6一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？来源:gkstk.Com7AC 为等腰ABD 的腰 BD 上的高，且CAB60.求这个三角形各内角的度数来源:gkstk.Com参考答案1若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)264，故一腰上的高与底边的夹角为 26；若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为 38.故所求的一腰上的高与底边的夹角为 26或 38. 2.设A，B，C 是该等腰三角形的三个内角，且 A B.设Ax，则B2x.
4、若B 是顶角，则12A，C 是底角，于是有CAx.AB C180，x2xx180.解得 x45，故AC45，B90. 若B 是底角，因为A B ，所以A 是顶角，C B2x.ABC180， 2x2xx180.解得 x36，故A36，BC 72.综上所述，等腰三角形的各内角为 45、45、90或 36、72、72. 3.据题意，得 x2、x4 都满足(x2)(x 4)0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4 或 2、4、4 或 2、2、2 或 4、4、4.其中，根据三角形的三边关系知，以 2、2、4 为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件因此，所求等腰三角形的周长为 6 或
5、 10 或 12. 4如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是 9 cm、哪一部分是 12 cm，因此，应有两种情形：若设这个等腰三角形的腰长为 x cm，底边长为 y cm，于是根据题意，得 或 解得x 12x 9，12x y 12.) x 12x 12，12x y 9. )或 即当腰长是 6 cm 时，底边长是 9 cm；当腰长是 8 cm 时，底边长是 5 cm. 5.由题意可判断该x 6，y 9. ) x 8，y 5. )三角形不可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图 1，垂直平分线 DE 与腰 AC 相交，且AED50 ，则A 40，所
6、以BC70；如图 2，当 AB 的垂直平分线 DE 与腰AC 的反向延长线相交，且AED50，则EAD 40 ，BAC 140，所以两底角BC20.综上可知，等腰三角形的底角为 70或 20.来源:学优高考网6设A 为顶角，则ABC、ACB 为底角(1)若A 为锐角，如图 1，作 BDAC 于点 D，根据题意有 BDAB，BDA 90，A30，ABCACB 75；(2) 若A 为直角，根据题意“等腰三角形一边上12的高等于另一边的一半” ，这种情况无解；(3)若A 为钝角，有三种情况：如图 2，作 ADBC 于点 D，根据题意有：AD AB，ADB90， ABCACB30；如图 3，作 BDC
7、A 的延长线于点 D，根据题意有：12BD BC，ADB90，ABC ACB30； 如图 4，作 BDCA 的延长线于点 D，根据题意有：12BD AB，ADB 90，BAD 30，ABC ACB15.综上所述，等腰三角形底角的度数是 75、1230或 15. 7.如图 1，高 AC 在ABD 的内部，因为CAB60，ACB90，所以B30.因为BABD，所以BAD D 75；如图 2，高 AC 在ABD 的外部，因为CAB 60，ACB90，所以ABC30，所以ABD150.因为 BABD，所以BADD15；如图 3，高 AC 在ABD 的外部，因为CAB60，ACB90，所以B30 .因为 DADB，所以BADB30，所以ADB120.
