1、,教学目的及要求：深刻理解和掌握数学建模的具体步骤及使用的数学方法和技巧。,教学内容：通过具体实例（公司人力资源安排问题）的学习，进一步理解和掌握数学建模的具体步骤及数学方法的使用技巧。,教学重点：通过具体示例深刻理解和掌握数学建模的具体步骤。,教学难点：对数学建模各具体步骤之间的联系的理解和应用。,公司人力资源安排问题,某公司正经历一系列变化，这要影响到公司未来几年的人力资源安排。由于公司装备了新机器，对不熟练工的需求相对减少，对熟练和半熟练工的需求相对增加；同时，预计下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表：,为此，公司希望未来三年确定（
2、1）招工，（2）人员再培训，（3）解雇和超员雇用，（4）设半日工的计划方案。,因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满一年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下表：,现在没有招工。所有的现有工人都是已受雇一年以上。,招工：每年能新招的各类工人数：熟练工和不熟练工 各不超过500人，半熟练工不超过800人。,再培训：每年可培训200名不熟练工成为半熟练工， 每培训一名的费用开支为400元。培训半熟 练工成为熟练工，培训一名开支500元；培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人数的四分之一。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需公司支付什
3、么费用，但这样的工人有50%将离职（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。,解雇：解雇一名不熟练工需支付他200元。解雇一名半熟练工需支付他500元。,超员雇用：全公司可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工 2000元；熟练工3000元。,半日工：不熟练、半熟练和熟练工可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。这样 做公司对其每人每年支付费用为：不熟练工300元，半熟练工和熟练工400元。,公司提出的目标为解雇人数最少。为此应如何运作？如果目标为费用最少，能多节省多少费用？并导出每年每类岗位所节省的费用。,一、基本假设,1.现在没有招工，所有的现有
4、工人都是已受雇一年以上。,2.所有人事变动均在年初进行。,3.正在接受培训的工人不会离职。,4.培训期限为一年。当年接受培训，第二年才能作为升级后的工人使用。,5.关于半日工的酬劳问题,题目中只说半日工一年给予300元或者400元的报酬。如果工人只得到这些，显然有悖常理。所以我们认为，由于半日工的工作性质，两个半日工应该分享一个全日工的工资。,也就是说一个半日工领取全日工的工资的一半。出于一定意义上的补偿，我们另付给他一年300或400元。这样处理也解决了我们不知道全日工工资的问题，在处理费用最少的问题中，有很大的方便。,6.超员雇用,我们认为超员雇用只是公司为了赶生产，或者为了避免解雇人数过
5、多而采取的措施。所以我们认为超额雇员只领取题目中所给出的那部分报酬，而不领取全日工的工资。同时也认为超额雇员不做半日工。这样处理，也会在处理费用最少的问题时，带来很大的方便。,二、符号说明,右下角下标1、2、3分别表示不熟练工、半熟练工、熟练工，右上角下标表示年份；,表示第j年招收第i种工人的人数；,表示第k年由i种工人培训成j种工人的人数；,表示第j年i种工人超员雇用的人数；,表示第j年i种工人半日工的人数；,表示第k年由i种工人降为j种工人使用的人数；,由于第三年所需的不熟练工人数为0，所以,在模型中不包含两个变量。,表示第j年i种工人解雇的人数。,三、模型建立及求解,公司每年解雇多少某一
6、熟练程度的工人，取决于该公司的在岗的工人数，培训后升级的人数，当年的需求人数，自然减员的人数和降级使用的人数，另外还有当年的超员雇用和半日工人数。以上人数均对某一工种而言。,所有的变量均为非负整数，并且要求满足题目中所给的各种约束条件和一些自然约束。,考虑到培训与工作的关系，把这个问题分脱产培训和不脱产培训两种情况分别求解，因为是否脱产培训牵涉到公司当年在岗人数等问题。,2.1 不脱产培训,这种情况下每年每种岗位解雇的人数为：,招工人数,降级人数,半日工,超员雇佣,培训人数,约束条件：,每年招工人数的要求,每年再培训人数要求,每年超员雇用人数要求,自然条件，超员雇用人数不超过总雇用人数，每年解
7、雇和在岗工人人数非负,每年半日工人数的要求,招工人数,超员雇佣,于是得到线性规划问题,s.t.以上约束条件满足,目标函数值为953。,求解该问题，得以下结果：,2.2 脱产培训,这种情况下每年每种岗位解雇的人数为：,培训人数,同样得线性规划问题：,s.t. 2.1中约束条件满足,结果为：,目标函数值约为933。,3.以费用最少为目标建立规划模型,按照题目中每项开支的费用，未来三年各种雇用和解雇的总费用为：,仍然分脱产培训和不脱产培训两和情况，约束条件不变。,解雇不熟练工,解雇半熟练工和熟练工,培训,培训,超员雇佣,半日工,3.1 不脱产培训,此时将2.1中的解雇人数的表达式代入目标函数，得到以
8、下结果：,目标函数值为508921。,3.2 脱产培训,此时将2.2中的解雇人数的表达式代入目标函数，得到以下结果：,目标函数值为492438。,四、模型评价及改进,1.解雇人数最少的结果：,从结果可以看出三年中招收的熟练工的人数为0，并且解雇的全是不熟练工，这是因为不熟练工的需求是逐年减少的，而半熟练工和熟练工的需求是增加的。,每年培训的人数很多，这也是符合实际的，通过培训可以把不熟练工变成熟练工和半熟练工，从而减少解雇的不熟练工的人数，这和优化目标是一致的。,不熟练工超员雇用的人数也较多，这也是优化目标决定的，显然通过超员雇用可以减少解雇的人数，半熟练工和熟练工超员雇用的人数很少，这是因为
9、半熟练工和熟练工的人数本来就不够用，所以不必通过超员雇用来减少解雇的人数。,降级使用的人数全为0，这是因为本来不熟练工的人数就多余，而半熟练工和熟练工的人数紧缺，所以不可能把半熟练工和熟练工降级使用，这样只会增加不熟练工被解雇的人数。,2.费用最少的结果：,这时招入的工人较多，而培训的人数较少，这是与优化目标相一致的，因为招募比培训花费要少。,这时超员雇用全为0，这也是很明显的，超员雇用相当于花钱养闲人，这与花费最少矛盾。,半日工人数全为0，这是因为半日工比全日工的成本要高。,降级使用的人数为0，这是由于半熟练工和熟练工的人数不能满足需求，降级使用只会增加成本。,3.两种目标所得结果的对比,4
10、.脱产培训和不脱产培训模型结果的对比,通过比较可知，脱产培训与不脱产培训在解雇工人的数量上和花费金额上差别都不是很大。但脱产培训的减员人数还是要小一些。另外一方面，脱产培训的花费比不脱产培训的花费要少一些，这主要是因为不脱产培训解雇的人数多的缘故。,5.加权后模型,为了综合考虑费用（经济效益）和解雇的人数（社会效益），可以使用加权的模型。,设权值为a，由于费用的数目比解雇的人数的数目大得多，将费用的数目除以500，将其变为相同的数量级。,模型的目标函数为：,a解雇的人数+（1 a ） 所需的费用500,约束条件与不加权时相同。,以a0.5为例计算结果，可以看到加权的模型的效果是很好的。,此时所需费用为：578421元，要解雇的人数为1100人。,
