1、定理1 矩阵对策G=S1 ， S2；A在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势（ i* , j* ）使得对一切i=1,2, ,m, j=1,2, ,n, 均有aij* ai*j* ai*j 。,E(x,y*) E(x*,y*) E(x*,y),定理2 矩阵对策G= S1, S2;A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在x* S1* ,y* S2*,使(x*,y*)为E(x,y)的一个鞍点，即对一切x S1* ,y S2*，有,复习已讲的矩阵对策内容,E(i,y*) E(x*,y*) E(x*,j),定理3 设x* S1* ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1,
2、2, ,m和j=1,2, ,n，有,定理4 设x* S1* ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件是：存在v,使得x*和y*分别是不等式组,和,的解，且v=VG 。,E(x,j),E(i,y),定理5 对任一矩阵对策G= S1, S2;A，一定存在混合策略意义下的解。,运筹学对策论(三),记矩阵对策G的解集为T(G), 关于对策解集有下列两个性质：,定理6 设有两个矩阵对策 G1= S1, S2;A1，G2= S1, S2;A2 ，其中A1 =(aij), A2 =(aij+L),L为任一常数，则有 VG2= VG1+L T(G1)=T(G2),例 1 设G1和G2赢得矩阵分别为,
3、定义5 设G=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ，A=（aij）mn 。如果对一切j=1,2, ,n,都有ai0j ak0j 即矩阵A的第i0行均不小于第k0行的对应元素，则称局中人的纯策略i0优超于k0 ；同样，若对一切i= 1,2, ,m, 都有aij0 ail0即矩阵A的第l0列均不小于第j0列的对应元素，则称局中人的纯策略 j0优超于 l0。,定理7 设有两个矩阵对策 G1= S1, S2;A，G2= S1, S2; A ，其中0为任一常数，则有 VG2= VG1 T(G1)=T(G2),例 2 设G1和G2赢得矩阵分别为,定理8 设G
4、=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ， A=（aij）mn 。如果纯策略1被2, ,m中之一所优超 ，由G可得到一个新的矩阵对策G： G= S1 , S2；A 其中S1 = 2, ,m， A =（aij ）(m1)n aij = aij , i=2, ,m , j=1,2, ,n ,则V G =VG ； G中局中人的最优策略就是其在G中的最优策略；若(x2*, , xm*)T是G中局中人的最优策略，则x*= (0，x2*, , xm*)T便是其在G中的最优策略。,例 3 设G赢得矩阵为,推论 ： 在定理8中，若纯策略1不是为2, ,m中之一所优
5、超 ，而是为2, ,m的某个凸线性组合所优超，定理的结论仍然成立。,优超原则：定理8给出了一个简化赢得矩阵A的原则，称之为优超原则。根据这个原则，当局中人的某纯策略i被其它纯策略或纯策略的凸线性组合所优超，可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策G等价但赢得矩阵阶数较小的对策G，通过求G而得到G的解。,例：,1/3(第1列)+2/3 (第2列)优超第4列,例 4 设赢得矩阵为,求解这个矩阵对策。,解：,由于第4行优超第1行，第3行优超第2行，故可划去第1行和第2行，得到新的赢得矩阵,对A1第1列优超第3列，第2列优超第4列，1/3(第1列)+2/3 (第2列)优超第5列，故可划去第3 45列，
6、得到新的赢得矩阵,A2第1行优超第3行，故划去第3行，得到,对于A3，易知无鞍点，应用定理4，求解不等式组,和,首先考虑方程组的解,求解得x3*=1/3，x4 *=2/3； y1*=1/2，y2 *=1/2； =5,于是，原矩阵对策的一个解就是：,X*=(0,0,1/3,2/3,0)T， Y*=(1/2, 1/2,0,0,0 ) T ， VG=5,练习题,“二指莫拉问题”。甲乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和，否则重新开始。写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法比其它出法更为有利。,
