1、2019/6/15,第一节：引论 第二节：矩阵对策 第三节：矩阵对策的求解,第十一章 对策论,2019/6/15,第一节：引论,1. 内涵：对策论亦称博弈论（Game Theory），具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。 2. 引例 3. 对策行为的基本要素 4. 对策行为的基本假设 5. 对策行为的分类,2019/6/15,1.引例：齐王赛马,齐王：上、 中、 下田忌：上、 中、 下,2019/6/15,1.引例：齐王赛马,齐王：上、 中、 下田忌：上、 中、 下,2019/6/15,2.对策行为的基本要素,1. 局中人（Player）：在一个对策行为中，有权决定自己行动方案的参加者称为局
2、中人。 2. 策略（Strategy）：一局对策中，可供局中人选择的完整的行动方案称为策略。 3. 赢得函数（Score）：一局对策中，局中人使用每一策略都会有所得失，这种得失是全体局中人所采取的一组策略的函数，称为赢得函数。 4. 局势：一局对策中，各局中人选定的策略所形成的策略组称为一个局势。,2019/6/15,3.对策行为的基本假设,对策行为总是假定每一个局中人都是“理智的”决策者，不存在利用其他局中人的决策失误来扩大自身利益的可能性或相反。,2019/6/15,4.对策行为的分类,2019/6/15,第二节：矩阵对策,1.矩阵对策的数学模型 2.矩阵对策解的问题 3.矩阵对策的混合策
3、略 4.矩阵对策的基本定理 5.矩阵对策解的性质,2019/6/15,1.矩阵对策的数学模型,（1）矩阵对策的内涵：二人有限零和对策，即对策双方的利益是激烈对抗的。 （2）矩阵对策的数学模型：甲：有m个策略，表示为S1=（ 1, 2, 3, m)乙：有n个策略，表示为S2=（ 1, 2, 3, n)当甲选定策略i 、乙选定策略j 时，就形成了一个局势（ i , j ）。可见这样的局势总共有m n个，对任意局势（ i , j ）甲的赢得值为aij，即甲的赢得矩阵为Amn=aij。因为对策是零和的，所以乙的赢得矩阵为 -Amn。,2019/6/15,1. 矩阵对策的数学模型,建立二人零和对策的模型
4、就是要根据对实际问题的叙述，确定甲、乙两个局中人的策略集合以及相应的赢得矩阵。不难看出在“齐王赛马”的例子中，齐王的赢得矩阵为：,A =,3 1 1 1 1 -1 1 3 3 3 -1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3,2019/6/15,1. 矩阵对策的示例1,例1 ：甲的赢得矩阵,2019/6/15,1. 矩阵对策的示例2,例2 ：从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对乙保密的情况下拿给甲看。若甲看到的是红牌，他可以选择掷硬币或让乙猜；若甲选择掷硬币，出现正面甲赢 p 元，出现反面甲输 q 元；若让乙猜，当乙猜中是
5、红牌时甲输 r 元，否则甲赢 s 元。若甲看到的是黑牌，他只能让乙猜，当乙猜中是黑牌时甲输 u 元，否则甲赢 t 元。试确定甲、乙各自的策略并建立赢得矩阵。,正面 1/2,2019/6/15,1. 矩阵对策的示例2,正面 1/2,若甲决定掷硬币这个策略，则乙的猜红或猜黑已无意义；若抽到黑牌，甲的掷硬币已无意义，只与乙的猜红或猜黑有关。所以，对于局势“掷硬币，猜红”甲的期望赢得为：1/2（1/2p-1/2q）+1/2t = 1/4（p-q+2t ）,2019/6/15,1. 矩阵对策的示例2,正面 1/2,2019/6/15,2. 矩阵对策解的问题,设矩阵对策G=S1，S2，A，其中：S1 =1
6、，2，3，4， S2 = 1 ，2 ，3 ，,A =,-4 2 -6 -64 3 5 38 -1 -10 -10 -3 0 6 -3,Min,Max 3,局中人甲应选择2 ，此时不管局中人乙采取什么策略，甲的赢得均不小于3。,2019/6/15,2. 矩阵对策解的问题,设矩阵对策G=S1，S2，A，其中：S1 =1，2，3，4， S2 = 1 ，2 ， 3,A=,-4 2 -6 -64 3 5 38 -1 -10 -10 -3 0 6 -3,Min,Max 3,局中人甲应选择2 ，乙应采取2策略；结果甲赢得3，乙付出3。,Max 8 3 6 Min 3,2019/6/15,2. 矩阵对策解的问
7、题,定义1：设矩阵对策G=S1，S2，A，其中：S1 =1，2，m， S2 = 1 ，2 ， ， nA = aijmn ；若 Max min aij = Min max aij = ai*j*则称ai*j*为对策G的值，局势（ i* ，j* ）为G的解，i*和j*分别称为局中人的最优策略。,i,j,i,j,2019/6/15,2. 矩阵对策解的问题,由于ai*j*既是其所在行的最小值，又是其所在列的最大值，于是有： aij* ai*j* ai*j 定理1：设矩阵对策G=S1，S2，A在策略意义下有解的充分必要条件是存在着局势（ i* ，j* ）使得对于一切i与j都有aij* ai*j* ai*
8、j成立。,2019/6/15,2. 矩阵对策解的问题,例：设矩阵对策G=S1，S2，A，赢得矩阵为：,A=,7 5 6 5 52 -3 9 -4 -46 5 7 5 50 1 -1 2 -1,Min,Max = 5,Max 7 5 9 5 Min = 5 i = 1, 3 ，j = 2, 4，ai*j* = 5，四个局势均为矩阵对策的解。,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,对矩阵对策G=S1，S2，A来说，局中人甲有把握的最小赢得是： v1 = max min aij局中人乙有把握的最大损失是： v2= min max aij当v1 = v2时，对矩阵对策有策略意义下的解；然而并非
9、总是如此，经常是 v1 v2 （ 总有v1 v2 ），此时没有策略意义下的解。,i,j,i,j,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,A=,-4 4 -6 -64 3 5 38 -1 -10 -10 -3 0 6 -3,Min,Max 3,Max 8 4 5,Min 4,v1 = 3 v2 = 4,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,v1 = 3 v2 = 4对于两个局中人来说，不存在一个双方均可接受的平衡局势。设矩阵对策G=S1，S2，A，其中：S1 = 1，m， S2 = 1 ， ，nA = aijmn ；则 S1* = xi 0，i=1,2, ,m; x1+ x2+ +
10、xm = 1 S2* = yj 0，j=1,2, ,n; y1+ y2+ +yn = 1 称为局中人的混合策略。,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,对 x S1*, y S2* 称(x, y)为一个混合局势，局中人的赢得函数记成： E (x, y) =xT A y 这样便得到一个新的对策 G* = S1*, S2*, E G*称为G的混合扩充。,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,G * = S1*, S2*, E 是G=S1，S2，A的混合扩充，如果 max min E (x,y) = min max E (x,y) 记其值为VG，则VG为对策G *的值，使上式成立的混
11、合局势（x *，y *）为G 在混合策略意义下的解， x *，y *分别称为局中人甲和乙的最优混合策略。 注：策略意义下的解不存在时，自动转向混合策略意义下的解。,x S1*,y S2*,x S1*,y S2*,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,对策矩阵G=S1，S2，A在混合策略意义下有解的充分必要条件是存在着x * S1* ， y * S2*使（x *，y *） 为E (x,y) 的一个鞍点，即对于一切x S1* ， y S2* 有 E (x,y *) E (x *,y *) E (x *,y),2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,例：对策矩阵G=S1，S2，A，其中
12、：A =显然G在策略意义下的解不存在，于是设x=(x1,x2)为局中人甲的混合策略， y=(y1,y2)为局中人乙的混合策略，则S1* = xi 0，i=1,2; x1+ x2 = 1S2* = yj 0，j=1,2; y1+ y2 = 1 局中人甲的赢得期望值是：E (x,y) =xT A y,3,6,5,4,2019/6/15,3. 矩阵对策的混合策略,例：E (x,y) =xT A y =3x1y1+6x1y2+5x2y1+4x2y2= -4(x1-1/4)(y1-1/2)+9/2 取x *=（1/4，3/4），y *=（1/2，1/2），则 E (x,y *)= E (x *,y *)
13、 = E (x *,y) = 9/2 即有 E (x,y *) E (x *,y *) E (x *,y) 故x *和y *分别为局中人甲和乙的最优（混合）策略。,2019/6/15,4.矩阵对策的基本定理,定理1：设矩阵对策G=S1，S2，A在策略意义下有解的充分必要条件是存在着局势（ i* ，j* ）使得对于一切i与j都有aij* ai*j* ai*j成立。定理2：对策矩阵G=S1，S2，A在混合策略意义下有解的充分必要条件是存在着x * S1* ， y * S2*使（x *，y *） 为E (x,y) 的一个鞍点，即对于一切x S1* ， y S2* 有 E (x,y *) E (x *
14、,y *) E (x *,y),2019/6/15,4.矩阵对策的基本定理,定理3：设 x * S1* ， y * S2*则（x *，y *） 是矩阵对策G的解的充分必要条件是对任意的i(1,2,m)和j(1,2, ,n)有 E (x,y *) E (x *,y *) E (x *,y),2019/6/15,4.矩阵对策的基本定理,定理4：设 x * S1* ， y * S2*则（x *，y *） 是矩阵对策G的解的充分必要条件是存在数v使得x * 和y * 分别是不等式组aijxi v aijyj v xi = 1 yj= 1xi 0 yj 0 的解，且v=VG。,i,j,(j=1,2,n)
15、,(i=1,2,m),(i=1,2,m),(j=1,2,n),2019/6/15,4.矩阵对策的基本定理,定理5：对任一矩阵对策G=S1，S2，A，一定存在混合策略意义下的解。,2019/6/15,5.矩阵对策解的性质,性质1：设（x *，y *） 是矩阵对策G=S1，S2，A的解，v=VG ，则 （1）若xi*0，则 aijyj* = v ， （2）若 aijyj* 0，则 aijxi* = v ， （4）若 aijxi* v ，则yj*=0。,2019/6/15,5.矩阵对策解的性质,性质2：矩阵对策G1=S1，S2，A1、 G2=S1，S2，A2，解集分别为T（ G1 ）和 T（ G2
16、），若其中有A1=（aij）、 A2=（aij+L ），L为任一常数，则：（1） V G2= V G1+L；（2） T（ G2 ）= T（ G1 ）。,2019/6/15,5.矩阵对策解的性质,性质3：矩阵对策G1=S1，S2，A、 G2=S1，S2，A，其中为大于0的任一常数，则：（1） V G2= V G1；（2） T（ G2 ）= T（ G1 ）。,2019/6/15,5.矩阵对策解的性质,性质4：设一矩阵对策G=S1，S2，A 存在A = - AT （称为对称对策） 则：（1） V G= 0；（2） T1 （ G ）= T2（ G），分别为局中人甲、乙的最优策略集。,2019/6/15
17、,5.矩阵对策解的性质,性质5：设一矩阵对策G=S1，S2，A ，若在S1（或、和S2）中出现被优超的策略，那么去掉被优超的策略所形成的新的矩阵对策与原矩阵对策同解。,A =,4 0 2 3 -2 -2 1 4 -4 37 3 8 4 54 6 5 6 65 2 7 4 3,例11-6：,2019/6/15,第216页例11-6,由于第4行优超于第1行，第3行优超于第2行，故可去掉第1行和第2行，得到新的赢得矩阵：,A1 =,7 3 8 4 54 6 5 6 65 2 7 4 3,2019/6/15,第216页例11-6,对于A1由于第1列优超于第3列，第2列优超于第4列，1/3（第1列）+2
18、/3(第2列)优超于第5列，故可去掉第3、4、5列，得到新的赢得矩阵：,A2 =,7 34 65 2,2019/6/15,第216页例11-6,对于A2由于第1行优超于第3行，故可去掉第3行，得到新的赢得矩阵：,A3 =,7 34 6,2019/6/15,第216页例11-6,对于A3易之于无鞍点存在，应用定理4求解不等式组：,7x3+4x4 v 3x3+6x4 vx3+ x4 = 1x3, x4 0,7y1+3y2 v 4y1+6y2 vy1+ y2 = 1y1, y2 0,2019/6/15,第216页例11-6,求得解为： x3* = 1/3， x4* = 2/3 y1* = 1/2，
19、y2* = 1/2,于是原矩阵对策的一个解是：x* = （0，0，1/3，2/3，0）Ty* = （1/2，1/2，0，0，0）TVG = 5,2019/6/15,第三节 矩阵对策的求解,1. 22对策的公式法2. 2n 或m2对策的图解法3. 线性方程组求解法 4. 线性规划求解法,2019/6/15,1. 22对策的公式法,所谓 22对策是指局中人的赢得矩阵为22阶矩阵，即：,如果A有鞍点，则很快就可求出各局中人的最优策略；如果A没有鞍点，则可证明各局中人的最优混合策略中的xi* ,yj*均大于零。 于是由定理6可知，为求混合策略可求解下列方程组： a11x1+ a21x2 = v a11
20、y1+ a12y2 = v a12x1+ a22x2 = v a21y1+ a22y2 = v x1+ x2 = 1 y1+ y2 = 1,2019/6/15,2. 2n 或m2对策的图解法,例：设一矩阵对策G=S1，S2，A ，其中S1 = 1，2， S2 = 1 ，2 ， 3,2 3 117 5 2,设局中人甲的混合策略为(x, 1-x)T， x0,1。过数轴上坐标为0和1的两点分别做两条垂线 和 ，垂线上点的纵坐标值分别表示局中人甲采取纯策略1，2 时，局中人乙采取各策略时的赢得值。如下图所示，当局中人甲选择每一混合策略(x, 1-x)T时，他可能的最少赢得为局中人乙选择1 ，2 ， 3
21、时所确定的3条直线在 x 处的纵坐标值的最小值。,2019/6/15,2. 2n 或m2对策的图解法,V = 2x + 7(1-x) V = 3x + 5(1-x) V = 11x + 2(1-x) 设局中人甲的混合策略为(x, 1-x)T， x0, 1。过数轴上坐标为0和1的两个点分别做两条垂线 和 ，垂线上的点的纵坐标值分别表示局中人甲采取纯策略1，2 时，局中人乙采取各策略时的赢得值。如下图所示：,2019/6/15,甲采取混合策略最少的赢得：B1BB2B3 甲确定 x 使赢得最大，即最小最大原则,2019/6/15,x= OA, AB即为对策值VG 求解 x 及VG，解方程组： VG
22、= 3x + 5(1-x) VG = 11x + 2(1-x) 求得 x = 3/11, VG = 49/11；所以甲的最优策略为 x* = （3/11，8/11） E(x* , 1 )=23/11 + 78/11 = 62/1149/11 E(x* , 2 )=33/11 + 58/11 = 49/11 E(x* , 3 )=113/11 + 28/11 = 49/11 所以局中人乙的最优混合策略 y* = （0, y2, y3）,2019/6/15,3y2+ 11y3 = VG = 49/11 5y2+ 2y3 = VG = 49/11 y2+ y3 = 1求解得y* = （0, 9/11
23、, 2/11）.,2019/6/15,例：设一矩阵对策G=S1，S2，A ，其中S1 = 1，2 ，3， S2 = 1 ，2 2 7A = 6 611 2 设乙的混合策略为 (y, 1-y)，同理有：,2019/6/15,0,1,2,6,7,11,6,2,y,A1,B1,B2,B3,乙采取混合策略最大的支付：7B1B211 乙确定 y 使支付最小，即最大最小原则,3,2,1,A2,2019/6/15,OA1 y OA2 VG = 62y + 7 (1-y) = 66y + 6 (1-y) = 66y + 6 (1-y) = 6 11y + 2 (1-y) = 6求得 OA1 = 1/5, OA
24、2 = 4/9。故局中人乙的最优混合策略为 y* = （ y, 1-y），其中 y 1/5， 4/9；而故局中人甲的最优策略显然只能是 x* = （ 0, 1, 0），即策略2 。,2019/6/15,3. 线性方程组求解法,根据定理4求解矩阵对策解（x *，y *）的问题等价于求解：aijxi v aijyj v xi = 1 yj= 1xi 0 yj 0 又根据定理5和定理6，如果x *，y *中各分量均不为零，即可将不等式组转换为方程组：,2019/6/15,3. 线性方程组求解法,不等式组转换为方程组：aijxi= v aijyj = v xi = 1 yj= 1xi 0 yj 0 如
25、果这两个方程组存在非负解x *和y *，则已经求得了矩阵对策的解（x *，y *）。,2019/6/15,3. 线性方程组求解法,例：“齐王赛马”齐王的赢得矩阵为3 1 1 1 1 -11 3 1 1 -1 1A= 1 -1 3 1 1 1-1 1 1 3 1 11 1 -1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3,2019/6/15,3. 线性方程组求解法,设： X *=（ x1， x2， x3， x4， x5， x6）TY *=（ y1， y2， y3， y4， y5， y6）T 从矩阵A的元素来看局中人采取任何一个策略的可能性都是存在的，故可事先假设X *，Y *中各分量均不为零；于是有：
26、ATX = v AY = v xi = 1 yj = 1 求得解为： X *=（ 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6）TY *= （ 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6）T 对策的值（齐王的期望赢得）为1。,2019/6/15,4. 线性规划求解法,根据定理5有矩阵对策的解（x *，y *） 等价于下述不等式组的解：aijxi v aijyj v xi = 1 yj= 1xi 0 yj 0 其中 v = maxmin E(x, y) = minmax E(x, y) 就是对策的值VG。做变量变换 xi = xi/v, yj = yj/v 于是有：,2
27、019/6/15,4. 线性规划求解法,aijxi 1 aijyj 1 xi = 1 /v yj= 1 /vxi 0 yj 0 其相应的线性规划问题为：min z = xi max w = yj aijxi 1 aijyj 1xi 0 yj 0,2019/6/15,4. 线性规划求解法,例： 7 2 9A = 2 9 09 0 11 Min (x1+ x2 + x3 ) Max (y1+ y2 + y3 ) 7x1+ 2x2 + 9x3 1 7y1+ 2y2 + 9y3 1 2x1+ 9x2 + 0x3 1 2y1+ 9y2 + 0y3 1 9x1+ 0x2 + 11x3 1 9y1+ 0y2 + 11y3 1 x1, x2, x3 0 y1, y2, y3 0,2019/6/15,4. 线性规划求解法,2019/6/15,4. 线性规划求解法,2019/6/15,4. 线性规划求解法,2019/6/15,4. 线性规划求解法,Y = (1/20, 1/10, 1/20) w = 1/5 v = 5 Y* = 5 (1/20, 1/10, 1/20) = (1/4, 1/2, 1/4) X* = (1/4, 1/2, 1/4),
