1、对策论,Game Theory,运筹学 Operations Research,(1) 1713年，瓦德格拉夫提出两人对策的经典模型；,对策论历史简介：,(2) 古诺和博特兰分别在1838年与1883年提出对策论最经典的模型；,(4) 1944年，冯诺依曼和摩根斯坦合著出版博弈论与经济行为一书，被看作是对策论真正发展的起点；,(3) 中国古代的“齐王赛马”；,(5) 1994年，瑞典皇家科学院决定将诺贝尔经济学奖授予纳什、哈萨尼和泽尔腾三人，表彰他们在博弈理论和应用方面作出的杰出贡献；,(6) 目前，博弈论在定价、招投标、谈判、拍卖、委托代理以及很多的经营决策中得到应用，它已成为现代经济学的重
2、要基础。现代对策论总体上是一门新兴的发展中的学科。,Nash对对策论的贡献有： (i) 合作对策中的讨价还价模型，称为Nash讨价还价解； (ii) 非合作对策的均衡分析。,警察抓住两个合伙犯罪的嫌疑犯，但缺乏足够的证据指证他们的罪刑，若其中一个供认犯罪，就能确认罪名成立。为得到所需的口供，警察将两嫌疑犯分开关押并给他们同样的选择机会，若两人都拒不认罪，则他们会以较轻的妨碍公务罪各判一年徒刑；若有一人坦白认罪，则坦白者立即释放，而另一个人则判10年徒刑，若两人同时认罪，则他们各被判5年徒刑，现两个嫌疑犯该如何采取各自的策略(坦白、不坦白)对自己有利？,这是一个二人非零和对策问题，可用一个矩阵来
3、表示两囚徒的得益，如下表所示：,对策论(game theory)亦称博弈论: 是研究具有对抗或竞争性质现象的数学理论和方法，它既是数学的一个分支，也是运筹学的一个重要学科。,对策论概述,引言,对策行为: 是指具有竞争或对抗性质的行为，在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的利益和目标，各方需考虑对手的各种可能的行动方案,并力图选择对自己最为有利或最为合理的方案 。,对策：是一些个人、对组或其它组织，面对一定的环境条件，在一定的规则下，同时或先后从各自允许的行为或策略中进行选择并加以实施，各自取得相应结果的过程。,对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及 如何找到
4、这个合理方案的数学理论和方法。是研究决策主体的行为发生直接 相互作用时的决策及这种决策的均衡问题。即它是研究聪明而又理智的决策 者在冲突或合作中的策略选择理论。它将成为当代经济管理学科的前沿领城。,一个对策需要3个基本要素：(1)局中人(players) (2)策略集(strategies) (3)得益函数(payoffs),对策三要素,引言,对策的结构和分类,引言,纳什均衡 Nash Equilibrium,对于对策中的每一个局中人，真正成功的措施应该是针对于其他局中 人所采取的每次行动，相应地采取有利于自己地反应策略，于是每一 个局中人应采取的必定是他对其他局中人策略的预测的最佳反应。,【
5、定义 】 在对策G=S1，S2，Sn；h1，h2hn中，如果由各个对策方的各选取一个策略组成的某个策略组合(S1*，S2*，Sn*)中，任一对策方i 的策略Si*，都是对其余策略方策略的组合 (S1*，S*i-1，S*i+1，Sn*)的最佳策略，即h i(S1*, , S*i-1, Si*, S*i+1,Sn*)hi(S1*, , S*i-1, Sij, S*i+1 , , Sn*)对任意 SijSi 都成立，则称(S1*，Sn*)为G的一个纯策略意义下的“纳什均衡”(Nash Equilibrium),纳什均衡,纳什均衡定义,定义中各选取一个策略组成的某个策略组合构成一个局势，其最优局势称为
6、纯策略意义下的最优局势,纳什均衡,分析：采用比较和试探的方法来确定本决策的均衡产量。不妨先假设三个厂商开始时分别生产3单位，9单位和6单位产量，这时三厂商是否满意各自的产量，要从利润进行分析。由于产量不能超过20，则第i个厂商的利润函数为,根据上述公式可算出在产量组合为(3，9，6)时，市场价格为2，三厂商的利润分别为6，18和12，再作其它产量组合时亦会有不同的结果，如表12.2,表12.2 三厂商离散产量结合对应价格和利润,纳什均衡,注: (1)上述产量组合给各厂商带来的利润并不是市场能给他们的最大利润； (2) 三厂商开始并不一定选取这种产量组合，而是在长期的对策过程中逐渐调整到这个产量
7、组合，这个组合就是一个纳什均衡。,由表可看出(5, 5, 5)这组产量组合是比较稳定的，因为在该组合下，任何一个厂商单独提高或降低产量，都只会减少利润，因此该产量组合是一个均衡。,纳什均衡,【定义】 在对策G=S1，Sn；h1，hn中，局中人 i 的策略集为Si=Si1，Sik，则他以概率分布pi=(pi1，pik)随机在其k个可选策略中选择的“策略”称为一个混合策略，其中 0pij1 对 j1, , k 都成立，且pi1+pik=1,混合策略纳什均衡,纳什均衡,注：纯策略可看作混合策略的一种特殊情况，只是选择相应纯策略的概率函数服从(0-1)分布,反应函数法,反应函数法是对策论中一种常用的方
8、法，尤其适用于确定决策变量为产量或价格这样的连续函数策略。当得益是对策的多元连续函数时，求出每个对策方的反应函数，而各个反应函数的交点就是纳什均衡。,反应函数法,【例3】设A，B两厂家生产同样产品，厂商A产量为q1，B产量为q2，市场总产量为Q=q1+q2，市场出清价格是市场总产量的函数P6Q。设产品产量的边际成本相等，C1=C2=2。求解两厂商的纳什均衡(假设产量连续可分)。,分析：这是一个连续产量的古诺模型，不难看出，该对策中两厂商各自的利润分别为各自的销售收益减去各自成本，即：,从得益函数表达式中可以看出，两者的利润取决于对方的策略即产量，要寻找 一个纳什均衡，即对厂商2的任意产量，厂商
9、1有一个最佳的对应产量，实现利润最大化，即求解,用求极值方法求得,同理厂商2的最佳产量为,反应函数法,作反应函数：,纳什均衡：(4/3,4/3),由上面两个式子，得出对于厂商2的每一个可能的产量，厂商1的最佳产量是 厂商2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为厂商1对厂商2产量的一个 反应函数。,反应函数法,【例4】 考虑上述模型的另一种情况即各厂商所选择的是价格而不是产量，假设产量与价格的函数关系为：,其它条件不变，边际成本为C1、C2，试求解其纳什均衡。,【解】设P1max, P2max为两厂商所能选择的最高价格，则其各自的策略空间为,两方的得益就是各自的利润,利用得益函数在偏导数为0时
10、有最大值，各自的反应函数分别为：,反应函数法,为该对策唯一的纳什均衡,反应函数法,【解】各农户的得益函数分别为,反应函数,因此该对策的纳什均衡为(18，18，18) 。,有限二人零和对策,有限二人零和对策也称矩阵对策或二人有限零和对策，其对策中存在两个局中人，并且局中人都只有有限个决策可供选择，在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，双方的利益是激烈对抗的。,有限二人零和对策,用、表示两个局中人，并设局中人有 m个纯策略 ，局中人有n个纯策略 ，则按对策论的相关要素定义，局 中人、的策略集分别为：,数学定义,称A为局中人的赢得矩阵(或为的支付矩阵)，由于对策为零和的，故局中人的赢得矩阵为
11、A。,当局中人、的策略集S1, S2及I的赢得矩阵确定后，一个矩阵对策就给定了通常将矩阵对策记为：,有限二人零和对策,矩阵对策纯策略纳什均衡：矩阵对策模型给定后，对各局中人而言，就是如何选取对自己最有利的策略以获得最大得益。,纯策略矩阵对策,【例6】求矩阵对策，其中 ，,由A可以看出局中人 I 的最大得益是7，要想得到这个得益，他需选择策略 3，而局中人2也是理智的，他会考虑用策略3来对付，这样局中人1不但得不到 7 反而会失去11，故双方都不愿意冒险，而是考虑到双方必使自己获得最少这 一点。,则有,对策G的解为：,有限二人零和对策,【定理】矩阵对策G=S1，S2；A在纯策略定义下有纳什均衡的
12、充要条件是：存在策略组合 使得对一切i=1, , m, j =1, , n 有：,注：矩阵对策在纯策略意义下有解且VG=ai*j*的充要条件是：ai*j*是A的鞍点，在对策论中，矩阵A的鞍点也称为对策的鞍点,有限二人零和对策,可知 =5，i *=1,3，j *=2, 4, 故 (1,2)(1, 4)(2,2)(2,4) 为对策的纳什均衡，VG=5,有限二人零和对策,【解】 直接在赢得表上计算，有,【性质1】 无差别性 若 和 为G的两个解，则：,注：以上方法也称“上策均衡法”(Dominant-stratege Eqyilibrium),有限二人零和对策,纯策略意义下对策解的性质：,混合策略矩
13、阵对策,纯策略矩阵对策的满足纳什均衡是满足局中人有把握的至少赢得, 也是局中人有把握的至多损失即：,当V1V2 时，这时不存在纯策略意义下的纳什均衡 。如：,有限二人零和对策,对局中人1来说，V1=2，i *=3，对局中人2来说，V2=3，j *=1，V1V2 , 没有鞍点。,有限二人零和对策,当 时，称 为局中人、在混合策略中的纳什均衡。,称为局中人在选取混合策略S*1时的赢得函数。,有限二人零和对策,【解】 纯策略纳什均衡不存在设 x=(x1，x2)为局中人的混合策略， y=(y1，y2)为局中人的混合策略，则：,局中人I 的赢得期望值：,有限二人零和对策,即取， 满足,则 分别为局中人I
14、, II的最优策略，,纳什均衡存在定理,【定理 】 设x*S1*，y*S2*,则(x*，y*)为对策G的纳什均衡的 充要条件是： 对任意 i=1, , m，j=1, n, 有 E(i, y*)E(x*,y*)E(x*, j),其中：,有限二人零和对策,【定理】 对任一矩阵对策G=S1，S2；A，一定存在混合策略意义下的纳什均衡,有限二人零和对策,有限二人零和对策,【定理】 设有两个矩阵对策 G1=S1，S2；A, G2=S1，S2；A，则 (1) VG2=VG1 (2) T(G1)=T(G2) ，其中0为一常数，T(G1)、T(G2)为两个对策的解集合。,矩阵对策求解方法,1、2n 矩阵对策的
15、求解方法:,思路: 先研究简单的22矩阵对策，然后推广到2n 情形。,22矩阵对策的公式法(适用于无最优纯策略),在无最优纯策略情形下可证明 ，且,设矩阵对策中各局中人的最优混合策略为,由定理12.5可知，该矩阵对策一定存在混合最优策略，根据定理12.6求解,有限二人零和对策,公式的特征(记忆方法)：,有限二人零和对策,2n 矩阵对策的代数解法,(1) 将A的每两列组成一个子赢得矩阵，设为,(2) 用公式法求解,(3),(4) 计算子策略,(5) 产生最优混合策略：,有限二人零和对策,2. 优超原则法,【定义 】 设矩阵对策 ，其中若对于一切 j=1, 2, n 有 ，即矩阵的第 行元素不小于第行的对应元素，则称局中人 I的纯策略 优超于 。,有限二人零和对策,【解】第4行优于第1行，第3行优于第2行，故可划去第1行和第2行，得到新的赢得矩阵，x1=x2=0,有限二人零和对策,对于A1第1列优于第3列，第2列优于第4列，(1/2)(第1列) +(1/2) (第2列)优超于第5列，因此去掉第3列，第4列和第 5列， y3=y4=y5=0，得到A2：,又由于第1行优超于第3行，故从A2中划去第3行，x5=0，得到A3 ，,有限二人零和对策,解方程组：,得,
