1、11.2 相关系数1了解回归分析的概念和最小二乘法的求法及作用2理解相关系数的含义及求法3了解回归分析的基本思想会建立回归模型，并能利用回归分析进行有效预测1变量间的关系往往会表现出某种不确定性，_就是研究这种变量之间的关系的一种方法，通过对变量之间关系的研究，从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律【做一做 1】 下列两变量中具有相关关系的是( )A正方体的体积与边长 B人的身高与体重C匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 D球的半径与体积2假设样本点为( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，我们可用_求变量之间的线性回归方程 y a bx，即求 a， b，使这 n 个点与直线 y
2、 a bx 的“距离”平方之和最小，即使得 Q(a， b)( y1 a bx1)2( y2 a bx2)2( yn a bxn)2达到最小3 Q(a， b) lyy n ( a b )2 lxx 2 .y x (blxylxx) xyl其中 i，xx1 x2 xnn 1nni 1x i，yy1 y2 ynn 1nni 1ylxx (xi )2 n 2，ni 1 xni 1x2i xlxy (xi )(yi ) iyi n ，ni 1 x yni 1x x ylyy (yi )2 n 2.ni 1 yni 1y2i y当 Q(a， b)取最小值时， b_， a_.y 对 x 的线性回归方程为_，
3、此直线一定过点_公式比较复杂难记，只需记住 a， b 的求值公式即可做题要细心，不可遗漏数据，使用公式计算时，可通过列出表格，进行计算，表格如下：i xi yi x2i xiyi1232nini 1x ini 1yni 1x2i iyini 1x【做一做 21】 已知 x 与 y 之间的一组数据如下表，则 y 与 x 的线性回归方程y bx a 必过点_x 0 1 2 3y 1 3 5 7【做一做 22】 已知三个样本点(3,10)，(7,20)，(11,24)，求出其线性回归方程4判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)_；(2)_两个变量之间是否有线性相关关系，可以通过画散点图直观判断
4、，但是在某些情况下，从散点图中不容易判断变量之间的线性相关关系，特别是当数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时就可以通过计算，用线性相关系数 r 来作出判断，比较容易实施5.假设两个随机变量的数据分别为( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，则变量间线性相关系数 r 的计算公式为 r_.线性相关系数| r|1，| r|越大，变量之间的线性相关程度越高，用直线拟合的效果就越好线性相关系数 r 的计算公式虽然比较复杂，但是可以分开计算因为在求线性回归方程时，也要计算 ， iyi和 等量，只需再把 计算出来即可通常是通过列xyni 1xni 1x2ini 1y2i表格来完成上述各项
5、的计算【做一做 3】 在建立两个变量 y 与 x 的线性回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，它们的相关系数 r 如下，其中拟合得最好的模型是( )A模型 1 的相关系数 r 为 0.98B模型 2 的相关系数 r 为 0.80C模型 3 的相关系数 r 为 0.50D模型 4 的相关系数 r 为 0.25答案：1回归分析【做一做 1】 B 选项 A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项 C中匀速行驶的车辆的行驶距离与时间成正比，也有函数关系；选项 D 中球的体积是 与43半径的立方相乘，有固定的函数关系所以只有选项 B 中人的身高与体重具有相关关系2最小二乘法33. b y
6、 a bx ( ， )lxylxxni 1 xi x yi yni 1 xi x 2ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 y x x y【做一做 21】 线性回归方程一定过点( ， )，(32， 4) x y又 (0123) ，x14 32 (1357)4，y14线性回归方程必过点 .(32， 4)【做一做 22】 分析：样本点共有三个，可以直接计算解：由所给数据可得： 7， 18， iyi434， 179，进而可以求得 bx y3i 1x 312ix 1.75，3i 1xiyi 3x y3i 1x2i 3x2 434 3718179 349a b 181.7575.75.y x线
7、性回归方程为 y5.751.75 x.4(1)画散点图 (2)计算线性相关系数5.ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2ni 1y2i ny2【做一做 3】 A1求线性回归方程的一般步骤剖析：(1)作散点图：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)，在坐标系内作出散点图，并观察各样本点是否呈条状分布，是否都分布在一条直线的两侧若是，则可设其线性回归方程为yabx.(2)列表：对于所给出的数据 x，y 列成相应的表格.4i xi yi x2i xiyi1 x1 y1 x21 x1y12 x2 y2 x2 x2y2 n xn yn x2n xnyn xi n
8、i 1 yi n i 1 x n i 12i xiyi n i 1(3)计算： xi， yi，b ， a b .x1n n i 1 y 1n n i 1 niiix12 y x(4)写出回归方程： y a bx.2样本的选取是否影响两个变量的线性回归方程剖析：会影响这是因为我们所采集的样本只是两个变量之间的部分数据的关系，而且它们的散点图分布在某一条直线的附近，不一定就在直线上，所以不能用某个一次函数y a bx 来准确地表达它们之间的关系，我们只能近似地看作两个变量之间满足线性关系，符合一个一次函数 yabx，而将 xx i代入时，得到 y 的值与所测得的 yi之间存在着一定的误差，误差为
9、yiyy i(abx i)y iabx i(i1,2，n)，那么，我们要想用yabx 拟合得好一点，就要使误差小一点但不能把这些误差直接相加，这是因为它们有正有负，相加可能抵消一部分，为了不使误差之和正负抵消，我们可设全部误差的平方和为 Q(a，b)，即 Q(a，b) (yiabx i)2，用 Q 的大小来度量总的误差大小，Q 是n i 1a，b 的二元函数当 b 时，Q(a，b)最小，此时 a b .由此看来， n i 1xiyi nx y n i 1x2i nx2 y x所取的样本点不同，有可能得到的线性回归方程不同题型一 求线性回归方程【例题 1】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工
10、零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验测得的数据如下表所示：零件数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100加工时间 y/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122(1)求 y 对 x 的线性回归方程；(2)据此估计加工 200 个零件所用的时间是多少？反思：计算线性回归方程比较麻烦，对于样本点较少的情况可直接代入公式计算求值实际问题中的数据都不好算，一般要借助计算器来完成题型二 计算线性相关系数【例题 2】 某工厂有一大型机器设备，其使用年限 x(年)与所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料：使用年限 x/年 2 3 4 5
11、6 7 8维修费用 y/万元 2.2 3.5 5.2 6.7 7.8 8.1 9.85请问维修费用 y 与使用年限 x 之间是否具有线性相关关系？如果具有，请求出线性回归方程分析：本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型，可通过计算线性相关系数来加以判断，因为数据比较多，可列表分项计算反思：对于数量比较多的数据判断它们相应的变量是否线性相关，可通过计算线性相关系数来判断题型三 利用回归分析进行有效预测【例题 3】 为了了解某地母亲身高 x 与女儿身高 y 的相关关系，现随机测得 10 对母女的身高，所得数据如下表所示：母亲身高x/cm 159 160 160 163 159 154 1
12、59 158 159 157女儿身高y/cm 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156(1)试对 x 与 y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为 161 cm 时，女儿的身高为多少？(2)求相关系数 r，并分析模型的拟合效果分析：通过观察两变量对应的数据，可判断 x 与 y 之间存在线性相关关系，通过列表计算，求出回归方程，并通过计算线性相关系数来判断两变量的线性相关程度反思：一个模型拟合得好不好，可通过计算线性相关系数 r 来判断，|r|的值越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，拟合得越好答案：【例题 1】 解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算
13、.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 20055， 91.7， x 38 500， xiyi55 950x y 10 i 12i 10 i 1设所求的回归直线方程为 y bx a.同时，利用上表可得b 0.668，10 i 1xiyi 10x y10 i 1x2i 10x2 55 950 105591.738 500 10552a
14、 b 91.70.6685554.96，y x即所求的线性回归方程为 y0.668 x54.96.(2)这个线性回归方程的意义是当 x 增大 1 时， y 的值约增加 0.668，而 54.96 是 y 不随 x 增大而变化的部分因此当 x200 时， y 的估计值为 y54.960.668200188.56189.故加工 200 个零件时所用的时间约为 189 分【例题 2】 解：列表：i xi yi x2i y2i xiyi1 2 2.2 4 4.84 4.462 3 3.5 9 12.25 10.53 4 5.2 16 27.04 20.84 5 6.7 25 44.89 33.55 6
15、 7.8 36 60.84 46.86 7 8.1 49 65.61 56.77 8 9.8 64 96.04 78.4 35 43.3 203 311.51 251.1由此可得： 5， 6.185 7， iyi251.1， 203， 311.51.x y7i 1x7i 1x2i7i 1y2i线性相关系数r7i 1xiyi 7x y7i 1x2i 7x27i 1y2i 7y2251.1 756.185 7203 752311.51 76.185 720.989 5.维修费用与使用年限之间存在线性相关关系b 1.235 7，7i 1xiyi 7x y7i 1x2i 7x2 251.1 756.1
16、85 7203 752a b 6.185 71.235 75y x0.007 2，线性回归方程为 y0.007 21.235 7 x.【例题 3】 解：列表：i xi yi x2i y2i xiyi1 159 158 25 281 24 964 25 1222 160 159 25 600 25 281 25 4403 160 160 25 600 25 600 25 6004 163 161 26 569 25 921 26 2435 159 161 25 281 25 921 25 5996 154 155 23 716 24 025 23 8707 159 162 25 281 26 2
17、44 25 7588 158 157 24 964 24 649 24 8069 159 162 25 281 26 244 25 75810 157 156 24 649 24 336 24 492 1 588 1 591 252 222 253 185 252 6887(1)由表可得 158.8， 159.1， 252 222， 253 185， iyi252 x y10i 1x2i10i 1y2i10i 1x688，进而可以求得 b10 i 1xiyi 10x y10 i 1x2i 10x2 0.78，252 688 10158.8159.1252 222 10158.82a b 159
18、.10.78158.835，y x线性回归方程为 y350.78 x.当 x161 cm 时， y160.58 cm，即女儿的身高为 160.58 cm.(2)r10 i 1xiyi 10x y10 i 1x2i 10x2 10 i 1y2i 10y2252 688 10158.8159.1252 222 10158.82253 185 10159.120.715，说明模型拟合得效果较好1 由一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)得到的线性回归方程为 yabx，则下列说法正确的是( )A直线 yabx 必过点( ， ) xB直线 yabx 至少经过点(x 1，y 1
19、)，(x 2，y 2)，(x n，y n)中的一点C直线 yabx 是由(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)中的两点确定的D(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)这 n 个点到直线 yabx 的距离之和最小答案：A 正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这 n 个样本点中的某些点，而是这 n 个点到直线的距离的平方和最小，即用最小二乘法求出线性回归方程中 a， b 的值，由于 a ，即 ，由此可以看出( ， )适合线性回xbyxbayxy归方程 y a bx，所以直线 y a bx 必过点( ， )2 对于线性相关系数 r，下列说
20、法正确的是( )Ar(，)，r 越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱B|r|(0，)，|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱C|r|1，且|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱D以上说法都不正确答案：C 熟记关于线性相关系数 r 的重要结论是解决此类问题的关键3 某工厂为预测某产品的回收率 y，需要研究它和原料的有效成分含量 x 之间的相关关8系，现取 8 对观察值，计算得 ， ， ， ，则 y8152ix81iy81247ix8149iiyx对 x 的线性回归方程为( )Ay11.472.62x By11.472.62xCy2.6211.47x Dy11.472.62x答案：A
21、 由已知条件，得 6.5， 28.5，代入，得 b x 812y iiix2.62，25.684719a b 28.52.626.511.47，yx线性回归方程为 y11.472.62 x.4(2012太原一模)下表是某厂 14 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5由其散点图，可知用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是_答案： y0.7 x5.25 由已知，得 2.5， 3.5， 30， 31.5，y412ix41iiyx所以 b 0.7.412y iiix所以 a b 5.25.y所以线性回归方程是 y0.
22、7 x5.25.5 某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y(单位：元)的对应数据如下表所示：进价 x/元 3 5 2 8 9 12售价 y/元 4 6 3 9 12 14求 y 关于 x 的线性回归方程，要使售价不超过 16 元，则进价应不超过多少？解：由表中数据可得： 6.5， 8.xy， 396，32761ix61iiy进而可以求得 b 1.143，612iiix25.63789a b 81.1436.50.570 5.yx所求的线性回归方程为 y0.570 51.143 x.9由 y16，即 0.570 51.143 x16.解得 x13.5，所以进价应不超过 13.5 元
