1、二人有限零和对策,2 纯策略对策,一、纯策略与混合策略纯策略是指确定的选择某策略；而混合策略则指以某一概率分布选择各策略。,二、纯策略对策的解,1. 引例,前提： 对策双方均理智,结论： 最不利中选最有利,解：可用下述表格表示上述寻找最优纯策略过程:,2. 纯策略分析,（1）局中人甲对每个策略si的评价值为,故局中人甲选择策略模型为：,（2）局中人乙对每个策略dj的评价值为,故局中人乙选择策略模型为：,3. 纯策略对策模型的解,(1) 鞍点与解,称为对策G 之值。,例 上例中,对策值V=1,局中人甲的最优策略为s1 ,局中人乙的最优策略为d2，,(2) 多鞍点与无鞍点对策,例 设有一矩阵对策如
2、下，求它的解。,此对策有多个解。,例： 矩阵对策赢得矩阵如下，试求它的解。,例：齐王赛马为无鞍点对策,4、优超原理,例：,例： 用优超原理求解下列对策,3 混合策略对策,一、混合策略对策的基本概念,无鞍点对策的求解方法是采用混合策略，混合策略就是局中人考虑以某种概率分布来选择他的各个策略。,m维概率向量,1混合策略,称为局中人甲的一个混合策略，即局中人甲选择策略si的概率为xi 。,同理可定义乙的混合策略。,例： “剪刀、石头、布” 游戏，若B的混合策略（0.4，0.3，0.3）,则A选“石头”的期望赢得为：,00.4 + 1 0.3 + (-1)0.3=0,则A选“剪子”的期望赢得为：,(-
3、1)0.4 + 0 0.3 + 1 0.3= - 0.1,则A选“石头”的期望赢得为：,10.4 + (-1) 0.3 + 00.3=0.1,若又已知A的混合策略（0.5，0.2，0.3），则A的期望赢得为：,00.5 + (-0.1) 0.2 + 0.10.3= 0.01,（同理，B的期望赢得为-0.01）,3混合局势,当局中人甲选择混合策略x；局中人乙选择混合策略y，称(x,y)为一个混合局势。,2混合策略集合,称集合,为甲的混合策略集合；,为乙的混合策略集合；,对于一个混合局势(x,y)，用,表示局中人甲在混合局势(x,y)时的收益期望值。,4收益期望函数,二、混合策略对策的解,1混合策
4、略分析,对于混合策略对策,局中人甲的策略决策模型为：,局中人乙的策略决策模型为：,2混合策略矩阵对策的线性规划解法,若所有aij0（否则，可取一充分大M0，使得aij +M0）， 则可用下述两规划 来求解混合策略：,（）,（）,例： “剪刀、石头、布” 游戏，,同理，,第三部分 二人有限非零和对策,一、非零和对策的一般表达,1、局中人集合：i = 1, 2 ,，n,2、每个局中人的策略集：Si (i = 1,n),3、每个局中人的赢得函数：ui (s1, , s i , sn),对策的一般表达：G=S1, Sn ; u1, un ,二、纳什均衡,均衡（Equilibrium）是所有局中人的最优
5、策略的组合，一般记为：,其中，,是第i个局中人在均衡情况下的最优战略，即,（,表示除 i 之外,所有局中人的策略组成的向量。),占优策略均衡,均衡的层次：,重复剔除的占优均衡,（纯策略）纳什均衡,混合策略纳什均衡,条件,强,弱,1. 占优策略均衡,考虑“囚犯困境”问题：,不论同伙选择什么策略，每个囚徒的最优策略是“坦白”。,定义：如果对应所有的,是i的严格最优选择，即,则称,是i的占优策略(Dominant strategy)。,2. 重复剔除的占优均衡,考虑智猪博弈问题：,“等待”是小猪的占优战略，而大猪无占优战略。,劣策略,例：,可按如下思路寻找均衡解： 首先找出某个局中人的劣策略（如果存
6、在），剔除该劣策略，得到新的博弈；再剔除该新博弈中的某个中人的劣策略。重复进行，直至只剩下唯一的策略组合为止，这个剩下的策略称为重复剔除的占优均衡（Iterated dominance equilibrium）。,前提假设：“理性”是所有局中人的共同知识 （Common Knowledge）,例：求下面博弈的重复剔除的占优均衡解,（均衡解）,例：智猪博弈问题：,（均衡解）,3. 纳什均衡,例：（夫妇之争）夫妇俩商量晚上去哪里消遣。丈夫喜欢看足球比赛，而妻子喜欢去看芭蕾舞表演，夫妇都希望二人同往，不愿分开。,问题：既不存在占优策略均衡，也不存在重复剔除的占优均衡。,定义：对于博弈 G=S1, S
7、n ; u1, un ，策略组合,。如果对于每一个i，,是给,定其它局中人选择,的情况下第i个局中人的最优策略，即,则称该策略组合为一个纳什均衡。,例：斗鸡博弈（Chicken Game）两个人举着火棍从独木桥的两端走向中央进行火拼。每个人都有两种策略：继续前进，或退下阵来。若两人都继续前进，则两败俱伤；若一方前进另一方退下来，前进者取得胜利，退下来的丢了面子；若两人都退下来，两人都丢面子。赢得矩阵如下表所示。,Nash均衡：一进一退,纳什均衡的哲学意义,表示n个局中人达成的,一个协议，当这个协议可以自动实施（Self-enforcing）时，即没有任何局中人有积极性破坏这个协议，那么这个协议
8、就构成纳什均衡。否则，若至少存在某些局中人有积极性偏离这个协议，就构不成纳什均衡。,例：智猪博弈问题：,例：囚犯困境问题：,例：（夫妇之争）夫妇俩商量晚上去哪里消遣。丈夫喜欢看足球比赛，而妻子喜欢去看芭蕾舞表演，夫妇都希望二人同往，不愿分开。,纳什均衡解： （足球，足球）或（芭蕾，芭蕾）,解纳什均衡的划线法,设有两个局中人：A和B Step 1: 考虑A，给定B的每一个策略，找出A的最优策略，并在其对应的赢得下面画一横线。 Step 2: 用类似的方法，找出B的最优策略。 Step 3: 都画横线的单元格即为纳什均衡。,例：求纳什均衡,纳什均衡,总结:对矩阵A，按列求最大；对矩阵B，按行求最大
9、。,零和博弈的鞍点对应于Nash均衡,，,例 考虑零和博弈,，其赢得矩阵为：,，其中,鞍点,Nash均衡,纳什均衡在经济中的应用举例,公共地的悲剧（Tragedy of the commons） 如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致对这种资源的过渡使用。 考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民要决定自己杨多少只羊。用gi表示第i个农民饲养的数量，表示总数量；v代表每只羊的平均价值。v是G的,。因为每只羊至少要一定数量的草才,不至于饿死，有一个最大可存活的数量Gmax : 当,函数：,G0； 当GGmax时，v(G)=0。,当草地上的羊很
10、少时，增加一只羊也许不会对其它羊的价值有太大的不利影响，但随着饲养量的不断增加，每只羊的价值会急剧下降，因此：,在该博弈中，每个农民的问题是选择gi以最大化自己的利润。设购买每只羊的价格为c，则利润函数为：,最优化的条件为：,上述n个优化函数的交叉点就是纳什均衡。 可以证明，纳什均衡的总饲养量大于社会最优的饲养量。,具体示例：设n=3，设每只羊的利润函数为,，设c =4,则3个农民的利润函数分别为：,带入利润函数得,结论: (1)Nash均衡条件下，养羊总数243= 72，总利润 5763=1728；（2）总利益最大条件下：养羊总数48，总利润 2304。,4. 混合策略的纳什均衡,问题的提出
11、纯策略意义下，有可能不存在纳什均衡,例：小偷与守卫的博弈（泽尔腾，1996） 一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷去偷窃时守卫在睡觉，则小偷就能得手，否则要被抓住。假设小偷得手可偷得价值为V 的赃物，若被抓住坐牢，负效用 -P。再设守卫睡觉而未被偷则有S 的正效用，睡觉遭偷则要被解雇，负效用-D。若小偷不偷，则无得无失，守卫不睡则出一份力争一份工资，无得无失。,无纳什均衡,的混合策略集:,的混合策略集:,混合策略的纳什均衡,纳什均衡的存在性定理：（纳什，1950）,每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡（纯策略的或混合策略的）,22双矩阵博弈的解法,当A和B均为22阶时，相应的双矩阵博弈可表示
12、为:,I,II,（1）,（2）,图示,解,条件,条件序号,总结22双矩阵博弈的求解步骤,（1）由 计算,（2）根据Ai和Bi的符号,得到I和II的解,其公共点即博弈的解。,例：（夫妇之争）夫妇俩商量晚上去哪里消遣。丈夫喜欢看足球比赛，而妻子喜欢去看芭蕾舞表演，夫妇都希望二人同往，不愿分开。,纳什均衡解（纯策略）：（足球，足球）或（芭蕾，芭蕾）,考虑混合策略：,案例分析“非典”疫情扩散和防治 背景： 2003年4月，流行性非典型肺炎从广东省通过输入性病例的传播进入北京。在华北地区“非典”疫情爆发初期，由于没有有效地进行预防和控制，疫情迅速扩散和蔓延，很快就开始在更广泛的区域内传播。这种局面的出现
13、，和SARS具有极强的传染性有关，也与防治工作不力有关。由于政府的监管力度不够，少数医生逃避责任，医院之间也产生一种互相推诿病人的博弈关系。随着疫情的发展，中央政府采取果断措施，加强了领导和监管力度，逐步扭转了这种不利的局面。,疫情爆发初期的情况： 在北京爆发SARS的初期，重症患者出现死亡，给医护人员带来巨大恐慌，个别医院怕自己的医护人员感染和影响单位经济效益，拒收患者。当时情况下，由于对“非典”缺乏科学认识，政府对其严重性也认识不足，政府对医院没有建立严格有效的监管体制。医院面对的局面是一种“囚徒困境”式的博弈问题。,结果：疫情扩散，影响到人民健康和社会稳定,疫情防治： 在疫情发展过程中，随着对SARS的逐步了解，政府及时总结经验教训，迅速出台一系列措施和规定来扭转当时的不利局面，如实行首诊负责制，对拒收发热病人的医院严惩不贷。如果医院不收治非典病人和疑似病人，将受到严厉的惩罚和面临强大的舆论压力。此时两个医院之间的博弈为：,结果：疫情得到控制,
