1、,24.2.2直线和圆的位置关系（2）切线的判定定理和性质定理,下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出,1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？,思考,r,如图，在O中，经过半径OA的外端 点A作直线 ,则圆心O到直线 的 距离是多少？直线 和O有什么位 置关系？,经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。,条件：,(1)经过半径的外端,切线判定定理：,(2)垂直于这条半径,A,l, l 经过半径OA的外端点AlOA,直线l是O的切线,符号语言表达,结论：直线是圆的切线,(1)经过半径的
2、外端,(2)垂直于这条半径,经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。,切线判定定理：,条件：,结论：直线是圆的切线,判 断,1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线,(3)经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线,(d=r),归纳,切线的三种判定方法：,例1 直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是O的切线.,证明: 连接OC,OA=OB, CA=CB,OAB是等腰三角形，OC
3、是底边AB上的中线,OCAB,AB是O的切线,O,C,B,A,已知直线经过圆上一点, “连半径，证垂直”,练习1、AB是O的直径,ABC=45，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？,B,A,C,O,解：AC是O的切线AB=AC C=B=450A=900即ACAB 又AC经过半径OA的外端点AAC是O的切线,变式练习,练习2、如图，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=B = 30，边BD交圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？,A,O,B,C,D,解：BD是O的切线,连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即： ODDB 又BD经过半径OD的外端
4、点 BD是O的切线,变式练习,例2:已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作O。求证：O与AC相切。,O,A,B,C,D,证明：过O作OEAC于E。 AO平分BACODAB, OEAC OEOD OD是O的半径 OE是O的半径即AC经过半径OE的外端点E又 OEAC AC是O的切线。,不知直线与圆是否有公共点“作垂直,证半径”,小 结,例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于
5、半径长。简记为：作垂直,证半径。,.,O,A,L,一定垂直,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,简记为：“知切线，连半径，得垂直”,思考,如图，如果直线 是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线 是不是一定垂直呢?,例1 如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D.求证：AC是O的切线.,E,如图，AB是O的直径, C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB,证明：连接OC,CD 是O的切线，C是切点 OCCD.,又ADCD , OC/AD. ACO CAD .,又OC=OD, CAO ACO,CAD CAO , 故AC平分DA
6、B,变式练习,2、如图：AC是O的切线，B=600。求CAD的度数。,B,A,C,O,D,A,O,C,B,3、如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。,变式练习,课堂小结,1. 判定切线的方法有哪些？,直线l,与圆有唯一公共点,与圆心的距离等于圆的半径,经过半径外端且垂直这条半径,l是圆的切线,2. 证明直线是圆的切线的方法,如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 （连半径，证垂直）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长（作垂直，证半径）,l是圆的切线,l是圆的切线,3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。,辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。,1.切线和圆只有一个公共点.,2.切线和圆心的距离等于半径.,3.切线垂直于过切点的半径.,4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.,5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.,切线的性质、可归纳为:已知直线满足过圆心过切点垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.,总结:切线的主要性质,
