1、1东光一中 高二 年级 数学 学科课时练出题人： 许淑霞 出题时间：2015.1.22椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为 、),(1yxA，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦
2、 的中),(yxB B点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找 k 与 b 的关系。3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一） 、求过中点的弦所在直线方程问题例
3、 1、已知椭圆 ，求过点 p( , )且被点 p 平分的弦所在直线方程12yx12注意：解决过中点的弦的问题时判断点 位置非常重要。M2（1）若中点 在圆锥曲线内，则被点 平分的弦一般存在；MM（2）若中点 在圆锥曲线外 ，则被点 平分的弦可能不存在。结论： （ 1） 设椭圆 12byax的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )，则02yxabkAB,2ABopk（ 2） 设双曲线 12bx的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )则 02yxabkAB。（ 3） 设抛物线 pxy2的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )则 0ypkAB。练习 1、过椭圆 内一点 M（2，1）引一条
4、弦，使弦被点 M 平分，462y求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 06)(4)(8)( 222 kxkxk又设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ，则 是方程的两个根，1,y,y21,x于是，14)(221kx又 M 为 AB 的中点，所以 ，214)(22kx解得 ，2故所求直线方程为 。0yx解法二：设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ，M（2，1）为 AB 的1,yx,yx中点，所以 ， ，421x21又 A、B 两点在椭圆上，则，621y，4x两式相减得 ，0)(4)(2121yx所以 ，即 ，221y1ABk故所
5、求直线方程为 。（二）过定点的弦和平行弦的中点轨迹3例 2：已知椭圆 ，12yx（1） 过点 引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。0,P（2） 求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程。解法一：设过点 的直线方程为 ，联立方程 ，消去0, )2(xky12)(yxk，整理得 ，设弦的两个端点为 、y 0142122xk 1,A，中点 ，2,xByM,则 ， ，代入2214kx24)2(xky得 ，即1)()(2xxky 12y又过点 的直线与椭圆相交，所以0,P 04422kk解得 ，即 ，解得 。21k214x10x当 不存在时，不满足题设要求，舍去。所以割线被椭圆截得的弦的中
6、点的轨迹方程是 （ ）12)(y0x解法二：设弦的两个端点为 、 ，中点 ，则1,yxA2,yxBM,1221yx两式相减得 ，整理得 ，02211yx021212121 yxx由题意知 ，所以 ，又 ，所以21xABkyyx2211 2x，yx4整理得 。又过点 的直线与椭圆相交，与解法一同理可得12)(yx0,2P。10所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是 （ ）12)(yx0x注意：当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件，并求出 （或 ）的取值范围；验证斜率不存在的情况是否符合题意。0xy练习 1、 过椭圆 上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ1
7、3642中点的轨迹方程。解法一：设弦 PQ 中点 M（ ），弦端点 P（ ），Q（ ），yx, 1,yx2,yx则有 ，两式相减得 ，5761922yx 0)(6)(92121 又因为 ， ，所以 ，21 y21 )()(2121 yx所以 ，而 ，故 。yxy6921)8(0xkPQ869y化简可得 （ ）。172解法二：设弦中点 M（ ），Q（ ），由 ， 可得yx,1,yx281x1y， ，821xy21又因为 Q 在椭圆上，所以 ，即 ，36421yx 1364)(2yx所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 （ ）。9)(28练习 2、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰1
8、257xy 21x为这条弦的中点 ，求点 的坐标。解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1yxP),(2yxQP),(0yxM0， 201x05又 ，12571xy1257xy两式相减得 0)(7)( 212111 x即 0322210xy0213yxy，即 来源: 学.科.网21xk30y0点 的坐标为 。M)1,(（三） 、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 3、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的)50,(F23:xyl中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。21解：设椭圆的方程为 ，则 bxay502ba设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1P),(2QP),(0yxM， ，
9、20x30xy101x12又 ，11ba2ba两式相减得 0)()( 2121112 xxayy即 0)(221x21baxy32b联立解得 ，75所求椭圆的方程是 12xy练习 3、平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： 1(ab0)右焦点的直x2a2 y2b2线 xy 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .3126(1)求 M 的方程；解：(1)设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 1， 1， 1 ，y2 y1x2 x1由此可得 1.b2（x1 x2）a2（y1 y2） y2 y1x2 x1x1x 22x 0，y 1y 22y 0， ，y0x0 12a22 b2.又由题意知，M 的右焦点为( ，0)，a 2b 23.3由得 a26，b 23.M 的方程为 1.x26 y23
