1、 1 2.1 随机变量及其概率分 布教案 教学目标 （1）在 对具体 问题的 分析 中，了解 随机 变量、 离散 型随机变 量的 意义， 理解 取有限 值 的离散 型随 机变 量及 其概 率分布 的概 念； （2）会 求出 某些 简单 的离 散型随 机变 量的 概率 分布 ， 认识 概率 分布 对于 刻画 随机现 象 的重要 性； （3） 感受 社会 生活 中大 量 随机 现象都 存在 着数 量规 律，培 养辨 证唯 物主 义世 界观 教学重点，难点 （1） 理解 取有 限值 的随 机 变量及 其分 布列 的概 念； （2） 初步 掌握 求解 简单 随 机变量 的概 率分 布 教学过程 一问题
2、情境 在一块 地里 种 下10 棵树 苗 ，成 活的 树苗 棵数X 是 0 ，1 ， ，10 中 的某 个数 ； 抛 掷一 颗骰子 ，向 上的 点数Y 是 1 ，2，3 ，4 ，5，6 中 的某 一个数 ；新 生婴 儿的 性别 ，抽查 的结 果 可能是 男 ， 也 可能 是女 如果将 男婴 用 0 表示 ， 女 婴用 1 表示 ， 那么 抽查 的 结果Z 是 0 和 1 中的某 个数 ； 上述现 象有 哪些 共同 特点 ？ 二学生活动 上述现 象中的X ，Y ，Z ，实 际 上是把 每个随 机试 验的 基 本事件 都对应 一个 确定 的 实 数，即 在试 验结 果（ 样本 点）与 实数 之间
3、建立 了一 个映射 例如， 上面 的植 树问 题中 成活的 树苗 棵数X ： 0 X ，表示 成活 0 棵； 1 X ，表示 成活1 棵； 三建构数学 1随机变量： 一般地，如果随机 试验的 结果，可以用一个 变量来 表示，那么这样的 变量叫 做随机变 量 通 常用 大写 拉丁 字母X ，Y ，Z （ 或小 写希 腊字 母 ， ， ）等表 示 ，而 用小 写拉 丁字母x ，y ，z （加 上适 当下 标）等 表示 随机 变量 取的 可能值 如：上 面新 生婴 儿的 性别Z 是一个 随机 变量 ， 0 Z ，表示 新生婴 儿是 男婴 ； 1 Z ， 表示新 生婴 儿是 女婴 2 例 1 （1）
4、掷一 枚质 地均 匀的硬 币一 次， 用X 表示掷 得正面 的次 数， 则随 机变 量X 的 可能取 值有 哪些 ？ （2 ） 一 实验 箱中 装有 标号 为 1，2 ，3，3，4 的 五只白 鼠， 从中 任取 一只 ， 记取 到的 白鼠 的标号 为Y ，则随 机变 量Y 的可能取 值有 哪些 ？ 解 （1） 抛掷 硬 币是 随机试 验， 结果 有两种 可能 ，一 种是 正面 向上， 另一 种是 反面 向 上，所 以变 量X 的取值 可能 是 1（ 正面向 上） ，也 可能 是 0（ 反面向 上） ，故 随机 变量X 的 取值构 成集 合0 ，1 （2） 根据 条件 可知 ，随 机变量Y 的可
5、 能值 有4 种， 它的取 值集 合是1，2 ，3 ，4 说明：(1) 引 入了 随机变 量 后，随 机事 件就 可以 用随 机变量 来表 示 (2) 在例 1 （1 ） 中 ， 随机 事 件 “ 掷一 枚硬 币 ， 正 面向 上 ” 可 以用 随机 变量 表示 为 1 X ， 随机事 件“ 掷一 枚硬 币， 反面向 上” 可以 用随 机变 量表示 为 0 X (3) 在例 1 （2） 中 ， 也 可 用 1 Y ， 2 Y ， 3 Y ， 4 Y 分别表 示取 到 1 号、 2 号、3 号和 4 号白 鼠这 4 个随机 事件 另 一方 面 ，在例 1 （2 ）中 ，可 以用 3 Y 这样的
6、记号表 示 “取 到1 号、2 号或 3 号 白鼠 ” 这件 事情 ， 也就是 说 ， 复 杂的 事件 也 可以用 随机 变 量的取 值来 表示 这样，我 们就 可以用 随机 事件发生 的概 率来表 示随 机变量取 值的 概率了 如 例 1（1 ） 中 1 X 的概率可以表示为 1 PX （） P 抛一枚硬币， 1 2 正面向上 ，其中 1 PX （） 常简记 为 1 PX （） 同理 ， 0 PX 1 （ ） = 2 这一 结果可 用 表 2-1-1 来描 述 X 0 1 P 1 21 2例1（2 ） 中随 机变 量Y 所表 示的随 机事 件发 生的 概率 也可用 表2-1-2 来描 述 Y
7、 1 2 3 4 P 1 51 52 51 5上 面的两个表格分别给出 了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机 变量的分 布规律 2随机变量的概率分布 ： 3 一 般 地 ， 假 定 随 机 变 量 X 有n 个 不 同 的 取 值 ， 它 们 分 别 是 1 x ， 2 x ， n x ，且 () ii P X x p ， 1,2, , in ， 则 称 为 随机变量X 的概率分布列， 简 称为X 的 分布 列也 可以 将 用 表2-1-3 的形 式来 表示 X 1 x 2 x n x P 1 p 2 p n p 我 们将 表2-1-3 称为 随机变 量X 的概率 分布 表 它
8、 和都 叫做 随机 变量X 的概 率分布 3随机变量分布列的性 质 ： （1） 0 i p ； （2） 12 1 n p p p 四数学运用 1例题： 例 2 从装 有6 只白 球和4 只红球 的口 袋中 任取 一只 球， 用X 表示 “ 取到 的白 球个 数” ， 即 1, 0, X 当取到白球时， 当取到红球时，求 随机 变量X 的概 率分 布 解 由题 意知 42 ( 0) 6 4 5 PX ， 63 ( 1) 6 4 5 PX ，故随 机变 量X 的概 率分 布列为 2 ( 0) 5 PX ， 3 ( 1) 5 PX ，概率 分布 表如 下 X 0 1 P 2 53 5说明 ：1 本
9、题中， 随机 变 量X 只取 两个 可能 值 0 和 1 像这 样的 例子 还有 很多 ， 如在 射击中 ，只考 虑“命 中” 与“不 命中” ； 对产 品进行 检验时 ，只关 心“合 格” 与“不 合格” 等 我 们把这 一类 概率分布 称为 0-1 分 布 或 两 点分布 ， 并记为X 0-1 分 布或X 两 点分 布此 处“” 表示 “服 从 ” 2求随机变量 X 的分布列的 步骤： （1 ） 确定X 的 可能 取值 ( 1,2, ) i xi ；（ 2 ） 求出 相应的 概率() ii P X x p ；（ 3 ） 列成表 格的 形式 。 例3 若随 机变 量X 的分布 列为： 试求
10、出常 数 c P c c 2 9 c 8 3 4 解：由 随 机变量 分布 列的 性质可 知： 2 2 9 3 8 1 0 9 1 0 3 8 1 c c c cc c ，解 得 1 3 c 。 变式 ： 设随 机变 量 的分布 列 为 1 ( ) ( 1,2,3,4) 3 k P k a k ， 求 实数a 的值。 （ 41 40 ） 例 4 某 班有 学生 45 人， 其中O 型血的 有 10 人，A 型血 的有 12 人，B 型血 的有8 人， AB 型血 的有15 人 ，现 抽 1 人，其 血型 为随 机变 量X ，求X 的分 布列 。 解 ：设O 、A 、B 、AB 四种血 型分 别
11、编号 为 1 ，2 ，3，4，则X 的可能 取值 为 1 ，2， 3 ，4。 则 1 10 1 45 2 ( 1) 9 C PX C ， 1 12 1 45 4 ( 2) 15 C PX C ， 1 8 1 45 8 ( 3) 45 C PX C ， 1 15 1 45 1 ( 4) 3 C PX C 。 故其分 布表 为 X 1 2 3 4 P 2 94 158 451 32 练 习： 课本 第 48 页 练 习第1 ，2 题 五回顾小结： 1 随 机变 量的 概念 及 0-1 分布， 随机 变量 性质 的应 用； 2 求 随机 变量X 的分 布列 的 步骤 六课外作业：课本 第 52 页
12、习题2 2 第 1，3 题 七板书设计 课题： 一、定义 、 公式 二、注 意 三、小 结 三、 例 题： 例1 例2 例3 例4 四、课 堂练 习： 1、 2、 八教后感 5 第2 课时 随机变量及其 概 率分布（2） 教学目标 （1） 正确 理解 随机 变量 及 其概率 分布 列的 意义 ； （2） 掌握 某些 较复 杂的 概 率分布 列 教学重点，难点 求 解 随 机变量 的概 率分 布 教学过程 一问题情境 1复习回顾： （1 ）随 机变 量及其 概率 分布 的概 念； （2）求 概率 分布 的一 般步 骤 2练习： （1） 写出下 列随 机 变量可能 取的 值，并 说明 随机变量 所
13、取 的值表 示的 随机试验 的结 果 一袋 中装 有5 只同 样大 小的白 球， 编号 为 1 ，2，3 ，4，5 现 从该 袋内 随机 取出3 只 球，被 取出 的球 的最 大号 码数为X ； 盒中 有6 支白 粉笔 和 8 支红粉 笔 ，从中 任意 取 3 支，其 中所 含白 粉笔 的支 数X ； 从4 张已 编号 （1 号4 号）的 卡 片 中任 意取 出 2 张，被 取出 的卡 片编 号数 之和X 解 ：X 可取 3，4 ，5 X 3，表示 取出 的 3 个 球的 编 号为 1 ，2 ，3；X 4 ，表 示 取出 的3 个 球的 编号 为 1 ，2，4 或1，3，4 或 2，3 ，4；
14、X 5， 表示 取出 的 3 个球的 编号 为1，2，5 或1 ，3 ，5 或1，4，5 或2，3 ，5 或 2 ，4，5 或3，4，5 X 可取 0，1，2 ，3 ，X i 表 示取出 i 支白 粉笔 ， i 3 支红粉 笔，其 中 i 0，1，2， 3 X 可取 3，4，5 ，6 ，7X 3 表 示取 出分 别标 有 1 ，2 的两 张卡 片； X 4 表示 取出 分别 标有 1 ，3 的两张 卡片 ；X 5 表示 取 出分别 标有 1 ，4 或 2 ，3 的 两张卡 片 ；X 6 表 示取 出分 别标 有 2 ，4 的 两张 卡片 ；X 7 表 示取 出分 别标 有 3 ，4 的两 张卡
15、片 （2 ）袋 内有 5 个白 球 ，6 个 红球 ，从中 摸出 两 球，记 0 1 X 两球全红 两球非全红 求X 的分 布 列 解： 显然X 服从两 点分 布 ， 2 6 2 11 3 ( 0) 11 C PX C ，则 38 ( 1) 1 11 11 PX 所以X 6 的分布 列是: X 0 1 P 3 118 11二数学运用 1例题： 例 1 同 时掷 两颗 质地 均 匀的骰 子， 观察 朝上 一面 出现的 点数 求 两颗 骰子 中出现 的最 大点数X 的概 率分 布， 并求X 大于2 小于 5 的 概率 (2 5) PX 解 依 题意 易知， 掷两 颗 骰子出 现的 点数 有 36
16、种 等 可能的 情况 ： （1，1 ） ， （1 ，2） ， （1， 3 ） ， （1 ，4） ， （1，5 ） ， （1 ，6） ， （2，1） ， ， （6，5 ） ， （6，6） 因而X 的可能取值为 1 ，2，3，4 ，5 ，6， 详见 下表 X 的值 出现的 点 情况数 1 （1，1 ） 1 2 （2，2），（ 2，1），（ 1，2 ） 3 3 （3，3），（ 3，2），（ 3，1 ） ， （2，3） ， （1，3） 5 4 （4，4），（ 4，3），（ 4，2 ） ， （4，1） ， （3，4） ， （2，4），（ 1 ，4） 7 5 （5，5），（ 5，4），（ 5，3 ） ，
17、（5 ，2） ， （5，1） ， （4，5），（ 3 ，5）， （2，5），（ 1 ，5 ） 9 6 （6，6），（ 6，5），（ 6，4 ） ， （6 ，3） ， （6，2） ， （6，1），（ 5 ，6）， （4，6），（ 3，6），（ 2 ，6 ） ， （1，6） 11 由古 典概 型可 知X 的概率 分布如 表 2-1-6 所示 X 1 2 3 4 5 6 P 1 363 365 367 369 3611 36从而 5 7 1 (2 5) ( 3) ( 4) 36 36 3 P X P X P X 思考：在 例3 中， 求两 颗 骰子出 现最 小点 数Y 的概率 分布 分析 类似 与例
18、1， 通 过列 表可知 ： 11 ( 1) 36 PY ， 9 ( 2) 36 PY ， 7 ( 3) 36 PY ， 7 5 ( 4) 36 PY ， 3 ( 5) 36 PY ， 1 ( 6) 36 PY 例 2 从 装有6 个 白球 、4 个黑球和 2 个黄 球的 箱中 随机地 取出 两个 球， 规定 每取出 一 个黑球 赢 2 元， 而每取 出 一个白 球输 1 元， 取出 黄 球无输 赢， 以X 表示赢 得的 钱数， 随机 变量X 可以取 哪些 值呢 ？求X 的分布 列 解析： 从 箱中取 出两 个球 的情形 有以 下六 种：2 白 ，1 白1 黄，1 白1 黑 ，2 黄， 1 黑1
19、 黄 ，2 黑 当取 到2 白 时， 结果 输 2 元，随 机变 量X 2 ； 当取 到1 白1 黄 时， 输 1 元，随 机变 量X 1 ； 当取 到1 白1 黑 时， 随机 变量X 1； 当取 到 2 黄时 ，X 0； 当取 到1 黑1 黄 时，X 2 ； 当取 到2 黑 时，X 4 则X 的可 能取 值为 2 ，1 ，0，1 ，2 ，4 22 5 ) 2 ( 2 12 2 6 C C X P； 11 2 ) 1 ( 2 12 1 2 1 6 C C C X P； 66 1 ) 0 ( 2 12 2 2 C C X P； 11 4 ) 1 ( 2 12 1 4 1 6 C C C X P；
20、 33 4 ) 2 ( 2 12 1 2 1 4 C C C X P ， 11 1 ) 4 ( 2 12 2 4 C C X P 从而得 到X 的分布 列如 下： X 2 1 0 1 2 4 P 22 511 266 111 433 411 1例 3 袋中 装有 黑球 和白 球共 7 个 ， 从 中任 取 2 个 球都是 白球 的概 率为 1 7 ， 现 在甲 、 乙 两人从 袋中 轮流 摸 取1 球 ， 甲先 取， 乙后 取， 然 后甲 再取 取 后不 放回 ， 直 到两人 中有 一 人取到 白球 时即 止， 每 个 球在每 一次 被取 出的 机会 是等可 能的， 用 表示取 球 终止时 所
21、需 要 的取球 次数 （1 ） 求 袋中 原有白 球的 个数 ； （2 ） 求 随机变 量 的概率 分布 ； （3 ） 求甲 取到 白 球的概 率 解：（ 1 ） 设 袋 中 原 有n 个 白 球 ， 由 题 意 知 ： 2 2 7 ( 1) 1 ( 1) 2 76 7 7 6 2 n nn C nn C ， 所 以 8 ( 1) 6 nn ，解得 3 n （舍 去 2 n ） ，即 袋中 原 有 3 个 白球 （2 ）由 题意 ， 的 可能取 值 为1，2，3 ，4 ，5 3 ( 1) 7 P ； 4 3 2 ( 2) 7 6 7 P ； 4 3 3 6 ( 3) 7 6 5 35 P ；
22、4 3 2 3 3 ( 4) 7 6 5 4 35 P ， 4 3 2 1 3 1 ( 5) 7 6 5 4 3 35 P 所以， 取球 次数 的分 布列 为： 1 2 3 4 5 P 3 72 76 353 351 35（3 ）因 为甲 先取 ，所 以甲只 有可 能在 第 1 次， 第 3 次和第 5 次 取球 ，记 “甲取 到白 球 ” 的事件 为A ，则 () P A P （“ 1“ ，或 “ 3“ ，或 “ 5“ ） 因为事 件“ 1“ 、“ 3“ 、 “ 5“ 两两互 斥， 所以 3 6 1 22 ( ) ( 1) ( 3) ( 5) 7 35 36 35 P A P P P 2 练 习： 课本 第 48 页 练 习第3 题 五回顾小结： 1 随 机变 量及 其分 布列 的 意义； 2 随 机变 量概 率分 布的 求 解 六课外作业：课本第 52 页 习题 2 2 第 2 ，5 题 七板书设计 课题： 一、 定义、 公式 二、注 意点 五、小 结 三、例 题： 例1 例2 例3 四、课 堂练 习： 1、 八教后感
